2022考研數(shù)學(xué)(一、二、三)真題及答案解析

2021及答案解析xn〔〕nnnnnnnnnnnnnnnnD〕11ye(x)ex23〔〕〔〕〔〕A〕得出。應(yīng)選。xnnnx2n，有冪級數(shù)的性質(zhì)，的收斂半徑也為，即，收斂區(qū)間為，那么收斂域13xx3nn〔〕以下級數(shù)發(fā)散的是〔〕a,a,D〕【解析】有無窮多解rArA3,A011111111A1210101410002232=0=1=2Axb11111111A12201114400022212P(e,e,e)2213123132123x2213221322132213A〕，，TT2212313232f(x,x,x)YQAQYYE(1)EPAPEE(1)YTTTTTT123223232，其中，ETT2222323213E(010001P(AB)P()P(B)P(AB)P()P(B)P()P(B)P(AB)2P()P(B)P(AB)2C〕P(AB)0P(),P(B)P()P(B)P()P(B)P(AB),2ABP(AB)P()P()P(B)A為來自該總的簡單隨XB(m,),X,X,X123nX2ii1〕21nEXX2ii12nXXii1x2x0121limlimx22xcosxx0x0x0224sinxsinxxdxsinx222240222(11)假設(shè)函數(shù)有方程那么_______.dzzx0。與三個坐標(biāo)平面所圍成14【解析】由對稱性，2y3zdxdydz6zdxdydz61x0所得的截面DzzZ所以：11x232200020212n_______221212Dn12n1n1n1n1n222n2222nn122n1N.0,3在時為等價無窮小，求的值。a,,kg(x)x0lim1xax)bxsinxlim1xa(xx/2x/3o(x))bx(xx/6o(x))23333limx3x0(axba/2)xax/3bx/6o(x)o(x)23434limx3x0〔〕計算二重積分x(xDD(x,y)xy2,yx2222DDDD1D(x,y)xy2,yx,x022211I22450x2Df(x,y)xyxy,f(x,y)2在曲線上的最大方向?qū)?shù)Cf'(x,y)1y,f'(x,y)1x,xygradf(,y)1y,1x,22此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)在約束條件g(x,y)y)(1x)222化為對在約束條件2222下的最大值，構(gòu)造函數(shù)f(x,y,)(1y)(1x)(xyxy3)2222F'x)(2xy)0xy2212341234f(x)If(x)y0x0f(0)2yf(x)f'(x)(xx)0000000000解得：1y因為y(0)2所以綜上2f(x)2，zx2y2Lz終點為計算曲線積分BI(yz)dx(zxy)dy(xy)dz2222Lcos22zcos(2sincos)sin2sincos1sinsind222222222220R312322k,11322313〔Ⅰ〕證明為的一個基；R3123123,,123,,k2,2,1=,,020123132131232k0k13123,,線性無關(guān)，即r,,1312323123=3r020123線性無關(guān)，為的一個基R313kkkkk022331223即kkkk2kkkk011122233313223131132132k3101,121323101kkk022k13kk0,k0111313相似于矩陣。2a1P1〕202012321)[(a2)2a2（(a2)2a31[(2a2a故b53，其中特征值2411,5123121,0120方程的根底解系為，3311(A,A,A)(,,5)(,,)(,,)11231231231235因為線性無關(guān)，所以令,,1231231。P101P115（）設(shè)隨機變量的概率密度為X，對進行獨立重復(fù)的觀測，直到X0x0Y（）求的概率分布。Y（）求。EY1p83YPYnC2n21264n2n2，，x2S(x)1xStx1S(x)2n2n2n0n2n2n2221x22xx2S(x)S(x)132（）設(shè)總體的概率密度為1X其他0為隨機樣本。1n〔〕求的最大似然估計量。【解析】〔〕1?1x12200〔〕設(shè)為觀測值，那么1n1nnL()ii0其他i1，1n0ii，1x0ln12x)x1x1,2)1121x122112(,)2．以下曲線有漸近線的是1yxx1yx2x且1yyxxxx1xxx3．設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，，[]f(x)g(x)〔時，〔Df(x)g(x)g(x)f(0)(1x)f)xF(x)f(x)g(x)f(x)f(0)(1x)f)x，故當(dāng)時，曲fx0F"(x)f"(x)F(x)f(x)g(x)04上對應(yīng)于的點處的曲率半徑2Ｃ〕〔Ｄ〕1010，曲率半徑．"1KR1y')3K22t421t21t2t231t1K21RK5．設(shè)函數(shù)f(x)xxx0〔Ｂ〕231〔Ｄ〕【詳解】注意〔1〕11333由于．所以可知，f(x)x1f(x)'()'()fxx22133x3limxx3x0x0x0u2022022〔〕的最大值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最小〔〕的最小值點在區(qū)域D的內(nèi)部，最大【詳解】在平面有界閉區(qū)域D上連續(xù)，所000點處，由條件，顯然u2222A2227．行列式等于a00b2(adbc)2adbc222222220ab0a00ba0d0b0c00cd0c00d,,123,,1323123〔〕非充分非必要條件【詳解】假設(shè)向量線性無關(guān)，那么,,123101323123123klK13l231000,1k,l123000，線性無關(guān)，但線性相關(guān)；應(yīng)選k,,13231239．．1x2x52x13111x2x522210．設(shè)為周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f(x)f(7)x0,2f(x)(x)dxx22xCf(0)0C027zz(x,y)exyz2yz24．11,2221xyz02xyzFz|dzyxzFyz12．曲線的極坐標(biāo)方程為，那么在點LL,，于是在處，，)coscosyr)sinsin22么在點處的切線sincos2Lr(,),22222213．一根長為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上，假x2．x3211()x002)1300的負(fù)慣性指f(x,x,x)xx2axx4xx22123121323．a(chǎn)【詳解】由配方法可知f(x,x,x)xxaxx4xx22123121323222213233a,21510分〕1求極限((2ttlim11xx2x21x((xt2t1limlimlim(x(e)x)x1121xxxln(1)xx2x11112x22x1610分〕y(2)022【詳解】2212yyxxCy(2)0C3333313123yyxx3331x01dy2x1y)2y1x)22222223x1y1"10y1x1y0"20y01710分〕D(x,y)|1xy4,x0.y022xxy)22dxdyxyD【詳解】由對稱性可得xy)yxy)(xy)sin(xy)222222DDDxy)322sinrdrd2212401Dzf(ecosy)x22x22達式．uecosyzf(u)f(ecosy)xx;2,xy2x22x2x222x22由條件可知22xx22f"(u)4f(u)u1212故非齊次方程通解為．1f(u)CeCeu2u41211C,C12111f(u)eeu4ba；0xg(txa,xa,ba．a(chǎn)bg(t)dtbfaaaxxxaaax〕a令xxagtdtFaaaxFa因為所以xfa．從而fax(tdtf(axa)f(x)ga，xFaF(x)．bbg(t)dt(xdxf(x)g(xdxfaaa2011分〕設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列,x1xf(x)，，,f(x)f(f(x)),121nn1Syf(x)nnnnxxxx11xx1231利用數(shù)學(xué)歸納法可得x.x1111nnnn00nnn2111分〕f(x,y)f(y,y)(y)(2y)lny2f(x,y)0y1，其中為待定的連續(xù)函數(shù)．22f(x,y)y2yC(x)y2y1(2x)lnx22f(x,y)0y1212f(x,y)0y12)2x)ln22(2y12V112211分〕12341203E下：14141403得到方程組同解方程組xx2341得到的一個根底解系．2AX031〔〕顯然B矩陣是一個矩陣，設(shè)11B22xyz23434411()01110100111122300431101126101110013141216111，12222x3y3z13123333x01y01z01444即滿足的所有矩陣為6c2c1c123B1231c4c1c123cc23其中為任意常數(shù)．1232311分〕1100與n0100011111111所以A的個特征值為nn,0123n00120n,0nn123n(0EB)Bn100n化，且0B~1100與n024分.把答案填在題中橫線上〕(1)假設(shè)，那么a=______，bexa=______..21(3)設(shè)2，那么.x2212(4)二次型f(x,x,x)(xx)(xx)(xx)222123122331為.(5)設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,那么X_______.{XDX}Xμσ21,態(tài)分布分別是來自總Y,Y,Y2212n12n體和的簡單隨機樣本1,那么2X2nn12.ijEi1j112在以下哪個區(qū)間內(nèi)有界.f(x)x0必是g)的第二類間斷點.(9)設(shè)fx)=x(1x，那么=f)的拐點.(C)x=0是fx(0,是曲線y=f)的拐點.unn1n1(2)假設(shè)收斂，那么收斂.uunn1000n1n111ununuvnnnnn1n1n1(11)設(shè)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)00(B)至少存在一點，使得>f(b).00(C)至少存在一點，使得.x(a,b)00(D)至少存在一點，使得=0.x(a,b)f(x)00nnAξ,ξ,ξ,ξ*1234(B)僅含(14)設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布,對給定的X,數(shù)滿足,uαα,那么等于x(A).(B).(C).(D)uuuα222.[]uα.1cos2x)x2y242D(17)此題總分值8分)設(shè)fx),g在a,上連續(xù)，且滿足，xa,b，.xxbbft)dtgt)dtft)dtgt)dtaaaa.bbxf(x)dxxg(x)dxaa(18)此題總分值9分)(I)求需求量對價格的彈性(>；EEdd(II)推導(dǎo)(其中R為收益，并用彈性dEdx4x6x8(I)Sx所滿足的一階微分方程；(II)S)的表達式.(20)(此題總分值13分),,,123,(Ⅰ)不能由線性表示;βα,α,α123(Ⅱ)可由唯一地線性表示,并求出表βα,α,α123(Ⅲ)可由線性表示,但表示式不唯一,βα,α,α123(21)此題總分值13分)n1.1(Ⅰ)求的特征值和特征向量;AP,1AB4,令A(yù)發(fā)生，XYXY(Ⅲ)的概率分布.22(23)此題總分值13分)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為Xαβα，α，其中參數(shù).設(shè)X12n(Ⅰ)當(dāng)時,求未知參數(shù)的矩估計量;α1β(Ⅱ)當(dāng)時,求未知參數(shù)的最大似然估計α124分.把答案填在題中橫線上〕，那么a=，b=.14exaxb)5limsinx(cosxb)0x0exa，得a=1.極限化為x0xxxb)xb)1b5xx0【評注】一般地，＝，f(x)g(x)0..2uvg2(v)ug(v)，.g(v)1fg2(v)1，那么.xe,x22f(xdx12x1=，再利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.211f(xdxft)dtf(x)dt111222.11211222界點劃分積分區(qū)間進行求解.(4)二次型f(x,x,x)(xx)(xx)(xx)2221231223312.f(x,x,x)(xx)(xx)(xx)2221231223312x2x2x2xx2xx2xx22223121323,11A033033f(x,x,x)(xx)(xx)(xx)2221231223312231213231132222212323,322212.11yxxx,yxx221123223X.1{XDX}e1DXX2x0..111{XDX}1{XDX}1{X}1F()λλe,總體服從正XY1,態(tài)分布22X,X,XXY12n12n1,那么222nn12.ijEi1j12nn212,1nE[12n1i1,1n[22n1j2.在以下哪個區(qū)間內(nèi)有界.，24xb(8)設(shè)f在,內(nèi)有定義，且limf(x)ax，那么1x0否等于g(0)即可，通過換元，1ux11uxxx0x0ug(0)=，所以，x0，即x=0是gx的第一類間斷點，因limg(x)g(0)x0(9)設(shè)fx)=x(1x，那么un(2)假設(shè)收斂，那么收斂.uunn1un11unununnnnun散，而(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)可得到不趨向于unun11unun11uvnnnnn1n1都發(fā)散，而nnn1(11)設(shè)在[a,b]上連續(xù)，且f(x)么以下結(jié)論中錯誤的選項是00(B)至少存在一點，使得>f(b).00(C)至少存在一點，使得.00(D)至少存在一點，使得=0.00[D]f(x)f(a)fb)000另外，，由極限的保號性，0x(a,b)0000x0一點0f(x)f(b)0n(A)當(dāng)|Aa(a0)時,.(B)當(dāng)|Aa(a0)時,|Ba.(C)當(dāng)時,.(D)當(dāng)時,[D]r()nAB,即,應(yīng)選(D).r(B)n(13)設(shè)階矩陣的伴隨矩陣假設(shè)nAξ,ξ,ξ,ξ*1234n,r(A*)r()nn1n*A(14)設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布,對給定的X,數(shù)滿足,uαα,那么等于x(A).(B).(C).(D)uuuα222[C]uα2【評注】此題是對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì),嚴(yán)格地說它的上分位數(shù)概念的考查..1)x2001x211=.sin2xx22(4x)242limlimx4626x2xx000求x2y24和(x2y212D所圍成的平面區(qū)域如圖).D{(,y)|x2y21，再利用對稱性與極坐標(biāo)計D{(,y)|(x2y22算即可.D{(,y)|x2y2D{(,y)|(x2y2120Dx2y2dD.322dd220002399.29D(17)此題總分值8分)設(shè)fx),g在a,上連續(xù)，且滿足，xa,b，.xxbbaaaa.bbaaxaxa由題設(shè)Gx)0，xa,b，.bbxF(x)dxxdG(x)xG(x)baaaabaxF(x)dx0.ba.bbxf(x)dxxg(x)dxaa設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=100，其中價EEdd(其中R為收益，并用彈性dEd【分析】由于>，所以EEddPdQdQdP.dPdQd(II)由R=，得.QPQdPddRE0ddPEd為.d，，，1)pddEddx4x6x8x3x5x7x2x4x6.x22x32(II)方程的通解為x32x3ye[2x222由初始條件y(0)=，得C=1.，因此和函數(shù).x2x2222題，2022年考過類似的題.,,,123,βα,α,α123(Ⅱ)可由唯一地線性表示,并求出表βα,α,α123βα,α,α123并求出表示式.β123kαkαkαβ2233【詳解】設(shè)有數(shù)使得k,k,k,123.112233.對矩陣施以初等行變換,有1231111(,β)2a2b230ab10(Ⅰ)當(dāng)時,有1000.故方程組(*)無解,不能由βα,α,α123(Ⅱ)當(dāng),且時,有1a1(,β)0ab100ab0,,．11aa3βα,α,α12311．a(chǎn)a12(,β)1a，1