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圓錐曲線復習題

1.已知拋物線C的頂點在原點，焦點坐標為尸(2,0),點M的坐標為(相，0),其中機

為非零常數.

(1)設過點M斜率為1的直線交拋物線于4,B兩點,若小VO,M關于原點的對稱

點為N,求△M4B面積的最大值；

(2)設過點M斜率為％(ZW0)的直線/2交拋物線C于P,。兩點，在x軸上是否存在

點T,使得直線TP,TQ與x軸所成的銳角相等？若存在，求點7的坐標；若不存在，請

說明理由.

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xya

2.已知橢圓一+—=1及直線2：y=+m.

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(I)當直線/與該橢圓有公共點時，求實數機的取值范圍；

(II)若直線/被此橢圓截得的弦的中點M的橫坐標為1,求直線/的方程.

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3.圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質，這些性質均與它們的焦點有關.如：從橢圓的一個

焦點處出發(fā)的光線照射到橢圓上，經過反射后通過橢圓的另一個焦點；從拋物線的焦點

處出發(fā)的光線照射到拋物線上，經反射后的光線平行于拋物線的軸.某市進行科技展覽，

其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質，此展品的一個截面由一條拋物線Ci和一

個“開了孔”的橢圓C2構成（小孔在橢圓的左上方）.如圖，橢圓與拋物線均關于x軸

對稱，且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點，Fi,放為橢圓C2的焦點，同時Fi也為

拋物線Ci的焦點，其中橢圓的短軸長為2百，在尸2處放置一個光源，其中一條光線經過

橢圓兩次反射后再次回到尸2經過的路程為8.由F2照射的某些光線經橢圓反射后穿過小

孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.

（1）求拋物線C1的方程；

（2）若由放發(fā)出的一條光線經由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔，再經拋物線上的點

Q反射后剛好與橢圓相切，求此時的線段QFi的長；

（3）在（2）的條件下，求線段尸。的長.

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久4y4

4.已知拋物線Ci：/=1px(p>0),橢圓C2：—+—=1(a>/?>0),拋物線與橢圓有

Q/b乙

共同的焦點產(4,0),且橢圓C2的離心率e=*

(I)求橢圓與拋物線的方程；

(II)直線/1的方程為x=-4,若不經過點尸的直線/2與拋物線交于4,B(A,B分別

在x軸兩側)，與直線/1交于點與橢圓交于點C,D,設公，PM,PB的斜率分別為

k\,k2,k3,若ki+la=2k2.

(i)證明：直線/2恒過定點；

(ii)點。關于x軸的對稱點為O',試問的面積是否存在最大值？若存在，

求出這個最大值；若不存在，請說明理由.

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5.已知橢圓C的方程為丁+匕=1（a>6>0）,右焦點為尸（VL0）,且離心率為一.

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（I）求橢圓C的方程；

（11）設“，N是橢圓C上的兩點，直

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