2023年勾股定理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)

勾股定理知識(shí)總結(jié)一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn):１：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊ｃ的平方。(即:a2+ｂ2＝c2)要點(diǎn)詮釋:勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系,是直角三角形的重要性質(zhì)之一,其重要應(yīng)用:(1）已知直角三角形的兩邊求第三邊(在中,，則，，）（２）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系,求直角三角形的另兩邊(３)運(yùn)用勾股定理可以證明線(xiàn)段平方關(guān)系的問(wèn)題2:勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c２，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋?zhuān)汗垂啥ɡ淼哪娑ɡ硎氰b定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)擬定三角形的也許形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意:（1）一方面擬定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為:c;(２)驗(yàn)證c2與a２＋b２是否具有相等關(guān)系,若c2=a２+b２,則△AＢC是以∠Ｃ為直角的直角三角形(若c2>ａ２+ｂ2，則△AＢC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c２<ａ２+b2，則△ABC為銳角三角形)。(定理中，,及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng),，滿(mǎn)足,那么以,,為三邊的三角形是直角三角形,但是為斜邊)3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理,而其逆定理是鑒定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。規(guī)律方法指導(dǎo)?1.勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系互相轉(zhuǎn)化證明的。2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系,可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3.勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的重要錯(cuò)誤。４.勾股定理的逆定理:假如三角形的三條邊長(zhǎng)ａ,b，ｃ有下列關(guān)系:a2+b２=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出鑒定一個(gè)三角形是否是直角三角形的鑒定方法．5.應(yīng)用勾股定理的逆定理鑒定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程重要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解.5:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多,常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思緒是①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表達(dá)方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一:，，化簡(jiǎn)可證.方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為所以6：勾股數(shù)①可以構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱(chēng)為勾股數(shù)，即中，,,為正整數(shù)時(shí),稱(chēng),,為一組勾股數(shù)②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度,如;;;;8，１５,17；９，４0,41等勾股定理練習(xí)填空題:1.在Ｒt△ABＣ中，∠C=9０°(１）若a=５,b＝1２，則c＝＿_(dá)_____＿；(2)b=８，ｃ=１7,則S△ABC＝_＿＿_(dá)_＿_(dá)_。2.若一個(gè)三角形的三邊之比為5∶1２∶１3，則這個(gè)三角形是__＿＿_(dá)__＿（按角分類(lèi)）。３.直角三角形的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為＿＿＿_(dá)_＿＿_(dá)。4．傳說(shuō),古埃及人曾用"拉繩”的方法畫(huà)直角,現(xiàn)有一根長(zhǎng)24厘米的繩子,請(qǐng)你運(yùn)用它拉出一個(gè)周長(zhǎng)為24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三邊的長(zhǎng)度分別為_(kāi)___＿＿_(dá)厘米,＿_(dá)＿＿_(dá)_厘米,_______＿厘米,其中的道理是____＿_(dá)_______＿_(dá)______＿．6．觀測(cè)下列各式：32+42＝5２;８2+６2=102；152+８2＝１７２；242+１02＝262；……；你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫(xiě)出接下來(lái)的式子：___________＿＿_(dá)__＿_(dá)＿＿_(dá)___＿＿＿＿。AB第8題圖7．運(yùn)用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形,這個(gè)圖形被稱(chēng)為弦圖(最早由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽給出的)．從圖中可以看到：大正方形面積＝小正方形面積+四個(gè)直角三角形面積.因而c２＝＋,化簡(jiǎn)后即為c2＝AB第8題圖A10064A10064abc一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是3，高是８的長(zhǎng)方體紙箱的Ａ點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn),那么它所行的最短路線(xiàn)的長(zhǎng)是___＿＿_(dá)_____＿＿。選擇題:10.三個(gè)正方形的面積如圖,正方形A的面積為(）A.6B.4C．64Ｄ.8１１.已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是5和１２,則第三邊為（)A．１3Ｂ.C．1３或D.不能擬定1２.下列命題①假如a、b、c為一組勾股數(shù),那么4a、４ｂ、4c仍是勾股數(shù);②假如直角三角形的兩邊是5、1２，那么斜邊必是13；③假如一個(gè)三角形的三邊是1２、25、21，那么此三角形必是直角三角形;④一個(gè)等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（a>b=c），那么ａ２∶ｂ2∶ｃ2=2∶1∶1。其中對(duì)的的是(）Ａ、①②???B、①③ ?C、①④ ?D、②④13.三角形的三邊長(zhǎng)為（a+b)2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是()Ａ．等邊三角形；B．鈍角三角形;C.直角三角形;D.銳角三角形.14.如圖一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以1２海里／時(shí)的速度同時(shí)從港口Ａ出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口2小時(shí)后，則兩船相距（）Ａ、25海里 ?B、30海里 ?C、3５海里 Ｄ、40海里15．已知等腰三角形的腰長(zhǎng)為1０，一腰上的高為６，則以底邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為(）A、４0 ??Ｂ、80? Ｃ、40或360 D、80或360１6.某市在舊城改造中，計(jì)劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少需要（）A、450a元? B、225a元 ?C、1５０ａ元 ?D、300a元北北南A東第14題圖150150°20m30m第16題圖三.解答題:18.(1)在數(shù)軸上作出表達(dá)的點(diǎn).19.有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過(guò)一個(gè)長(zhǎng)方形的門(mén)，假如把竹竿豎放就比門(mén)高出1尺，斜放就恰好等于門(mén)的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，已知門(mén)寬4尺,求竹竿高與門(mén)高。20.一架方梯長(zhǎng)25米,如圖，斜靠在一面墻上,梯子底端離墻７米，(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高?(2)假如梯子的頂端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米?AAA′BAB′OA第20題圖二次根式復(fù)習(xí)【知識(shí)回顧】1．二次根式:式子(≥0)叫做二次根式。２.最簡(jiǎn)二次根式：必須同時(shí)滿(mǎn)足下列條件：⑴被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式;⑵被開(kāi)方數(shù)中不含分母;⑶分母中不含根式。３.同類(lèi)二次根式:二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后,若被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就是同類(lèi)二次根式。4.二次根式的性質(zhì):（＞0）（＜0）0（=0）；(1）(）2=（≥0）；（＞0）（＜0）0（=0）；5.二次根式的運(yùn)算：⑴二次根式的加減運(yùn)算:先把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類(lèi)二次根式即可。⑵二次根式的乘除運(yùn)算:①＝(≥0，b≥0)；②【例題講解】例１計(jì)算：(1)；(２);(3)（a+b≥0）分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可直接得到結(jié)論。例2計(jì)算：⑴·⑵·⑶·(a≥0，b≥0）分析:本例先運(yùn)用二次根式的乘法法則計(jì)算,再運(yùn)用積的算術(shù)平方根的意義進(jìn)行化簡(jiǎn)得出計(jì)算結(jié)果。例3計(jì)算:（1)+-+(2）+-－（3）-+【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.化簡(jiǎn)：(1)____;(2）_____；（３）_＿_(dá)_；(4）__＿_(dá);(５)。２.（0８，安徽)化簡(jiǎn)=____＿＿_(dá)__。4.化簡(jiǎn)：(3)(08，寧夏)=；(４）(08，黃岡）5-２=___＿_(dá)_；6．（08,廣州)的倒數(shù)是。8．下列運(yùn)算對(duì)的的是A、B、C、Ｄ、９.(08,中山)已知等邊三角形ＡBＣ的邊長(zhǎng)為,則ΔＡＢＣ的周長(zhǎng)是10.比較大小:３。11．（08,嘉興)使故意義的的取值范圍是．13.(08，黑龍江)函數(shù)中，自變量的取值范圍是.1４．下列二次根式中，的取值范圍是≥２的是A、EQ\R(，２-x)B、EQ\R（,x＋2）C、EQ\R（,ｘ-2)D、EQ\R(,ＥＱ\F（1,x－2))15.（０8,荊州）下列根式中屬最簡(jiǎn)二次根式的是Ａ.B．C.Ｄ．19.(08,樂(lè)山)已知二次根式與是同類(lèi)二次根式,則的α值可以是A、5Ｂ、6Ｃ、7Ｄ、8２0．(08,大連)若，則ｘy的值為A．B.C．D.21.(０８，遵義)若,則