初中數(shù)學人教版八年級上冊軸對稱1課題學習最短路徑問題 優(yōu)秀

課題：最短路徑問題天門市外國語學校錢琴導學案【教學內(nèi)容】本節(jié)課是八年級上冊第十三章第四節(jié)的課題學習，學生已經(jīng)有了兩點之間線段最短、三角形三邊關(guān)系、畫軸對稱圖形和平移等知識基礎(chǔ)，以此探究生活中的最短路徑問題，本課以軸對稱變換和平移變換的方式，把兩點一線或兩點兩線的題轉(zhuǎn)化成“兩點在一條直線兩側(cè)”的題，用“兩點之間線段最短”解決問題.學生難以理解的是求最短路徑時如何把多條線段轉(zhuǎn)到一條直線上，所以采用多媒體教學讓學生看圖得到直觀感受，理解折線轉(zhuǎn)直的方法.【教學目標】1.利用軸對稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到同一條直線上，解決最短路徑問題；2.通過獨立思考、合作探究等方法解決問題，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力；3.數(shù)學來源于生活并服務于生活，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習興趣及解決實際問題的能力.【學習重難點】重點：用所學知識作出最短路徑.難點：靈活利用軸對稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到直線上，解決問題并證明.【學情分析】學生已經(jīng)具備了以下的知識基礎(chǔ)：兩點之間線段最短、三角形三邊關(guān)系、畫軸對稱圖形和平移等知識，再準備好鉛筆、直尺，就可以進行本節(jié)課關(guān)于最短距離的探究了.利用三邊關(guān)系驗證最短距離是本節(jié)課的難點.老師用多媒體演示不同類型的路徑題轉(zhuǎn)化成兩點在一條直線異側(cè)的題，引導學生用已學的知識解決問題，演示最短路徑與其它路徑的動態(tài)比較過程，讓學生先感受，進而理解其證明方法.【教學策略】啟發(fā)式教學，多媒體輔助教學學習過程【探究活動一】復習鞏固引入新知1.探究問題：如圖1所示，從A地到B地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？2.已知：如圖2，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點P，使得PA+PB最小.【探究活動二】探究歸納生成新知ABl（將軍飲馬問題）相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：

ABl1.抽象問題：你能把這個問題抽象成數(shù)學問題嗎？我們可以將筆直的河流抽象成一條__________，A地和B地抽象成__________.請畫出圖形.這個數(shù)學問題可以描述為：如圖，點A，B在直線l的_______，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，_____與_____的和最?。?.轉(zhuǎn)化問題：能否把直線l同側(cè)的兩點A，B轉(zhuǎn)化到直線l的異側(cè)呢？(如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到符合條件的點B′嗎？)問題可轉(zhuǎn)化為：當點C在l的什么位置時，_____+_____的和最??？3.解決問題：如圖3，點A，B在直線l的同側(cè)，點C是直線上的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最??？請畫出圖形.B4.證明結(jié)論：如圖4，在直線l上任取一點C′（與點C不重合），連接AC′，BC′，B′C′，你能證明AC+CB<AC′+C′B嗎？B【探究活動三】拓展探究深化新知（造橋選址問題）如圖，A和B兩地在同一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直.）1.抽象問題：你能把這個問題抽象成數(shù)學問題嗎？我們可以將平行的河岸抽象成兩條__________，A地和B地抽象成__________.請畫出圖形.這個數(shù)學問題可以描述為：如圖，N為直線b上的一個動點，MN⊥直線b，交直線a于點M，當點N在直線b的什么位置時，______+______+_______最??？2.轉(zhuǎn)化問題：能否把兩條直線異側(cè)的兩點A，B轉(zhuǎn)化到一條直線異側(cè)的兩點呢？(將AM沿與河岸方向垂直的方向平移一個河寬，點M移動到點___，點A移動到點___，則AA′=____，AM+NB=____+____)問題可轉(zhuǎn)化為：當點N在直線b的什么位置時，____+____最??？3.解決問題：如圖5，N為直線b上的一個動點，MN⊥直線b，交直線a于點M，當點N在直線b的什么位置時，AM+MN+NB最?。?.證明結(jié)論：如圖6，在直線b上另外任取一點N′，過點N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，A′N′，N′B，證明：AM+MN+NB<AM′+M′N′+N′B.【課堂小結(jié)梳理新知】【當堂檢測鞏固新知】如圖7所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．導學設(shè)計【導學目標】1.利用軸對稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到同一條直線上，解決最短路徑問題；2.通過獨立思考、合作探究等方法解決問題，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力；3.數(shù)學來源于生活并服務于生活，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習興趣及解決實際問題的能力.【導學重難點】重點：用所學知識解決及證明最短路徑問題.難點：靈活利用軸對稱或平移性質(zhì)將折線轉(zhuǎn)化到直線上，解決問題. 導學過程導入：最短路徑問題是生活中常見的實際問題.比如人們在選擇最短路線、鋪設(shè)管道、修建道路等方面，如果能夠做出最好的選擇，就會起到節(jié)約人力、物力、財力的作用.這一節(jié)課讓我們從《將軍飲馬》問題入手，一起來探討“如何設(shè)計最短路徑”.【導學一】復習鞏固引入新知設(shè)置意圖：通過3道題的訓練，讓學生回顧“兩點之間線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等最短路徑問題，為學習新知識做鋪墊.操作流程：1.學生獨立思考，回答問題；2.老師補充點評.【導學二】探究歸納生成新知設(shè)置意圖：帶領(lǐng)學生一起走進故事情境，探索數(shù)學家海倫到底怎樣應用數(shù)學知識解決了將軍的問題.操作流程：同桌交流、小組合作等方式分別完成1-4題，用所學知識解決問題.問題1：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生抽象問題的能力（兩點在一條直線同側(cè)的問題），增強數(shù)學建模意識.操作流程：同桌交流，討論問題1；教師隨機抽取兩名同學回答；教師補充并畫出圖形.問題2：設(shè)計意圖：聯(lián)想舊知，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，培養(yǎng)學生(軸對稱)轉(zhuǎn)化問題的能力，為解決新問題做準備.操作流程：1.老師用多媒體展示轉(zhuǎn)化過程，引導學生用軸對稱性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化；2.學生思考、回答；3.老師點評.問題3：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生用舊知（兩點之間線段最短）解決新問題的能力，規(guī)范作圖過程.操作流程：1.同桌討論交流，選一名代表上臺演排，畫出最短路徑；2.其他小組成員點評；3.老師歸納、小結(jié)作法.問題4：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力，會證明解法的正確性.操作流程：1.小組討論交流，選一名代表上臺演排，寫出證明過程；2.其他小組成員點評；3.老師歸納、小結(jié)標準過程；4.師生一起回顧總結(jié)本類題型解決方法.【導學三】拓展探究深化新知設(shè)置意圖：帶領(lǐng)學生一起走進故事情境，探索怎樣應用數(shù)學知識解決造橋選址的問題.操作流程：同桌交流、小組合作等方式分別完成1-4題，用所學知識解決問題.問題1：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生抽象問題的能力（兩點在兩條直線異側(cè)的問題），增強數(shù)學建模意識.操作流程：同桌交流，討論問題1；2.教師隨機抽取兩名同學回答；3.教師補充并畫出圖形.問題2：設(shè)計意圖：聯(lián)想舊知，把新知轉(zhuǎn)化成舊知，培養(yǎng)學生（平移）轉(zhuǎn)化問題的能力，為解決新問題做準備.操作流程：1.老師用多媒體展示轉(zhuǎn)化過程，引導學生用平移性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化；2.學生思考、回答；3.老師點評.問題3：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生用舊知（兩點之間線段最短）解決新問題的能力，規(guī)范作圖過程.操作流程：1.同桌討論交流，選一名代表上臺演排，畫出最短路徑；2.其他小組成員點評；3.老師歸納、小結(jié)作法.問題4：設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維能力，會證明解法的正確性.操作流程：1.小組討論交流，選一名代表上臺演排，寫出證明過程；2.其他小組成員點評；3.老師歸納、小結(jié)標準過程；4.師生一起回顧總結(jié)本類題型解決方法.【課堂小結(jié)】請兩