概率論習(xí)題庫第4章數(shù)字特征

練習(xí)題1

2X為正態(tài)分布的 量，概率密度fx2

，則E2X2①2EX21

②

(EX)2]

③4EX2

④2(DX1)1X為紅球出現(xiàn)的次數(shù)，則EX

已知EX1

3，則E3X2 已知隨量X~b(6,0.4)，則EX，DX的值①EX2.4，③EX3.6，

②EX2.4，④EX3.6，

設(shè)隨量X的分布列為

k}

設(shè)X與Y兩個隨量， ①E(XY)EX③E(XY)【答案】

②D(XY)④D(XY)

如果隨量X,Y不相關(guān)，則下列等式 ①cov(X,Y)【答案】

②D(XY)

③D(XY)

④E(XY)

4，

1，X

0.6，則D(3X2Y ③

已知隨量X,Y的方差DX,DY均存在，則下列等式 ①D(XY)

②D(XY)

③D(XY)E(XY)2[E(XYX服從泊松分布(3DX

④D(XY)E[(X 19

3

設(shè) 量X服從二項(xiàng)分布，即X~bn,p，且EX3，p1，則n7【答案】 設(shè)X服從二項(xiàng)分別bn，p，則 【答案】（A）E2X1（C）E2X14np

（B）D2X14np1p1（D）D2X14np1 量X的概率分布為PXk【答案】

兩個相互獨(dú)立的隨量X和Y的方差分別為4和2，則隨量3X2Y的方差 【答案 已知隨量X滿足E(X2)8，DX4，則(EX)2 【答案】當(dāng) 量X服從參數(shù)為0的指數(shù)分布時，則DX 【答案】設(shè)隨量X的EX，

（C） （D）2，用切比不等式估計(jì)P{|X|3（A）9【答案】

（B）9

（C）

（D）9X,YN(,2（A）E(2X2Y)（C）D(2X2Y)【答案】X,Y的協(xié)方差covX,Y)E(XY

E(2X2Y)（D）X與YE(XY)EXDXE(XY)EXDXXYDX【答案】

1，X

0.4，則DXY 【答案】若隨量X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)0，則下列結(jié)論必正確的（A）X與Y獨(dú) （B）D(XY)DXD(XY)【答案】

D(XY)DX 量X1,X2,,X10相互獨(dú)立，且EXi1，DXi2（i1,2,,10則對于任意給定的0，有 （C）P{|

1|}110|}120

（D）P{|

1|}11|}120【答案 X與YDXY)DXY)，則必有X與Y獨(dú) （B）X與Y不相 （C）DY【答案】X與Y

cov(X,Y)

D(XY)

D(XY)

D(XY)DX兩個隨量X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)E[(XEX)(YEY（C）E(XY)2(EXEY

E(XEX)E(YEY（D）E(XY設(shè)隨量

~

EX)6A. B. C. D. XP2XP23設(shè)離散隨量X的分布列為，DX) 【答案】

設(shè)隨量X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布，則下列各項(xiàng)中正確的A.E(X)0.5,D(X)C.E(X)0.5,D(X)【答案】

B.E(X)2,D(X)D.E(X)2,D(X)設(shè)隨量X的期望E(X)與方差D(X)都存在，則對任意正數(shù)，P{|XE(X)|}D(X

P{|XE(X)|}D(XP{|XE

P{|XE

【答案】設(shè)隨量X,Y相互獨(dú)立，且XDX2Y1)

~B(16,0.5)Y服從參數(shù)為9的泊松分布，則 【答案】已知隨量X與Y相互獨(dú)立，且它們分別在區(qū)間[1,3]和[2,4]上服從均勻分布，E(XY)

0.4，則DXY 【答案】已知隨量X與Y相互獨(dú)立，且1

~U[1,3Y~e(4，則EXY4設(shè)隨量X與Y相互獨(dú)立，且【答案】

1，

2，則DXY若隨量X服從二項(xiàng)分布B(n,p)，且EX【答案】

3.6，則n 設(shè)隨量X與Y相互獨(dú)立，且

1，

2，則D(2XY已知隨量X與Y相互獨(dú)立，且X~U[3,3]，Y~e(4)，則E(XY)【答案】設(shè)隨量X與Y相互獨(dú)立，且【答案】

1，

設(shè)隨量X服從區(qū)間(0,)上的均勻分布，則數(shù)學(xué)期望E(sinX)2只白球，32X表示取到的紅球個數(shù)。試（1）X（2）EX。X012P1000X,Y表示，已X,Y的分布列X01X0123PY01 P X 0 1 設(shè)二維隨機(jī)向量X,Y的聯(lián)合分布律為EXX 0 1 設(shè)二維隨機(jī)向量X,Y)只能取下列數(shù)組中的值(001,1),1/6，1/3，1/12，5/12。（1）X與YEXE(Y

1),(2,3

XY01XY010000200X02PY01P某射手有3 3（1）（2）（1）13/9X123PX表示車在此街道行駛中未遇好的紅燈而連續(xù)通過的綠燈數(shù)，X的概率分布及數(shù)學(xué)期望。答案（1）X0123P（2）7/8若有n把看上去樣子相同的其中只有一把能打開門上的鎖用它們?nèi)ピ囬T上的鎖，設(shè)取到每只鎖等可能的若每把試開一次后除去試求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。EX)n2X 0 1 量(X,Y)的分布律X 0 1 α，β（2）（3）X 0 1 設(shè)隨量X和Y的聯(lián)合概率分布為：求：協(xié)方差X 0 1

1x設(shè) 量X的概率密度為：f(x)2 （1）EXDX（2）P{|XEX|2DX2e2設(shè) 量X概率密度為：f(x)

xD(XY D(XY（2）

XEX)，求Y

(e(：1/2，1/4fYy)

y y

0x設(shè) 量X的概率密度為f(x)

（1）c（2）1}（3）（4） x：3，2；19/216；3/80F(x)x311

0xx設(shè)隨量X與X相互獨(dú)立且X~N(,2)，X~N(,2)，XXX YX1X2（1）DXD(Y（2）X與YXY【答案2222設(shè)二維隨機(jī)向量X,Y)的概率密度為f(x,y)

0yx（1E(（2）EXY（3）P{XY1}

0 x已知 量X的分布函數(shù)為：F(x)

0x4EXDXx

~N(5,5，Y~U[0,

1，試求（1）EX2Y2（2）DX2Y523

1530設(shè) 量X的密度函數(shù)為f(x)axb1x2，并且E(X)19，求D(X0

設(shè) 量X的概率密度為：f(x)

2x

（（2E( （3）設(shè) 量X的概率密度為f(x)

0x

（1）E(（2）（3）設(shè)隨量X服從參數(shù)為2的泊松分布，隨量Y服從區(qū)間（0，6）上均勻分布16且它們的相關(guān)系數(shù) ，記ZX2Y，求：E(Z)和D(Z16服從均勻分布，求該游客等候時間Y的數(shù)學(xué)期望。YgX)

52555

0X5X25X

55X設(shè)Z1X1Y，其中X~N(1,32)，Y~N(0,42)，且 （1） （2）（3）1 6

1例與相比上下不超過6

16【答案：良種數(shù)X～B(6000,1)， 16

6已知隨量X~B(n,p)，且EX12，

8p和nYX032YX0323101111120XY的邊緣概率分布,X與Y的獨(dú)立性；協(xié)方差covX,Y

Y}；隨量ZXY的概率分布XpXpi12014114Ypj13012316

0pX1

1pXpYpX與Y

（2）EX2

04

4

，EY

02

3 E

2321

所以covX,Y)EXYEXEY131 PXYPX Y PX Y PX

Y111 ZZp11082230YX02110021YX0211002131121XYX與Y協(xié)方差covX,YP{XY}；隨量ZXY的概率分布．3（1）XpXpi16012113Ypj13013213因?yàn)?0，而pX1，pY1，即pXpY

X與Y

（2）EX6

02

3

，EY2

03

2 0E(XY)1(2)

1(2)

121 所以covX,Y)EXYEXEY6P{XY}P{X1,Y0}P{X1,Y2}P{X0,YP{X0,Y2}P{X1,Y

10131 012312201231221231p4（AXFX(x)；求數(shù)學(xué)期望EXDX

(x)

0x，X令Y ，求X11

y

f

A

1A1，A2xx0時fX(x0FX(xfX(u)du0x x當(dāng)0x1時，F(xiàn)(x) f(u)du 當(dāng)x1時，F(xiàn)(x) f(u)du

12uduu21x x

x

(x)x11

0xx（2）EX

xf x2xdx

2

1 11EX2

x2f(x)dx1x22xdx1x4

1

DXEX2(EX)214

1；Y

XX X（3）F(y)P{Yy}P{X2y}P{Xy2}

(y2)YfY(y)

'(y)

3'(y2)3

f(y

0y3

1

2y

100廢品數(shù)分別用X、YX0123Y01230E(X)＝00.710.120.130.10.6E(Y)＝00.510.320.230有5個相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的Xk(k=1,2，3，4，5)服從同 1ex,x 指數(shù)分布，其概率密度為fx ，0，(1)若將這5個電子 x置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)（以小時記）N的數(shù)學(xué)期望。(2)若將這5電子裝置并聯(lián)連接組成整機(jī)，求整 （以小時記）M的數(shù)學(xué)期望分析:5個電子裝置串聯(lián)，整

MmaxX1X2X3X4X5，要求N，MN,M數(shù)fmin(x),fmax(x). 因?yàn)?個電子裝置串聯(lián)，所以整 為

1e5x,x

，因而N x 5e5x,x x ，于是N

xE(N xf

xdx

x5e5xdx

(2)5

MmaxX1X2X3X4X5

x

F

1ex5,x

，因而N

4e

xxfmax

，于是N

xE(N

xdx

x51ex4exdx137 EM我們可以看到EN11.4，即5個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接工作的平 是串聯(lián)接工作的平均的11.4倍一旅客8:20到站，求他候車時間的數(shù)學(xué)期望。 第一車8:30到 10分鐘,第一車8:50到 30鐘【解答】設(shè)旅客候車的時間為X(以分記)，則X的的可取值 、 90.P{X=10}=P“8：3036P{X=30}=P“8：5026P{X=50}=P“8：109：10

11 P{X=70}=P“8：109：30

13 P{X=90}=P“8：109：50

12 即XXX8:2027.22(N方法進(jìn)行。（1）將每個人的血分別去驗(yàn)，這就需驗(yàn)N（2）k進(jìn)行分組.把k個人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這混合血液顯反應(yīng)，就說明k個人的血都顯反應(yīng)，這樣，這k個人的血就只需驗(yàn)一次。若顯陽性，則再將對這kkk+1p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。試說明當(dāng)pk，按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)。并說明k【解答】若按第二種方法，以k個人為一組進(jìn)行化驗(yàn)，記1-p=q，設(shè)組內(nèi)每個人化驗(yàn)的次數(shù)為X，則X的可取值為1,k1.由于各人是否 是相互獨(dú)立的 P{x1}=P“k個人的混合血 ”=P“k個人的血都 kP{xk1}=P（k個人的混合血顯陽性）=P（k個人的混合血 ）=1qkk故每個人化驗(yàn)次數(shù)X1，的次數(shù)。顯然，pp已知時，可選定使qk1k 達(dá)最小，以個人為一組進(jìn)行化驗(yàn)，將能最大限度地減少化驗(yàn)次數(shù)。例如p=0.1即q=0.9時可用賦值法求函數(shù)qk1的最大值：kk273…456 k=4qk10.44k10v設(shè)風(fēng)速V在（0，a）上服從均勻分布，即具有概率密度f(v) 又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力WVWkV2（V，k>0是常數(shù)求W

dv11【解答】由（1.4）E（W）=

ka 設(shè)二維 量（X,Y）的概率密度fx,yxy,0x10,y0,其

XY【解答】EXYxyfxydxdy11xyxydxdy

0 11.b商品，則每公斤凈虧損lX(以公斤計(jì))是一隨量，在區(qū)間(s1s2)上服從均勻分布為使商店所獲得利潤的數(shù)學(xué)望最大，問商店應(yīng)進(jìn)多少貨?aX，則

X是 量，且有

XbXsXl,s1X ,sss

sXs2.212X的概率密度為fxs 2121

X

sbxs

s2

dx

s2s

s2s1bls2

bssbls2

1

s2s1由于dEasX=blsls1bs2 ，令dEasX=0， s2 40%的工作量。12.設(shè)隨量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)，方差D(X)20XxEX)0DX解EX1EX1[EX0 D(X)E(X2)[E(X)]2E[(X2 E[(X)] XX注意：這里X不一定是正態(tài)隨量。對正態(tài)隨量，結(jié)論也成立設(shè)aXb，cYd，其中a0c0XY證明：若隨量X與Y相互獨(dú)立，則D(XY)D(X)D(Y)ba若隨量X在所取的一切可能值中具有最小值a和最大值b，證明：DX 【證明】DXEXEX)2EXab)2b(xab)2f(x 2(bab)2bf(x)dxba2 已知隨量X與Y同分布，UXY，VXY，試證：X與Y不相關(guān)練習(xí)題設(shè)正態(tài)分布隨量的概率密度(x

( e

266則的方差是 )633

(C)3 (D)若2

,

)(等于 )1 11 【答案】

2 2222 222

1 2;.12 2;.12 D(

0是 C

1(C是常數(shù))的 充分條件,但不是必要條件必要條件,但不是充分條件充分條件又是必要條件既非充分條件又非必要條件【答案】量差D(

3,則D

5)等于 )【答案】

6

7 12

若隨量與相互獨(dú)立,且方差D(

2,D(

1.5D(3 1)等于 )【答案】

9

24

25 2已知隨量與的方差D()0.5,則D( )等于( ).

9,D(

16,相關(guān)系數(shù)(

19

13

37

設(shè)的分布律為

n是正整數(shù)2n 則 ).【答案】

0

1;

0.5 不存兩個隨量的協(xié)方差為cov

)

E(

E()2

( E((C)

()E()2

E(【答案】如果 不相關(guān)(cov(

0),則 )D(ab aD( bD()D( D()D(D( DE E【答案】

)D ))E )如果 獨(dú)立則 )D( D()D )D(D(

2D(2 9D(

)4D()D( D(【答案】

D()如果 滿足D D ),則必有 )(A) 獨(dú)立 (B)cov( 0(C)D(

0 (D)D(

D( 0【答案】~N(1,1),記的概率密度為(x),分布函數(shù)為F(x),則有( ).P

x,

0.5 0.5F【答案】

x, 設(shè)~N( 2) 是任意實(shí)數(shù),則有 )p{ p{}p{ } |~N(0, 2)~N(0 2)【答案】設(shè)~N(0,1)

1, ~ )N(0,1) (B)N(1,4)(C)N(1,3) (D)N(1,1)【答案】設(shè)i~N(0,1)(

1,2

2,則 )~N(0,1) ~N(0,2)(C)E(

0 (D)D( 2設(shè)(, )服從二維正態(tài)分布,則下列條件中不是、相互獨(dú)立的充分必要條件是( ).(A)、不相關(guān)

E

E()E )(C)cov( 0

E(

E 0【答案】隨量、相互獨(dú)立與不相關(guān)的正確關(guān)系是 )(A)、不相關(guān)、獨(dú)立 (B)、不相關(guān)、獨(dú)立(C)、獨(dú)立、不相關(guān) (D)、獨(dú)立、不相關(guān)【答案】下面的數(shù)學(xué)期望與方差都存在,當(dāng)隨量、相互獨(dú)立時,下列關(guān)系式中錯誤的是( ).E( E()E ) (B)D D( D )(C)D( D()D )

cov

)=0【答案】下列命題中錯誤的是 )若~p(),則E(

D( 若服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則E(

D( 1若~B ),則E(

,D(

)若服從區(qū)間[a,b]上的均勻分布,則E(

a 3

b2下列命題中正確的是 )若~N(0,1),則稱服從 1分布若E(

0,D(

1,則稱服從01分布若的分布律 服從01分布若的分布密度

x

x,

1,

01,則稱0,x

0,,則【答案】

服從01分布.

1,

0,設(shè)隨

n相互獨(dú)立,E

i及

i都存,等式中錯誤的是 )ninni

,kn,為 1個任意常數(shù),則下面

ki

kiE(i) ci

kininni

kiE(in

i)

kii niini

kiD(iini

i)

1

i)i【答案】設(shè)隨量服 2的泊松分布,則隨 2的方D(2 )(A)8 (B)4 (C)2 量服從泊松分布.參 4,則(2

)(A)16 (B)20 (C)4 【答案】 a a

~N(0,

~N(a

2),則與之間的關(guān)系是 ) a2 2a2【答案】~N(0,1),

則~ )

N(0,1) (B)N

1,4) (C)N

1,2) (D)N

1,3)【答案】設(shè)~N(

2

~N(0,1),則與的關(guān)系為 )a2 aa2 a a【答案】

a隨量服從區(qū)間 上的均勻分布,(A)0 (B)3 3; (D)6【答案】

)設(shè)服從參數(shù)為的指數(shù)分布.且D((A)4 (B)2 (C)1 2

4, )14【答案】相關(guān)系數(shù)R的取值范圍是 )[0【答案】

) (B)

1,1] (C)[0,1] (D) 隨量服從指數(shù)分布,參 )時

2

18

1 1 【答案】隨量服從[3,3]上的均勻分布,則(2

)3 【答案】

9 (C) (D)182設(shè)是一隨有( ).

,

C是任意常數(shù)

)()C2;E

【答案】

P{

p

p)

1(

0,1, ),則E(

)

p)

1 (C)p (D)kpp設(shè)F

0 x2,

則E(

) 1x3dx

12x2dx000

1x2dx0

2x2dx設(shè)與是兩個相互獨(dú)立的隨量,D(

4,D(

2 2,則D( )(A) (B)16 (C) (D)44【答案】D(

4,D(

0.6,則D( 2

(A)40 (B)34 (C)25.6 (D)17.6【答案】設(shè)隨

與YX相互獨(dú)立方差分別Y)((

15

21

27【答案】設(shè)隨量X與Y滿足D( Y是

D Y),則下面敘述正確

X與Y相互獨(dú)立D(Y 0

X與Y不相關(guān)D(X)D(Y 0【答案】若Xi~N i

i2)(i

1,2

,n),n

1,X2

,

相互獨(dú)立, (aiXii1niinnii

bi)~ (A)

ai iin

(ai 1n

bi (B)(C)

(ai niiniai i

bi),ina a

(a ii;ii

bi nini

(

ina. bi), a. i【答案】若隨量, 的相關(guān)系數(shù)(, )存在,則| (, 最大值等于 設(shè)隨量的分布律為

pk

1,,)2存在,則E(h( h(xk)pkk設(shè)、相互獨(dú)立,且都服從N(0,1),則 1設(shè)( )~N(a,b 1

2;r),則“ 相互獨(dú)立“ ,2 ,2答等價的或充分必要條件

或相同的若(, )是隨量與的相關(guān)系數(shù),則| (, )|1的充要條件是P{ b}等于 (其中a,b是某實(shí)數(shù),且 0) 設(shè)( )的概率密度(x,y

y,00,

1, ,則E(答13

設(shè)( (x,

xex

y)

0, ,則E(

0 設(shè)( )的分布律11215262331則E 12設(shè)( )的概率密度(x,

3x0

x

,則E 38設(shè)的分布律為P{

1,5E

12345 設(shè)隨量的概率密度(則D(

x0

1, 16設(shè)的概率設(shè)的概率密度(x,

1(3 2x) 41(3 2x),4

10則E( . 0.若隨量與相互獨(dú)立,且方差D(

0.5,D(

1,D(2 設(shè)

,,,n是相互獨(dú)立的隨量,且都服從正態(tài)分布 2

, n

i服從的分布是 12n 2n已知隨量 2

3的協(xié)方cov(

3 2

cov(2

3 則cov( 2,33 的體重為隨量,E( a,10個人的平均體重 則E(

10與同分布 E

(

ex, , 答( )的聯(lián)合概率密度(x,

y,00,

1, 則D( ,D 11

D(

D )已知( )的聯(lián)合分布01201020則E( ,E E(

E

設(shè)服從泊松分布,且E(

20,則E( 設(shè)服從泊松分布,且D(

9,則E( 答(E) 1,5]上的均勻分布,則D( 對目標(biāo)進(jìn)行獨(dú)立射擊每次均為

至命中目標(biāo)為止,設(shè)表示射擊次數(shù),則E( . 4( )的聯(lián)合概率密度(x,y)

y,00,

1, ,E

E( E(

E()7若二維 量

baN

212)D( cov( 212答D(

D(

2,cov(

. 11設(shè)

n為n個隨量,

kkkn為任n實(shí)數(shù),且cov(i

)都存在(

n,nini

k

n kii

cov i )設(shè)隨量~B(n,p),則D 2 答 p)設(shè)南方人的身高為隨量,北方人的身高為隨量,常說“北方人比南方人高”,這句話的含義是 E

E()123 xk則E( 已知P{k

1,E( D( 答E(

3,D(

已知 量與的相關(guān)系數(shù)為，求1ab與1cd的相關(guān)系數(shù)，其abcd均為常數(shù)ac0

abc

a2D

c2D1

cov(1,1)

|ac |ac

acac已知(,)服從二維正態(tài)分布，若~N(1,32)，~N(0,42)，且 1 （1）求E()，D()（2）求 （1）EZ1EX1EY1

DZ1/

1/4DY21/6cov(X,Y

1,2

32,

42，于是cov(X,Y)

所以

142

covXZ13covXX12covX,Y330，所以XZ因?yàn)閄,Y)服從二維正態(tài)分布，故它們的線性變換XZ)

0即X與Z不相關(guān)而服從聯(lián)合二維正態(tài)隨量獨(dú)立與不相關(guān)等價XZ設(shè)

n獨(dú)立，它們的均值都為

1nini

與jij01/n1/n1/n1/ (i X) X)

D(XiX)D(XjXD(XiX)D(XjX

n14.（１）設(shè)1,2,3,4獨(dú)立服從（０，１）均勻分布，求：1

445kk5k（２）已知隨量,的方差分別為25和36，相關(guān)系數(shù)為0.4，求：U32V35（1）5

44k

kXk

]15k

k2 D(3X2Y)D(X3Y)DXcov(U,V)cov(3X設(shè)

1 nn的均值都是a均方差都是任何兩 nE(W)1n

EXiDW1[n2

3 設(shè)~13121/121/12E(25D(25

EX3(2)31/303

1/EX6(2)61/306 493/所 E(2X35)2EX35D(2X35)4DX34[EX64[493/6(1/3)2]2954/ 7.（1）設(shè)~U(，求 4

E(3)，D(3)

②E[cos]，D[cos]（2）設(shè)3①E[2]，D[2]；

E[e2]D[e22 f(x)

x （ 的概率密度

EX3

x3f(x)dx

4x3dx4 2 4DX3EX6

x6f(x)dx

4x6dx4

4x6dx

(72 220E[cosX]0

cosxf(x)dx

4cosxdx4

4cosxdx 2 4

E[cos2X]2

cos2xf(x)dx

4cos2xdx 4cos2404(1cos2x)dx1/21/0 D[cosX]E[cos2X]E2[cosX]1/21/8/（2）X

f(x)

1e3

xEX

DX

xE(2X)2EX23D(2X)4DX49P{|XEX| }P{|X3|6}P{3X99f(x)dx99

1e

dx1 32E[e2x] f(x)2

e21111e3dx13711e3dx13 E[e4x]故

e4xf(x)dx0

e4D[e2x]E[e4x]E2[e2x]

()11

n次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)中事件Ai次實(shí)驗(yàn)中時間A出現(xiàn)的概率為pi,i1,2nDXXi表第iAXi服從01分布i1,2,n)，X1,X2XnXn

Xi

DXipi(1pi

DXn

p(1Piii9.（1）設(shè)離散型隨量服從參數(shù)為2的Poisson分布，求隨量32iii對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到目標(biāo)為止，若每次射擊為p，求射擊次數(shù)的期已知隨量服從二項(xiàng)分布，且E()2.4，D()1.44，求二項(xiàng)分布的參數(shù)n,用切比不等式證明：能以大于９７％的概率相信，擲1000次均勻硬幣時，正面出現(xiàn)的400600之間。(1)EX2

2EZ3EX2

DZ

X

Xk

k

kkk

p

1 p )(1[[)(]1(1)p kkEX(X1)k(k1)(1p)k1pp(1p)[(1p)k]kkp(1p)

1p] 2(1 pDXEX2(EX)2EX(X1)EX(EX)21p因?yàn)镋Xnp2.4DXnp(1p1.44于是n6p0.4 f(x,y)設(shè)二元 量(,)有密度函數(shù)系數(shù).

其

11【解答EXx(2xy)dxdy5，EYy(2xy)dxdy110 0 EX211x2(2xy)dxdy1，EY211y2(2xy)dxdy0 0 EXY11xy(2xy)dxdy10 cov(X,Y)EXYEXEY1/6(5/12)5/12DXEX2(EX)21/425/144DYEY2(EY)21/425/144 XY

cov(X,Y)

144XY~N1 x1

x EX

dx2

0 dx設(shè)~N(1,4，~N(1,9，且它們相互獨(dú)立，試求123,23的相【解答COV(Z1Z2COV(2X3YX3Y2D(X)6cov(X,Y)3cov(Y,X)9D(Y2499D(Z1)D(2X3Y)4D(X)9D(Y)449997D(Z2)D(X3Y)D(X)9D(Y)4997COV(Z1,Z2COV(Z1,Z2D(Z1)D(Z2

設(shè)服從的分布律

1)

13i

2,

1,2 說明E()不存在解|xi|i

(1)ii

1

i1

發(fā)散,故E()不存在設(shè)服從柯西分布,其概率密度學(xué)期望不存在,方差也不存在.

(

,驗(yàn)證的 x2 |x (x)

|x 0其 xdx0

x22 x1 x2) 2 x x 即積

xdx不絕對收斂故的數(shù)學(xué)期望不存在D(

E(

(E())2故的方差不存在重復(fù)地拋一枚勻稱的伍分硬幣,直到出現(xiàn)國徽朝上為止,設(shè)直到國徽朝上這一事件發(fā)生所需拋的次數(shù),求E().解P{

E( n 2n 2n設(shè)和相互獨(dú)立,概率密度分別2x,

e( 5) 1(x 0 求E().

2(y 0解一由獨(dú)立性

E( E(

E 51x250

ye(

5)解二 5,

43E(

E()E 1x2xdx 50

2 43設(shè) 量的分布律求

解E(4 6

3k(4x2kk

6)

12設(shè)(,

0其

,試解 (x,y) 1,1 1 故

01E(

ydy k}{2

(

2 2解E2

22

12k 2223252 1 2 4設(shè)

(

ex000

,E

2).解E(e2

e

(x)

e2x

x 13綜合題（10分 量在 ]上服從均勻分布,求E(sin),D(sin解的分布密度

(x

1 0E(sin

0sin0

1

2 D

[E

)]20sin20

1 42 4. 設(shè)服從正態(tài)分布,其概率密度 2 (x ) 2(x

2

22222222求E22222222解E

122 2 222() ()

2 12x2 2212x2t設(shè) 的概率密度分別

2 E

1(x3

2e02)

2x, ,

2(x

4e4x, ,0 解 E(

32

2E(

3E(20 x2e0

2x

x2

4x0 50 解 E

32

2E(

3E(22E(

3[D(

(E())22 2

1 542 設(shè)和相互獨(dú)立,概率密度分別1(x

2x,

2(y

e(

5), ,0,求E(2 )

其 0 其解 E(2其 E(

Ex2

2)E(x)

12x3 5 5E 故

ey2(y)dyE(2e

eye(1e5545

5)dy1e5,1解 E(2 10

x2

y2

(y5)12x30

e

(y5)5 1e5

1e54設(shè) 量的分布律求EE())(3解E(

xkk

(3

0.

0.

0.

0.E(E())

(xkk

)3 0.2)] ( 0.2) (0.864

0.2)

設(shè)( )的概率密(x,y

y,

1, ,0 其求E().解E(

11(x2

(x,y)xy2)

1xy(

y)1x20

0

0

1y2 . .設(shè)二維離散型隨量(,)的聯(lián)合分布律0101求數(shù)學(xué)期望E(),E()及方差D(),D ) E(

xi

xiE(

yjp

yj

D(

(

E())2

(

E())2 0.5)

0.5

0.5)

0.5

0.25.D

( E())2 (yi

E())2 0.3)

0.7

0.3)

0.3

0.21.設(shè)的概率密度(x)12

|x

)求E(),D()解因?yàn)閤是偶函數(shù),xx奇函數(shù),所E( (x) D(

E(0102

(E()0x2ex0

xx2

(x)d x1[ex(x2

1 2

x(x

設(shè)隨量服從拉斯分布,其概率密度求E()(,)D

x 12

|| E(

x1222

| | (2

)e|

|

e|

|D

E(E())

0( )0

e|x |dx t22

|t|

t2

t 2

(

|x|

,

求E(),D()0 E(D(

E(

(x) 1(E())1

x|x|x

(x) 0211x2|x|

1x3 1020設(shè)隨量的概率密度0x0x(x ex 求E(),D()解E(

(x)

xxm00

x0 x(m0

ex

1(m

E(

x (x)dx

D(

E(

(E())

設(shè)隨量服從瑞和分布,其概率密度x

xx 2220

, 其 0是常數(shù),求E()(,)D00 x x00解E(

2e0|x0|xe2

2e

2

xde22.22 22E(2)

x2xe020

x2

2D(

E(2)

(E()) 2 222

自測題（一設(shè) 量X服從泊松分布P3，則下式成立的 ①EXDX

②EXDX3

③EX3,DX3

④EX1,DX 如果隨量X與Y滿足D(XY)D(XY)，則必 X與Y獨(dú) B.X與Y不相 C.D(Y)【答案】

D.D(X)D(Y)設(shè)隨量X與Y相互獨(dú)立，且D(X)6，D(Y)3，則D(2XY) A. D.【答案】 量X的所有可能取值為：x11，x20，x31，

E(X)0.1D(X)0.89，則對應(yīng)于x1,x2,x3的概率p1,p2,p3 p10.4,p20.1,p3C.p10.5,p20.1,p3【答案】

p10.1,p20.4,p3D.p10.4,p20.5,p3設(shè) 量X,Y滿足E(X)1，E(Y)2，D(X)1，D(Y)4，Z(2XY1)2E(Z)【答案】

0.6DX)25D(Y)1【答案】

0.4，則DXY設(shè)隨量

ex服從參數(shù)為f(x

x

。。E(nxnexdx1tnetdtn!

n 設(shè)二維隨機(jī)變量(,)的概率密度函數(shù)為

f(x,y)

0yx,xE(

E(22【解答：EX1xx12y2dydx EY1xy12y2dydx0 0 EXY1xxy12y2dydx EX2Y2EX2EY20 設(shè) 量1,2的概率密度分別2e2xf1x

xx

4e4xf2x

xx

（1）E(),E(232（2）又設(shè),E( 11)EX

x2e2xdx EXx4e4xdx EX1X

4EX

4E2X3X2

3EX2213x24e4xdx EXXEXEX21 設(shè) 量具有密度函數(shù)：f(x)2

0x1x

ED

EX

xf(x)dxx2dxx(2x)dx1/338/31/3 EX2

x2f(x)dxx3dxx2(2x)dx1/414/341/47/ DXEX2(EX)27/611/XYXY01021032121201（本題16分）設(shè)二維離散型隨X,YXY的邊緣概率分布,X與Y的獨(dú)立性；在Y0X隨量ZYX的概率分布協(xié)方差covX,Y1） X01Y02111p111

0

1，

1p

pX與Y不獨(dú)立?！?/p>

1 0111123601111236 202233P{X

|YZYp5ZYp5因?yàn)镋X3101115，EY11

1 EXY 1

1

……………

所 X

2（ 量X的概率密度為fX(x)

0x

隨量X的分布函數(shù)FX(x)；EXDX3令Y ，求Y的概率密度函數(shù)fY(y)3【解（1）

(x)x311

x0xx（2）EX3；EX23，DXEX2(EX)2 0y（3）fY(y) 3（XY01120XY011200210123XY的邊緣概率分布,并判X與Y的獨(dú)立性；X1的條件下Y隨量Z2XY2的概率分布協(xié)方差covX,Y（1） …… 1 012113Yp 012P{X1,Y 1 012113Yp 012 YYyP{Yy|Xj014034 ZZ2XYp1 12233142600（4）因?yàn)镋X3101111

0…+1 EXY 11)(11

……………所以covX,Y)E(XYEX

5(1)(3) ………… 0.1410件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，如發(fā)1，就去調(diào)整設(shè)備。以E(（設(shè)YY～B（10，0.1）

~B(4,EX 0.2，0.3，0.4，且相互獨(dú)立，試用兩種方法求發(fā)生故障的元件數(shù)（寫出的分布律及不寫出的分布