立體幾何綜合大題20道

立體幾何綜合大題(理科)40道及答案1、 四棱錐中，上底面,,,.求證：上平面.9若側棱上的點滿足，求三棱錐的體積?！敬鸢浮?I)證明：因為BC=CD,即ABCQ為等腰三角形，又ZACB=ZACD,故BD1AC.因為尸A_L底面ABCD,所以PA1BD,從而BD與平面PAC內兩條相交直線PA,AC都垂直，故上平面。(II)解：S=?c?CD?sinZ8CD=Lx2x2sin竺=V5.TOC\o"1-5"\h\zABCD2 2 3由FA_L底面A8CD知V =—xS xPA=—x*2用=2.P-BDC3NBCD 3由PE=7FC,得三棱錐F-BDC的高為上R4,81 1 1_1 _1故：v=-xSX-PA=-Xv''3x-x2y/3=-f-bdc3MCD8 3 8 417V=U-V =2——=—P-BDFP-BCDF-BCD 4 42、 如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCQ為矩形，△R4Q為等腰三角形，ZAPD=90°,平面PAD1.平面且A8=1,AO=2,分別為PC和BQ的中點.證明：EFP平面PAD；證明：平面PDC1平面PAD；求四棱錐P-ABCD的體積.【答案】證明：如圖，連結AC.?.?四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點...?F也是AC的中點.又E是PC的中點，EFPAP?/EF⑦平面PAD,PAu平面PAD，所以EFP平面PAD；證明：?.?平面PAD1平面ABCD,CD1AD,平面PADI平面ABCD=AD,所以平面CD1平面PAD，又PAu平面PAD，所以PA1CD又PA1PD，PD,CD是相交直線，所以PA1面PCD又PAu平面PAD，平面PDC1平面PAD；取AD中點為O.連結PO,APAD為等腰直角三角形，所以PO1AD，因為面PAD1面ABCD且面PADI面ABCD=AD，所以，PO1面ABCD，即PO為四棱錐P-ABCD的高.由AD=2得PO=1.又AB=1.1 2.??四棱錐P-ABCD的體積V=-PO-AB-AD=-3 3考點：空間中線面的位置關系、空間幾何體的體積.3、如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD±平面ABCD,CD±PA,D/平分ZADC,E為PC的中點，ADAC=45o,AC=4-.證明：PA〃平面BDE；若PD=2,BD=2(2求四棱錐E-ABCD的體積【答案】(I)設ACcBD=E,連接EF,0PD±平面ABCD,CDu平面ABCD,二PD±CD又0CD±PA,PDcPA=P,PD,PAu平面PAD:.CD±平面PAD,?ADu平面PAD:.CD±AD?/ADAC=45。，..?DA=DC,?/DB平分AADC,F為AC中點，E為PC中點，?.?ef為ACPA的中位線.?/EF〃PA,EFu平面8「歸，PA丈平面BDE?PA〃平面BDE.(II)底面四邊形ABCD的面積記為S;1一、.-1一3—S=SAC+SABC=—X*2x*+—x*'2x2<2=2.。點E為線段PC的中點，— 1一1__ 112V =—S-—PD=—x2x—x2=—.e-abcd3 2 3 2 3考點：1.線面平行的證明；2.空間幾何體的體積計算.4、如圖，在四棱錐中，底面為菱形，其中，，為的中點.求證：AD1平面尸@8；若平面平面ABCD,且M為PC的中點，求四棱錐M-ABCD的體積.【答案】QPA=PD，Q為中點，AD1PQ連DB，在AADB中，AD=AB，，.*ABD為等邊三角形，為的中點，AD1BQ,PQcBQ=Q,PQu平面PQB,BQu平面PQB,AD1平面PQB.連接QC，作MH1QC于H.QPQ1AD,PQu平面PAD,平面PADc平面ABCD=AD,平面平面ABCD，PQ±TfflABCD,QCu平面ABCD,PQ±2CPQ/1MH.MH±平面ABCD,又PM=」PC,:.MH=-PQ=-x立乂2=吏.TOC\o"1-5"\h\z2 2^22 2在菱形ABC。中，BD=2,] ] /TS =—xABxADxsin6Oo=—x2x2x——=^3,ed2 2 2S=2S =2右.菱形ABCZ） \ABDV=—xSxMH=—x2-^3x=1.M-ABCD3菱形ABCD 3 25、如圖，是矩形中邊上的點，為邊的中點,，現將沿邊折至位置，且平面平面⑴求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.【答案】（1）證明：由題可知，6、已知四棱錐中，是正方形，E是的中點，⑴若PDAD，求PC與面AC所成的角求證：平面求證：平面PBC±平面PCD【答案】平面，是直線在平面ABCD上的射影，是直線PC和平面ABCD所成的角。又，四邊形ABCD是正方形，，；直線PC和平面ABCD所成的角為連接AC交BD與O,連接EO,?.?E、O分別為PA、AC的中點?.?EO〃PC ?/PC平面EBD,EO平面EBD .\PC〃平面EBD?「PD平面ABCD,BC平面ABCD，?PDBC，?/ABCD為正方形..?BCCD，?「PDECD二D,PD，CD^PCDABC平面PCD又BC平面PBC..?平面PBC平面PCD7、在邊長為的正方形中，分別為的中點，分別為的中點，現沿折疊，使三點重合，重合后的點記為，構成一個三棱錐.請判斷與平面的位置關系，并給出證明；(2)證明平面;求四棱錐的體積.【答案】(1)平行平面證明：由題意可知點在折疊前后都分別是的中點(折疊后兩點重合)所以平行因為，所以平行平面.證明：由題意可知的關系在折疊前后都沒有改變.因為在折疊前，由于折疊后，點，所以因為，所以平面.(3).8、在如圖所示的幾何體中，四邊形^88是正方形，MA上平面ABCD，PD〃MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD=PD=2MA.求證：平面EFG上平面PDC；⑵求三棱錐P-MAB與四棱錐P-ABCD的體積之比.【答案】(1)證明：：MA1平面ABCD，PD〃MA，???PD1平面ABCD，又BCu平面ABCD，?PD1BC，?/ABCD為正方形，..?BC1DC.?/PDIDC=D，?BC1平面PDC.在KPBC中，因為G、F分別為PB、PC的中點，?.?GF〃BC，?GF1平面PDC.又GFu平面EFG,「?平面EFG1平面PDC.(2)不妨設MA=1,yABCD為正方形，..?PD=AD=2,又,:PD1平面ABCD,1 8所以七ABCD=3S正方形ABCD.PD=3.由于DA1平面MAB，且PD〃MA，所以DA即為點P到平面MAB的距離， 1 (1 \ 2

三棱錐LMAB=3X:三XIX 求四棱錐S-ABCD的體積; 求四棱錐S-ABCD的體積; 求證：面SAB1面SBC;求SC與底面ABCD所成角的正切值?！敬鸢浮?1)解：111 1 1 1v=Sh=—x—x(AD+BC)xABxSA=_x(—+1)x1x1=_3 32 6 2 4所以VP-MAB：VP-ABCD=1：4-9、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，ZABC=90。,SA1面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=-.2SCAD

SCAD(2)證明:0SA1面ABCD,BCu面ABCD,SA1BC又0AB1BC,SAIAB=A,BC1面SAB0BCu面SAB?SAB1?SBC解：連結AC,則ZSCA就是SC與底面ABCD所成的角。在三角形SCA中，SA=1,AC=、‘12+12=^2,tanZSCA=tanZSCA=SAAC2如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側棱上，。證明：是側棱的中點；求二面角的大小?！敬鸢浮糠謩e以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系D—xyz，則。(I)設，則故，即，解得，所以是側棱的中點。（II）由（I）得，又，，設分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即二面角的大小。11、如圖，直三棱柱ABC-ABC中，AB±AC,D.E分別為AA、BC的中點，DE±ABC平面BCC（I）證明：AB=AC （II）設二面角A-BD-C為60°，求BC與平面ABCBCD所成的角的大小【答案】（I）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A—xyz。設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），^（1，0，2c）,E（，，c）.于是二(,,0),二(-1,b,0).由DE±平面知DEXBC,=0,求得b=1,所以 AB二AC。設平面BCD的法向量則又二(-1,1,0),=(-1,0,c),故令x=1,則y=1,z=,二(1,1,)。又平面的法向量二(0,1,0)由二面角為60。知，=60°,故°，求得于是,,°所以與平面所成的角為30°12、如圖，平面，，，，分別為的中點.(I)證明：平面；(II)求與平面所成角的正弦值.【答案】（I）證明：連接， 在中，分別是的中點，所以，又，所以，又平面ACD，。。平面ACD，所以平面ACD（II）在中，，所以而DC平面ABC，，所以平面ABC而平面ABE，所以平面ABE平面ABC，所以平面ABE由（I）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以所以平面ABE，所以直線AD在平面ABE內的射影是AP，所以直線AD與平面ABE所成角是在中，，所以13、如圖，四棱錐的底面是正方形，，點E在棱PB上.（I）求證：平面；（II）當且E為PB的中點時，求入￡與平面PDB所成的角的大小.【答案】（I）：四邊形ABCD是正方形，.??ACLBD，???，APD±AC，AAC±平面PDB，?.?平面.（II）設ACnBD=O,連接OE，由（I）知AC±平面PDB于0，AZAE0為AE與平面PDB所的角，.?.0,E分別為DB、PB的中點，?.?OE14、如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點.求證：平面上平面；求直線與平面所成的角；求點到平面的距離.【答案】(1)證：依題設，M在以BD為直徑的球面上，則BMXPD.因為PA1平面ABCD，則PAXAB，又ABXAD，所以AB±平面PAD，則ABXPD，因此有PD±平面ABM，所以平面入BM±平面PCD.設平面ABM與PC交于點N，因為AB〃CD，所以AB〃平面PCD，則AB〃MN〃CD，由(1)知，PD1平面ABM，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以就是與平面所成的角，且所求角為因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由(1)知，PDL平面ABM于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離.因為在RtAPAD中，，，所以為中點，，則O點到平面ABM的距離等于。15、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，(I)求證：；設線段、的中點分別為、，求證：〃求二面角的大小?！敬鸢浮?I)因為平面ABEFX平面ABCD，BC平面ABCD,BC±AB，平面ABEFn平面ABCD=AB，所以BC±平面ABEF.所以BCXEF.因為/ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以ZAEB=45°，又因為NAEF=45,所以ZFEB=90°，即EFXBE.因為BC平面ABCD,BE平面BCE,BCnBE=B所以取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC???PMNC為平行四邊形，所以PM〃CN.CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，?.?PM〃平面BCE.由EAXAB,平面ABEFX平面ABCD,易知EA±平面ABCD.作FGXAB,交BA的延長線于G,則FG〃EA.從而FG±平面ABCD,作GHXBD于H,連結FH,則由三垂線定理知BDXFH.???NFHG為二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,ZAEF=45°ZAEF=90°,ZFAG=45設AB=1,則AE=1,AF=，則在Rt/BGH中，ZGBH=45°,BG=AB+AG=1+=,在Rt/FGH中，，???二面角的大小為16、如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD±平面ABCD,SD=AD=a，點E是SD上的點，且DE=a(0<M1). (I)求證：對任意的(0、1),都有ACXBE：(II)若二面角C-AE-D的大小為60(C，求的值?！敬鸢浮?I)證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。$。平面ABCD，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)S。平面ABCD,C。平面ABCD，SDCD.又底面ABCD是正方形，CDAD，又SDAD=D，。。平面SAD。過點。在平面SAD內做DFAE于F，連接CF，^。CFAE，故CFD是二面角C-AE-D的平面角，即CFD=60°在RtAADE中，AD=,DE=，AE=。于是，DF=在RtACDF中，由cot60°=

得,即二得,即二3解得二17、如圖3,在正三棱柱中，AB=4,，點D是BC的中點，點E在AC上，且DEE.（I）證明：平面平面； （II）求直線AD和平面所成角的正弦值。【答案】（I）如圖所示，由正三棱柱的性質知平面.又?！昶矫鍭BC，所以DE.而DEE，,所以DE±平面.又DE平面，故平面上平面.（II）過點A作AF垂直于點，連接DF.由（I）知，平面上平面，所以AF平面，故是直線AD和平面所成的角。 因為DE，所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-二3.又因為，所以E二二4,即直線AD和平面所成角的正弦值為18、如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，求證：；設線段、的中點分別為、，求證：〃求二面角的大小?！敬鸢浮?I)因為平面ABEFX平面ABCD，BC平面ABCD,BC±AB，平面ABEFn平面ABCD=AB，所以BC±平面ABEF.所以BCXEF.因為/ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以ZAEB=45°，又因為NAEF=45,所以ZFEB=90°，即EFXBE.因為BC平面ABCD,BE平面BCE,BCnBE=B所以(II)取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC???PMNC為平行四邊形，所以PM〃CN.CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，?.?PM〃平面BCE.(III)由EAXAB,平面ABEFX平面ABCD,易知EA±平面ABCD.作FGXAB,交BA的延長線于G,則FG〃EA.從而FG±平面ABCD,作GHXBD于H,連結FH,則由三垂線定理知BD±FH.???NFHG為二面角F-BD-A的平面角.FA=FE,ZAEF=45°,ZAEF=90°,ZFAG=45°.設AB=1,則AE=1,AF=，則在Rt/BGH中，ZGBH=45°,BG=AB+AG=1+=,,在Rt/FGH中，，???二面角的大小為19、如題(18)圖，在五面體中，〃，，