2023年中考數學黃金知識點系列專題15等腰三角形

專題15等腰三角形聚焦考點☆溫習理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性質〔1〕等腰三角形的性質定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等〔簡稱：等邊對等角〕推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°。〔2〕等腰三角形的其他性質：①等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角〔或直角〕，但頂角可為鈍角〔或直角〕。③等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，那么<a④等腰三角形的三角關系：設頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，那么∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等〔簡稱：等角對等邊〕。這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等。推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。二.等邊三角形1.定義三條邊都相等的三角形是等邊三角形.2.性質：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°3.判定三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.三.線段垂直平分線1.定義垂直一條線段，并且平分這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線.2.性質線段垂直平分線上的一點到這條線段的兩端距離相等3.判定到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.名師點睛☆典例分類考點典例一、等腰三角形的性質【例1】〔2023山東濱州第6題〕如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，那么∠CDE的度數為〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D.考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質．【點睛】此題考查的是等腰三角形的性質，熟知等腰三角形的兩底角相等是解答此題的關鍵．【舉一反三】〔2023山東棗莊第4題〕如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，那么∠D等于A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°第4題圖第4題圖【答案】A.【解析】考點：等腰三角形的性質；三角形的內角和定理.考點典例二、等腰三角形的多解問題【例2】(2023湖南懷化第8題〕等腰三角形的兩邊長分別為4cm和8cm，那么它的周長為〔〕A．16cmB．17cmC．20cmD．16cm或20cm【答案】C.【解析】試題分析：分當腰長為4cm或是腰長為8cm兩種情況：①當腰長是4cm時，那么三角形的三邊是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不滿足三角形的三邊關系；當腰長是8cm時，三角形的三邊是8cm，8cm，4cm，三角形的周長是20cm．故答案選C．考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系．【點睛】題考查了等腰三角形的性質；對于底和腰不等的等腰三角形，假設條件中沒有明確哪邊是底哪邊是腰時，應在符合三角形三邊關系的前提下分類討論．【舉一反三】〔2023湖南湘西州第14題〕一個等腰三角形一邊長為4cm，另一邊長為5cm，那么這個等腰三角形的周長是〔〕A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不對【答案】C.【解析】考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系．考點典例三、等邊三角形的性質與判定【例3】〔2023年福建龍巖第15題〕如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，點E在BC的延長線上，且CE=1，∠E=30°，那么BC=．【答案】2.【解析】試題分析：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2.考點：等邊三角形.【點睛】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是利用性質和判定解決．【舉一反三】〔2023四川達州第15題〕如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ．假設PA=6，PB=8，PC=10，那么四邊形APBQ的面積為．【答案】24+9．【解析】考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質．考點典例四、線段垂直平分線的性質運用【例3】〔2023湖南長沙第17題〕如圖，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，那么△BCE的周長為．【答案】13．【解析】試題分析：DE是AB的垂直平分線，根據線段的垂直平分線的性質得到EA=EB，所以△BCE的周長=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，考點：線段的垂直平分線的性質.【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質，熟記性質是解題的關鍵．【舉一反三】〔2023山東威海第10題〕如圖，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分線交BC于點D，交AB于點H，AC的垂直平分線交BC于點E，交AC于點G，連接AD，AE，那么以下結論錯誤的選項是〔〕A．= B．AD，AE將∠BAC三等分C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG【答案】A．【解析】考點：黃金分割；全等三角形的判定與性質；線段的垂直平分線的綜合運.課時作業(yè)☆能力提升一、選擇題1.〔2023湖南湘西州第14題〕一個等腰三角形一邊長為4cm，另一邊長為5cm，那么這個等腰三角形的周長是〔〕A．13cmB．14cmC．13cm或14cmD．以上都不對【答案】C.【解析】試題分析：分4cm為等腰三角形的腰和5cm為等腰三角形的腰兩種情況：①當4cm為等腰三角形的腰時，三角形的三邊分別是4cm，4cm，5cm符合三角形的三邊關系，周長為13cm；②當5cm為等腰三角形的腰時，三邊分別是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三邊關系，周長為14cm，故答案選C.考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系．2.〔2023四川甘孜州第9題〕如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，AB=3，AD=1，那么△AED的周長為〔〕A．2B．3C．4D．5【答案】C．【解析】考點：等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．3.〔2023遼寧營口第8題〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，分別以點A和點C為圓心，以相同的長〔大于AC〕為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD．以下結論錯誤的選項是〔〕A．AD=CDB．∠A=∠DCEC．∠ADE=∠DCBD．∠A=2∠DCB【答案】D．【解析】試題分析：∵DE是AC的垂直平分線，∴DA=DC，AE=EC，故A正確，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正確，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正確，應選D．考點：作圖—根本作圖；線段垂直平分線的性質．4.〔2023河南第6題〕如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10.DE垂直平分AC交AB于點E，那么DE的長為【】〔A〕6 〔B〕5 〔C〕4 〔D〕3【答案】D.【解析】考點：勾股定理；三角形的中位線定理.5.〔2023河北第16題〕如圖，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.假設點M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，那么滿足上述條件的△PMN有〔〕第16題圖A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上【答案】d.【解析】試題分析：Ｍ、Ｎ分別在ＡＯ、ＢＯ上，一個；M、N其中一個和O點重合，2個；反向延長線上，有一個，故答案選D.考點：等邊三角形的判定.6．在平面直角坐標系中，點A〔，〕，B〔，〕，動點C在x軸上，假設以A、B、C三點為頂點的三角形是等腰三角形，那么點C的個數為〔〕A．2B．3C．4D．5【答案】B．【解析】考點：1．等腰三角形的判定；2．坐標與圖形性質；3．分類討論；4．綜合題；5．壓軸題．7.〔2023山東濱州第6題〕如圖，△ABC中，D為AB上一點，E為BC上一點，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，那么∠CDE的度數為〔〕A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°【答案】D.【解析】考點：等腰三角形的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質．二、填空題8.〔2023貴州遵義第14題〕如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分線DE交AC于點D，連接BD，那么∠ABD=度．【答案】35．【解析】試題分析：∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分線DE交AC于點D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案為：35．考點：線段垂直平分線的性質．9.〔2023江蘇蘇州第17題〕如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點D、E分別在AB、BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE〔點B′在四邊形ADEC內〕，連接AB′，那么AB′的長為．【答案】2EQ\R(\S\DO(),7).【解析】試題分析：過點D作DF⊥B′E于點F，過點B′作B′G⊥AD于點G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等邊三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=EQ\F(1,2)B′E=BE=2，DF=2EQ\R(,3),∴GD=B′F=2，∴B′G=DF=2EQ\R(,3)，∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴AB′=2EQ\R(,7)．考點：1軸對稱；2等邊三角形.10.〔2023湖北隨州第12題〕等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2﹣8x+15=0的根，那么該等腰三角形的周長為．【答案】19或21或23．【解析】考點：一元二次方程的解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質．11.〔2023廣西河池第18題〕如圖的三角形紙片中，AB=AC，BC=12cm，∠C=30°，折疊這個三角形，使點B落在AC的中點D處，折痕為EF，那么BF的長為cm．【答案】．【解析】試題分析：過D作DH⊥BC，過點A作AN⊥BC于點N，∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°，根據折疊可得：DF=BF，∠EDF=∠B=30°，∵AB=AC，BC=12cm，∴BN=NC=6cm，∵點B落在AC的中點D處，AN∥DH，∴NH=HC=3cm，∴DH=3tan30°=〔cm〕，設BF=DF=xcm，那么FH=12﹣x﹣3=9﹣x〔cm〕，故在Rt△DFC中，，故，解得：x=，即BF的長為：cm．故答案為：．考點：翻折變換〔折疊問題〕．12.〔2023內蒙古通遼第14題〕等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，那么該等腰三角形的底角的度數為．【答案】69°或21°．【解析】考點：等腰三角形的性質；分類討論．13.〔2023福建南平第16題〕如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動〔不與A、B重合〕，將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出以下結論：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不變；③△PCQ面積的最小值為；④當點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④．【解析】③如圖，過點Q作QE⊥PC交PC延長線于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短時，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時，CD最短，過點C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短為2，∴S△PCQ最小===，∴③錯誤；④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵當點D在AB的中點，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等邊三角形，∴④正確，故答案為：①②④．考點：幾何變換綜合題；定值問題；最值問題；綜合題；翻折變換〔折疊問題〕．14.〔2023四川達州第15題〕如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，連接BQ．假設PA=6，PB=8，PC=10，那么四邊形APBQ的面積為．【答案】24+9．【解析】考點：旋轉的性質；等邊三角形的性質；全等三角形的判定及性質．15.〔2023湖南長沙第17題〕如圖，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分線DE交AB于點D，交邊AC于點E，那么△BCE的周長為．【答案】13．【解析】考點：線段的垂直平分線的性質.16.〔2023湖南婁底第17題〕如圖，將△ABC沿直線DE折疊，使點C與點A重合，AB=7，BC=6，那么△BCD的周長為．【答案】13．【解析】試題分析：將△ABC沿直線DE折疊后，使得點A與點C重合，由折疊的性質可得AD=CD，由AB=7，BC=6，可得△BCD的周長=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=7+6=13．考點：翻折變換〔折疊問題〕．三、解答題17.〔2023山東淄博第22題〕〔8分〕如圖，△ABC，AD平分∠BAC交BC于點D，BC的中點為M，ME∥AD，交BA的延長線于點E，交AC于點F．〔1〕求證：AE=AF；〔2〕求證：BE=〔AB+AC〕．【答案】〔1〕詳見解析；〔2〕詳見解析.【解析】∴BE=BG=〔BA+AG〕=〔AB+AC〕．考點：三角形中位線定理；等腰三角形的判定與性質．18.〔2023湖南懷化第17題〕如圖，AD=BC，AC=BD．〔1〕求證：△ADB≌△BCA；〔2〕OA與OB相等嗎？假設相等，請說明理由．【答案】(1)詳見解析；〔2〕OA=OB，理由詳見解析.【解析】考點：全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定．19.〔2023廣西河池第21題〕如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．〔1〕尺規(guī)作圖：過點B作AC的垂線，交AC于O，交AE于