何數(shù)值解法探究之一類微分方程初值問題

數(shù)值解法探究之一類微分方程初值問問題歸為一類，對其數(shù)值解法進(jìn)行了探究，而且用語言對一些解法進(jìn)拉方法-方法，線性多步法,函數(shù)近法等，就是求出方程的近似解。，：初值問題，數(shù)值解法 方法 方法，線性多步，NUMERICALSOLUTIONOFTHEINITIALVALUEPROBLEMOFDIFFERENTIALEQUATIONThisarticlewillfirstorderordinarydifferentialequation,firstorderordinarydifferentialequationsandhigherorderordinarydifferentialequationinitialvalueproblemsforaclassof(group),Thenumericalmethodsforsolutionoftheprobe,Forsomemethodandlanguageapplication.Differentialequationoftheclassificationofthelot,ordinarydifferentialequationisamongthemorebasicandimportantpartof.Whetherinmathematicsorinourlifesomeoperations,hastodowithdifferentialequation.Beforewehadlearnedsomeverysimplesimplesolutionsofordinarydifferentialequationscanalsofindouttheexpressionsoftheequation,Buttherearesomeequationscanbecomplex,couldn'twesimplyasktheytictype,Soweneedtofindotherways,suchasnumericalmethods,includingeulermethodandrunge-kuttamethod,linearmultiplegait,Functionapproximationmethod，etc.,Istheapproximatesolutionofequations.Thus,byunderstandingnumerically,itishelpfulforustostudydifferentialequation.Inthefollowing,wefirstfromthetheoryofnumericalmethodstotheinitialvalueproblemdefinitionagainexplorethespecificformula,includingsomeproperties(suchasconvergence,stability)ofsimple,Mainlyfornumericalmethodsinthispaper,westudythenumericalmethodforsolvingtheordinarydifferentialequationinitialvalueproblemavarietyofprecisionincomparison,morecommonlyusednumericalmethodisobtainedintheapplicationofthedifferentialequationmodel.:initialvalueproblem，Numericalsolution，Eulermethod，Runge-Kuttamethod,Linearmultistepmethod緒 引 數(shù)值解法的思 誤差，收斂性及穩(wěn)定性的概 誤 收斂 穩(wěn)定 微分方程初值問題概 常微分方程概 初值問題的概 一階常微分方程的數(shù)值解 2.1方 向前公 基本思 改進(jìn)公 實現(xiàn) 2.2-方 基本思 二階-公 三階-公 四階-公 實現(xiàn) 線性多步 線性多步法的基本思 一般形 Adams 一階常微分方程組的數(shù)值解 一般思 方法推 高階常微分方程（組）的數(shù)值解 基本思 結(jié) 致 附錄 附錄 緒引有初步的認(rèn)識，利用數(shù)學(xué)工具解決對應(yīng)具體問題，可以對這些方法有更數(shù)值解法的思數(shù)值解法的思路是近似代替。初值問題(1.1)的自變量t，區(qū)間t0,都是zt在t0上一連串相鄰但不連續(xù)的點t1t2

z1,z2 tnt0nh，n1

,...z就是數(shù)值解[1]nzn1的時候，僅需用到前一步的值tn1tnznzn1要用到需用到前面k步的值ntn1,tn,zn,..tnk,znk誤差，收斂性及穩(wěn)定性的概zn1zn,如果認(rèn)為tnzn差的考慮就很容易了，透過假設(shè)，誤差存在于從tn到tn1的這一步，這樣的誤差就是局部截斷誤差，記為n1ztn1zn1。有這樣一個方法的局部截斷誤差ohk1，把k叫作誤差的階數(shù)，而且k還代表著方法的精度，就說該方法有k階精度。當(dāng)然，如果要使一個方法精度越高，就意味著想辦法讓k變大?？傻玫讲煌臄?shù)值計算公式。對于任意節(jié)點tnt0nh,當(dāng)h0zn能否趨近于準(zhǔn)確解ztn，如果是，則稱收斂。當(dāng)有需要去鑒定一個方法是否有用時到收斂性來判斷[2]微分方程初值問題概dzft,z t

；tftz，tz0R對一切z1,z2R,tt0可以找到實常數(shù)0(與t，z無牽制稱為茨常數(shù)ft,z1ft,z2z1

一階常微分方程的數(shù)值解以下方法都是針對式（1.1）方在這里，只對常用的向前公式和改進(jìn)的公式進(jìn)行探 公zn1znhftn,zn

取t

h,當(dāng)中h0ftz

ft0,z0 近zt,我們先

ztzt tft,ztdt

ttft,z

代入t1t0hz1z0hft0,z0t1,t2在式（2.1）

1hft,zf ,

n1z0

hft,z zk1

hft,zf

,zk

k0,1,

2

n1zk1zk

zk

2zn1znhftn,znftn1,znhftn,zn2實現(xiàn)y'yx取h-方

y y假若式（1.1）有解zzx， 得到展開，那么就有ztn1ztnhztn

z'tn

z"tn

hzkkkk

tn

k1

令zn1ztn

2 z'tn

z"tn

hzkkkk

tn

z o

zn1ztnhz'tn（k1 khft,z 如若要得到zn1的值，過程中ftz值的計算進(jìn)行了一次。假設(shè)znztn，那可以發(fā)現(xiàn)zn1的表達(dá)式與ztn1的 是oh2。對于改進(jìn) 公式

1kk

k1hftn,znk hfth,k

如若想知道zn1的值，需要計算兩次ftz值。先假設(shè)znztn，那么可以zn1的表達(dá)式與ztn1的展開的前三項一樣，局部截斷誤差的階是oh3上面的分析發(fā)現(xiàn)有一個共同點ztn1的近似值zn1都是用ft,z在一些點上的線性組合得到的而且只要通過改變ft,z計算的次數(shù)局部截斷誤差的階所以能夠總結(jié)出這個方法的基本思想.先計算ft,z的一些函數(shù)值（選擇的與精確解的展開式作對照，求出一些系數(shù)，得出數(shù)值計算公式。zn1znR1k1R2k1hftn,znk hftah,zbkk R1R2ab都是待定的常數(shù),將k2k2hftnah,znbk1hftn,znahfttn,znbk1fztn,zn hft,zh2aft,zbft,z 將k1k2zn1

zn1znhftn,znR1R22 h22

t,

bR

t,

ft,

2 該式與式（2.5）相互對比，使z 2 R1R2aR

2 2 bR2oh3當(dāng)中一個二階-公yy

k1hftn,zn k2hfk

h,

2k1 2.2.3-2.2.3-像討論上面的格式一樣來看看三階的格式同樣的邏輯k1,k2,k3在tn,zn處用ztn1在相同點處的展開式相對照，得到含有系數(shù)的方程組，使得局部截斷誤差是oh4。當(dāng)中一個三 公式 z1h

4kk6 6

k1ftn,zn k2fk

h,

2k1 k3hftnh,ynk12k2 公式為 z1h

2k2kk

k1

ftn,znkft1h,z1hk 1 k3

1h,ff

1hk22 k ftnh,znhk3k 方法中最為常用的,其局部截斷誤差是oh5。在計算的進(jìn)程中可知道四階-公式的表達(dá)式不是惟一的上面的格式運用的最多用經(jīng)典四級四階-法計y'yx

取h

y y線性多步如果要想知道zn1的值,只需要計算zn的值就可以的方法就是單步法可能函數(shù)值ft,z來計算，相對應(yīng)的精度會高一點。計算zn1時，面已經(jīng)知道了一些近似值z0, zn1 說 的值受到z 解初值問題（1.1）zn10zn1zn1 k1znk1h1z'n10z'n k1z'nk1

k kiznihiz z'ni

ftnizniii為待定常kzn1zn izAdams10Adams10用展開法構(gòu)造Adams法的基本思路是先得到線性多步法的表達(dá)式zn1ittn處的ztn1在相同點處的局部截斷誤差為ohk1，找到能夠使上面二者的hk項重合的系數(shù)，從而得到kAdamstn1tn兩點的斜率值平均作為區(qū)間tntn1izn1znh0z'n1z'n1z'nftn,znz f , 將z'n在tn點用展

z'n1zn'zn"hzn1znh0zn'h1zn''ztn1在tn1處的展開ztn1ztnhz'tn

12 由此得到二階Adams法，之后三階，四階等各階的討論和上面二階的是完全相同的。以上解法是外推過程，增加節(jié)點tn1的斜率值，來提高精度。推導(dǎo)出了Adamszn1znhr0ftn,zn......rqrftnr,ynr

h55

n59

37

9

n3

fn

ftnznfnzn1znhr0fn1...rrfnr1正如上述，隱式方法中也會有使用比率大的，也是r3

h9

19

n5

fn2

一階常微分方程組的數(shù)值解一般思z1't

f1t, ,zmz2'

f2t, ,zm

t

1t 0zmt0

ztz,z,....z zz,z ft,z

t,z,

t,z,...,

t,mm

ft,zt

tzt0 方法推假設(shè)ft,z在m1維區(qū)域上有解，而且是唯一的。那么就是說滿足下面zft,zft,zzz

z1,n1z1,nhf1t,z1,n,z2,n,..zm,nz2,n1z2,nhf2t,z1,n,z2,n,..zm,nzz

zm,n

t,

,z2,n,..zm,nz1,0z1t0,...,zm,0zmt0四階經(jīng) 方法推 zh

6 6

K1,i

fitn,zn,1,...zn,m fth, h

...,

h i

1,m fth, h ..., h i

2,m

fitnh,zn,1hK3,1,zn,2hK3,2...,zn,mhK3,mz0,izit 式子當(dāng)中i12...mn函數(shù)近算z1't

f1t, ,znz2'

f2t, ,zn1t

0zntt0TZZtz1,z2 ,znT f1t,z1,z2 zn f2t,z1,z2 znft,Z

fnt,z1,z2,...zn

ft,Z

假設(shè)ft,Z在區(qū)間上連續(xù)且滿 茲條件就是解存在且唯一取區(qū)t0

進(jìn)行討論，設(shè)ZZtz1

,

T是初值問題（2.7）的解（量，只要能夠找到解（向量）的每個zk 近函數(shù)*kkkk12,...nk

ztp*t

pk

zkt

t

n值函數(shù)P*tp*t,p*t,...p*t可以作為方程組（2.7）的近似解。Zt n未知的，無法直接進(jìn) 近問題[7]。假設(shè)方程組初值問題的Ztz1t,

t ,

tT的一階導(dǎo)數(shù)為

Z'tz'1t,z

t ,z

tT如果存Ptp1t,

t

tZtz1t

t ,

tT的函數(shù)，那p1t,p2t,...,p3t依次z1tz2t,...znt的近函數(shù)，同樣的P'tp1't,

't

'tZ'tz'1tz

t ,z

tT的近函數(shù)。Z'tz'1t,z

t ,z

tT是已知的，需要找到一階導(dǎo)數(shù) 近函p1't,p2't,...,p3't，可以得到z1t,z2t,...znt 近函數(shù)。也就是得p1t,p2t,...,p3t，進(jìn)而得到數(shù)值解定理1[8]（Weierstrass定理）設(shè)fxCa,b，則對任何0,總存在個代數(shù)多項式px

a

f

，在ab上一致成立定理1說明Ca,b上的函數(shù)均可用有限維的px

Hm多項式空間。選一組基，將區(qū)間t0,t0h平均分為m段，各點記為t0, 使p'kt趨近于y'kt，這樣就把一階常微分方程組的初值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù) 高階常微分方程（組）的數(shù)值解基本思

ft,z,z',z'',...zm1z

,z

zm1

z 上面式子是m

z,

z

zm1

結(jié)程的現(xiàn)有幾種數(shù)值解法:法,改進(jìn)法,-程組,并且用新的方法函數(shù)近法來解一階常微分方程組初值問題.同時對改進(jìn)法和四級四階方法進(jìn)行了實現(xiàn).針對各種初值解法精度而言,線性多步法精度較高,而且應(yīng)用較廣泛,例如為了解決剛性方程的問題,人們參考文[1].數(shù)值分析基礎(chǔ)[M].：高等教育，1997.5:122-[2].常微分方程數(shù)值階法及應(yīng)用[3