數(shù)學(xué)物理方法-52留數(shù)定理

§5.1若bfz的孤立奇點(diǎn)fz

k

zb0z

R

kzk

C1為fz處的留 f

1

1 z:res

1

1,01 無(wú)，z0不是nn

sinz

fzdz2iresfbkkllk

z

Rkk1,2,...n則fzdzn

fzk 又fz

k

Czbk,0z

1RR1

bk b1,k11

fzdz

k

zbk k 1而zb1

dz

k1

k11 fzdzC12i2iresfb11其中resfb

1 1

fzk類(lèi)似可證： fzdz2iC12iresfbkk其中resfb fzk 2ik fzdz fzdz2iresfbkk k此即留數(shù)定理，它表明了具有孤立奇點(diǎn)的解析由上面有限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)的積分表示式，我們可定義

resf

1 2i

fzl易證

R,lresfCfz在R z中的展開(kāi)式的負(fù)一 系 R或R kfz Ckkk

R zresf fzdz 2ik

Ck

zkC1ze.g.求res

,e e解

e1z2e2i

z1

z

1ze

dz全平面留數(shù)之和為nresfbkresfnkn1 n1

fzdz

fzk

2

2 2

fzdz 2

fzdz此結(jié)論很有用，如要計(jì)算有限遠(yuǎn)點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)之處的留數(shù)之和，若孤立奇點(diǎn)很多，算起來(lái)很麻煩。但 ①resfbkC1,而resfbk但即使z

resfbkresf也不一定為如 如 2 k02k1!z2k

,0

zresfC

16

以z為可去奇eg.z

z13z22在各有限孤立奇點(diǎn)

z

z 13 2z81

1z2

z21 13

2 1z

z

z 11z

1z

z 1 1 z4resfbres1res-1 k

2i4在z ,C11,即resf4resfbk1k由定義，利 開(kāi)式1e.g.ez在奇z01k z

e 1

k k

2!z resez,0 sin2z0zsin2z

2k

22k

2 8 3!zk

!z

2,0 fz5z2 zz

z0resf0

5z2dz5z 2

z2

zz

z

z若b fz的n階極點(diǎn),resfb d b fznn1!dzn若bresfbc

zfz

zzzbresfz

z

dz

n1b2izn

z zn1!dzn

fze.g

fz 2

求f2 1fz

zizi2zi ziresfi

zi2 dz

zi2zi

z1zi1zi z

2zizizizi

z

2i

4 ii證:由n階極點(diǎn)公式， nresf

1d

bfz0!dz

zresfblimzbfzz fzzzz解析zresfb

b0,b0,bzbzz b

zlimzzbz ze.g

z 11z

fi? ziziresfilimziz

zizi 2e.g ②resctgz,0limctgz z0 z 且limz0 z

zz zz 0

z

z

z0 單極由公式:resf0limz0cos zz 0

sinze.g.fzcoszcos00sin00sin0sinresctgz,0cos

zgz

tgzg00ctgzg0sec2

z

cos2

1z0為gz

ctgz1e.g.①ez2zz0z且ez 1

z 2!zresf0C11 ez2dz2iresf0z ezdz2iresez,0z z

2dzz

2,0

③e.g.I

sinzdz

2ki,k0,1,2,...z

kzsin 但在

內(nèi)僅有z0I2i1ez

,0而在0 z內(nèi)有zz

z z

zsinz

z 3z 3 1z z

2 2

zz