固體物理-習(xí)題課

習(xí)題課一第一章~第三章1.試問(wèn)如下晶體的基元是什么？布拉菲格子是什么？解：基元布拉菲格子2.試證明六方密堆積結(jié)構(gòu)中(c/a)=(8/3)1/2=1.633。caOAP證：如圖示，設(shè)原子半徑為r，則2r=a；設(shè)P為三棱柱中心原子在底面的投影，則P應(yīng)該為底面三角形的外心，則可求：在ΔOAP中，OA=2r=a所以：(c/a)=(8/3)1/2=1.6333.指出立方晶格(111)面與(100)面，(111)面與(110)面交線的晶向。解：(111)面與(100)面的交線AB將AB平移，A與O點(diǎn)重合B點(diǎn)位矢：(111)面與(100)面交線的晶向：晶向指數(shù)：同理可得(111)面與(110)面交線的晶向?yàn)椋?.如果基矢構(gòu)成簡(jiǎn)單正交系，證明晶面族的面間距為：證明：簡(jiǎn)單正交系：倒格子基矢：倒格子矢量：晶面族的面間距：求證：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方。.證明：倒格子定義：體心立方格子原胞基矢：倒格子基矢：同理：可見由為基矢構(gòu)成的格子為面心立方格子。同理可證面心立方晶格的倒格子是體心立方。6.如圖所示，設(shè)二維正三角形晶格相鄰原子間距為a，試求正格子基矢和倒格子基矢.解：取該二維正三角形晶格中任意相鄰的兩邊為基矢，并使a1

的方向和i的方向相同，于是有：那么有：7.一晶體原胞基矢大小，，，基矢間夾角，，。試求：（1） 倒格子基矢的大小；（2） 正、倒格子原胞的體積；（3） 正格子(210)晶面族的面間距。解：(1)由題意可知，該晶體的原胞基矢為：(2)正格子原胞的體積為：倒格子原胞的體積為：(3)根據(jù)倒格子矢量與正格子晶面族的關(guān)系可知，正格子(210)晶面族的面間距為：8.試求金剛石結(jié)構(gòu)的幾何結(jié)構(gòu)因子,并討論其消光規(guī)律。解：金剛石結(jié)構(gòu)的原胞中含有8個(gè)原子，其坐標(biāo)為(000),(),(0),(0),(0),(),(),().由此可知，其幾何結(jié)構(gòu)因子為由于h,k,l

和n都為整數(shù)，所以上式中的正弦項(xiàng)為0。于是有:由此可知，當(dāng)nh,nk和nl奇偶混雜時(shí)，即nh,nk和nl不同為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)或者當(dāng)nh,nk和nl全為偶數(shù)，且(其中m為整數(shù))時(shí)，有,即出現(xiàn)衍射相消。9.已知半導(dǎo)體GaAs具有閃鋅礦結(jié)構(gòu)，Ga和As兩原子的最近距離d＝2.45×10-10m。試求：(1)晶格常數(shù)；(2)固體物理學(xué)原胞基矢和倒格子基矢；(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距;(4)密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角。解：(1)由題意可知，GaAs的晶格為復(fù)式面心立方晶格，其原胞包含一個(gè)Ga原子和一個(gè)As原子，其中Ga原子處于面心立方位置上，而As原子則處于立方單元體對(duì)角線上距離Ga原子1/4體對(duì)角線長(zhǎng)的位置上。由此可知：(2)由于GaAs的空間點(diǎn)陣為面心立方結(jié)構(gòu)，故其固體物理學(xué)原胞基矢為：其倒格子基矢為：(3)密勒指數(shù)為(110)晶面族的面間距為：(4)根據(jù)倒格子矢的性質(zhì)可知，密勒指數(shù)為(110)和(111)晶面法向方向間的夾角即為倒格子矢和之間的夾角，設(shè)為，則有：10.設(shè)離子晶體中，離子間的互作用勢(shì)為：求晶體平衡時(shí)，離子間總的相互作用勢(shì)能U(R0).解：設(shè)離子總數(shù)目為2N，以rij=ajR表示第j個(gè)離子到參考離子i的距離，忽略表面效應(yīng)，則總相互作用勢(shì)可表示為：式中，為馬德隆常數(shù)，Z為離子的最近鄰數(shù)。設(shè)平衡時(shí)R=R0，由平衡條件：晶體平衡時(shí)離子間總的相互作用勢(shì)能：11.設(shè)某晶體每對(duì)原子的勢(shì)能具有以下形式：平衡時(shí)，結(jié)合能為，試計(jì)算A和B以及晶體的有效彈性模量。解：由題意有以下方程成立：把r0,U的具體數(shù)值代入上述方程組，即得：根據(jù)課件，晶體的總體積可表示為有效彈性模量為：12.若NaCl晶體的馬德隆常數(shù)=1.75，晶格常數(shù)a=5.64，冪指數(shù)n=9。晶體拉伸達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，求離子間距增加多少？解：設(shè)該NaCl晶體含有N個(gè)離子，則其相互作用勢(shì)能為上式中的r指NaCl晶體中相鄰兩離子間的距離,又設(shè)NaCl晶體處于平衡狀態(tài)時(shí)，相鄰兩離子間的距離為r0，則有:由平衡條件可知:當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時(shí)，可以認(rèn)為體積彈性模量為0，即：將B代入，得：因而離子間距增加了：13.用埃夫琴方法計(jì)算包含四個(gè)埃夫琴晶胞的二維正方格子(正負(fù)兩種)格子的馬德隆常數(shù)。解：埃夫琴晶胞內(nèi)所有離子的電荷代數(shù)和為0.把這些中性晶胞對(duì)參考離子的庫(kù)倫能量的貢獻(xiàn)份額加起來(lái)就是馬德隆常數(shù)。二維正方離子晶格的一個(gè)埃夫琴晶胞馬德隆常數(shù)的定義為：正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)于參考例子相異和相同的離子。二維正方格子(正負(fù)兩種)格子實(shí)際上是個(gè)面心正方格子。OO設(shè)參考離子O為正離子，位于邊棱中點(diǎn)的離子為負(fù)離子，他們對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為4×(1/2),對(duì)參考離子庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為：頂角上的離子為正離子，他們對(duì)晶胞的貢獻(xiàn)為4×(1/4),對(duì)參考離子庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為：因此通過(guò)一個(gè)埃夫琴晶胞算出的馬德隆常數(shù)為：下面取四個(gè)埃夫琴晶胞為考察對(duì)象。O這時(shí)參考離子O的最近鄰和次近鄰都在所考慮范圍內(nèi)，他們對(duì)庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為：邊棱上的離子對(duì)庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為：頂角上的離子對(duì)庫(kù)侖能的貢獻(xiàn)為：則馬德隆常數(shù)為：14.計(jì)算面心立方簡(jiǎn)單格子的A6和A12.(1)到最近鄰；(2)到次近鄰。O222111333解：圖中標(biāo)號(hào)為1和2的原子是原子O的近鄰和次近鄰。面心立方簡(jiǎn)單格子任一原子有12個(gè)最近鄰和6個(gè)次近鄰。(1)只計(jì)算最近鄰：(2)計(jì)算到次近鄰：15.若格波的色散關(guān)系為和，試導(dǎo)出它們的狀態(tài)密度表達(dá)式。解：格波狀態(tài)密度函數(shù)的一般表達(dá)式為：式中表示沿法線方向頻率的改變率。當(dāng)時(shí)，將之代入上式可得當(dāng)時(shí)，可得：16.試求質(zhì)量為m，原子間距為a/2，力常數(shù)交錯(cuò)為1,2的一維原子鏈振動(dòng)的色散關(guān)系。當(dāng)101=2時(shí),求在q=0和q=處的,并粗略畫出色散關(guān)系。解：在最近鄰近似和簡(jiǎn)諧近似下，第2n個(gè)原子和第2n＋1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：a2m2β12β12x2n-2

x2n-1

x2nx2n+1

x2n+2

x2n+3

當(dāng)101=2

時(shí)，上述方程組可變?yōu)椋涸囂浇猓壕€性方程組：令：從A、B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得q=0：q=：

色散關(guān)系曲線如下：原子間的力常數(shù)不相等的雙原子鏈的晶格振動(dòng)色散關(guān)系曲線17.在一維雙原子鏈中，原子質(zhì)量分別為M和m，其彈性系數(shù),若，(1)求證：(2)畫出ω與q的關(guān)系圖（設(shè)

）。解：(1)在一維雙原子鏈中，其第2n個(gè)原子與第2n+1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程為:試探解：將試探解帶入運(yùn)動(dòng)方程，可得：從A、B有非零解，方程組的系數(shù)行列式等于零的條件出發(fā)，可得：可解出得：取“－”號(hào)時(shí)，有：因?yàn)椋喝　?”號(hào)時(shí)，有：因?yàn)椋?2)當(dāng)時(shí)：色散關(guān)系：18.在一維雙原子鏈中，原子質(zhì)量分別為M和m，其彈性系數(shù),若，，。(1)求光學(xué)波頻率的最大值、最小值及聲學(xué)波頻率的最大值；(2)相應(yīng)的聲子能量是多少eV?(3)這3種聲子在300K時(shí)各有多少個(gè)？(4)如果用電磁波激發(fā)光頻振動(dòng)，要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長(zhǎng)在什么波段？解：(1)光學(xué)波頻率的最大值和最小值的計(jì)算公式分別為：帶入各參量，得：聲學(xué)波頻率的最大值的計(jì)算公式為：所以有：(2)相應(yīng)的聲子能量為：(3)由于聲子屬于玻色子，服從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)，則有：(4)如用電磁波來(lái)激發(fā)光頻振動(dòng)，則要激發(fā)最大光學(xué)頻率的聲子所用的電磁波長(zhǎng)應(yīng)滿足如下關(guān)系式：19.假設(shè)晶體中傳播的橫波和縱波速率相等，每個(gè)諧振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型來(lái)求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。解：根據(jù)量子力學(xué)，零點(diǎn)振動(dòng)能是諧振子所固有的，與溫度無(wú)關(guān)，故0K時(shí)振動(dòng)能E0就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和?？紤]德拜模型和題意，則：代入E0：一般德拜溫度在~102K量級(jí)，可見晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能還是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱量相比擬。20.求一維簡(jiǎn)單晶格的模式密度g().解：由色散關(guān)系的曲線可以看出，d區(qū)間對(duì)應(yīng)兩個(gè)大小相等的波矢區(qū)間dq，2/a區(qū)間對(duì)應(yīng)L/a個(gè)振動(dòng)模式，單位波矢區(qū)間對(duì)應(yīng)有L/2個(gè)振動(dòng)模式。則d范圍內(nèi)包含個(gè)振動(dòng)模式。單位頻率區(qū)間包含的模式數(shù)目定義為模式密度，根據(jù)這一定義可得模式密度為：由色散關(guān)系得：所以：21.假設(shè)晶體體積為V,根據(jù)格林愛森常數(shù)和德拜溫度的定義式,證明:(1);(2)證明：(1)格林愛森常數(shù)的定義式為：