2018年數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題3三角函數(shù)及解三角形第2講三角恒等變換與解三角形課后強(qiáng)化訓(xùn)練

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE7學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題三第二講三角恒等變換與解三角形A組1．（2017·河北三市聯(lián)考)若2sin(θ＋eq\f(π,3))＝3sin（π－θ)，則tanθ等于（B）A．－eq\f（\r(3），3) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f（2\r(3），3) D．2eq\r(3）［解析］本題主要考查三角恒等變換．由已知得sinθ＋eq\r(3）cosθ＝3sinθ,即2sinθ＝eq\r(3）cosθ，所以tanθ＝eq\f（\r（3),2)，故選B．2．(文)如果sinα＝eq\f（4,5），那么sin（α＋eq\f(π，4））－eq\f（\r(2）,2）cosα等于（A）A．eq\f(2\r(2)，5) B．－eq\f（2\r（2）,5）C．eq\f（4\r（2)，5) D．－eq\f（4\r(2)，5）[解析]sin（α＋eq\f(π，4）)－eq\f(\r(2）,2)cosα＝sinαcoseq\f(π，4）＋cosαsineq\f(π,4）－eq\f（\r(2），2)cosα＝eq\f(4,5)×eq\f(\r（2），2)＝eq\f（2\r(2),5)．（理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝eq\f（\r（10），2),則tan2α＝(C）A．eq\f(4,3) B．eq\f(3,4）C．－eq\f（3,4） D．－eq\f(4，3)[解析］本題考查三角函數(shù)同角間的基本關(guān)系．將sinα＋2cosα＝eq\f(\r（10），2）兩邊平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝eq\f(5,2)，∴4sinαcosα＋3cos2α＝eq\f(3，2),∴eq\f（4sinαcosα＋3cos2α，sin2α＋cos2α）＝eq\f(3，2）．將左邊分子分母同除以cos2α得,eq\f（3＋4tanα，1＋tan2α）＝eq\f（3,2)，解得tanα＝3或tanα＝－eq\f(1，3),∴tan2α＝eq\f(2tanα，1－tan2α）＝－eq\f(3，4)．3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin（A－B）＝sin2C，則此三角形的形狀是A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形［解析］∵sin（A＋B）sin（A－B)＝sin2C,sin（A＋B）＝sinC≠0，∴sin(A－B）＝sin（A＋B），∴cosAsinB∵sinB≠0，∴cosA＝0，∴A為直角．4．設(shè)tanα、tanβ是方程x2－3x＋2＝0的兩根，則tan（α＋β）的值為（A)A．－3 B．－1C．1 D．3［解析］本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系與兩角和的正切公式．由已知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2,所以tan（α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(3，1－2）＝－3.故選A．［點(diǎn)評(píng)］運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系，利用整體代換的思想使問題求解變得簡(jiǎn)單．5．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B＝2A，a＝1,b＝eq\r(3)，則c＝（B)A．2eq\r（3) B．2C．eq\r(2） D．1［解析]由正弦定理得:eq\f(a，sinA）＝eq\f(b,sinB），∵B＝2A,a＝1，b＝eq\r(3)，∴eq\f(1，sinA）＝eq\f（\r(3)，2sinAcosA）．∵A為三角形的內(nèi)角,∴sinA≠0，∴cosA＝eq\f（\r（3),2）．又0〈A<π，∴A＝eq\f(π，6)，∴B＝2A＝eq\f(π,3)．∴C＝π－A－B＝eq\f(π,2），∴△ABC為直角三角形．由勾股定理得c＝eq\r(12＋\r（3)2）＝2．6．(2016·四川卷）cos2eq\f（π,8）－sin2eq\f(π,8）＝__eq\f(\r（2），2）__。[解析]由二倍角公式，得cos2eq\f（π，8）－sin2eq\f（π,8)＝cos（2×eq\f(π，8）)＝eq\f（\r(2)，2)．7．已知△ABC的一個(gè)內(nèi)角為120°，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,則△ABC的面積為__15eq\r(3）__。[解析］設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a－4,a，a＋4，最大角為θ，由余弦定理得（a＋4）2＝a2＋(a－4）2－2a（a－4)·cos120°，則a＝10，所以三邊長(zhǎng)為6,10，14.△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)×6×10×sin120°＝15eq\r(3）．8．（文）（2016·北京高考)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋eq\r（2）ac.(1）求∠B的大??；(2)求eq\r(2)cosA＋cosC的最大值．［解析］(1）由余弦定理及題設(shè)得cosB＝eq\f（a2＋c2－b2，2ac)＝eq\f(\r(2）ac，2ac）＝eq\f（\r（2)，2)．又0〈∠B〈π，所以∠B＝eq\f(π,4）．(2）由（1）知∠A＋∠C＝eq\f(3π,4)，則eq\r(2）cosA＋cosC＝eq\r(2）cosA＋coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3π，4)－A)）＝eq\r(2）cosA－eq\f(\r（2）,2）cosA＋eq\f（\r（2)，2)sinA＝eq\f(\r（2)，2)cosA＋eq\f(\r（2），2）sinA＝coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(A－\f（π,4）))．因?yàn)?<∠A<eq\f(3π,4），所以當(dāng)∠A＝eq\f（π,4）時(shí)，eq\r（2）cosA＋cosC取得最大值1．（理）(2016·全國(guó)卷Ⅰ）△ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知2cosC(acosB＋bcosA）＝c，（1)求C；(2)若c＝eq\r(7），△ABC的面積為eq\f(3\r（3），2），求△ABC的周長(zhǎng)．[解析］（1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，2cosCsin（A＋B)＝sinC,故2sinCcosC＝sinC可得cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝eq\f（π,3)．(2）由已知，eq\f(1,2)absinC＝eq\f（3\r（3）,2）．又C＝eq\f（π,3),所以ab＝6．由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7,故a2＋b2＝13，從而(a＋b）2＝25．所以△ABC的周長(zhǎng)為5＋eq\r（7)．9．（文）（2017·天津卷，15)在△ABC中，內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知asinA＝4bsinB，ac＝eq\r(5)（a2－b2－c2）。（1）求cosA的值；（2）求sin(2B－A)的值．［解析］(1）由asinA＝4bsinB及eq\f(a,sinA)＝eq\f（b，sinB）,得a＝2b．由ac＝eq\r（5）（a2－b2－c2）及余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc）＝eq\f（－\f(\r(5),5)ac,ac）＝－eq\f(\r(5)，5)．(2）由(1),可得sinA＝eq\f(2\r（5）,5）,代入asinA＝4bsinB中，得sinB＝eq\f（asinA，4b)＝eq\f(\r（5）,5）．由（1）知，A為鈍角,所以cosB＝eq\r(1－sin2B）＝eq\f(2\r(5)，5)．于是sin2B＝2sinBcosB＝eq\f（4，5)，cos2B＝1－2sin2B＝eq\f(3，5）,故sin（2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝eq\f(4,5）×(－eq\f（\r(5)，5))－eq\f(3，5）×eq\f(2\r(5),5）＝－eq\f(2\r（5），5）．(理)（2017·天津卷，15)在△ABC中,內(nèi)角A，B,C所對(duì)的邊分別為a，b，c。已知a>b，a＝5，c＝6，sinB＝eq\f(3,5）。（1）求b和sinA的值；（2)求sin(2A＋eq\f（π,4））的值．［解析］(1）在△ABC中,因?yàn)閍>b，所以由sinB＝eq\f（3，5），得cosB＝eq\f(4,5）．由已知及余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝eq\r（13)．由正弦定理eq\f（a，sinA）＝eq\f（b，sinB),得sinA＝aeq\f(sinB,b)＝eq\f(3\r（13)，13）．所以b的值為eq\r(13），sinA的值為eq\f(3\r(13)，13）．(2）由（1）及a〈c，得cosA＝eq\f(2\r(13）,13),所以sin2A＝2sinAcosA＝eq\f（12,13)，cos2A＝1－2sin2A＝－eq\f(5，13）．所以sin(2A＋eq\f（π，4)）＝sin2Acoseq\f(π，4)＋cos2Asineq\f（π，4）＝eq\f(7\r（2），26)．B組1．(2017·唐山市一模)若sin(eq\f（π,6）－α）＝eq\f（1,3),則cos（eq\f(2π，3)＋2α)＝（A)A．－eq\f(7，9) B．eq\f（7，9)C．－eq\f（2,9) D．eq\f（2,9)［解析]∵cos(eq\f(2π,3)＋2α）＝－cos（eq\f（π，3)－2α)＝－[1－2sin2（eq\f（π，6）－α)］＝－（1－eq\f(2，9)）＝－eq\f（7，9)．2．在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若（a2＋c2－b2）tanB＝eq\r（3)ac，則角B的值為(D)A．eq\f（π,6） B．eq\f(π,3）C．eq\f（π，6）或eq\f（5π，6) D．eq\f（π，3）或eq\f(2π，3)[解析]由(a2＋c2－b2）tanB＝eq\r（3)ac得，eq\f(a2＋c2－b2，ac）·tanB＝eq\r(3),再由余弦定理cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)得,2cosB·tanB＝eq\r(3)，即sinB＝eq\f（\r（3)，2)，∴角B的值為eq\f（π,3）或eq\f（2π，3），故應(yīng)選D．3．（2017·西安第一次質(zhì)檢)sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝(B）A．1 B．eq\f(1，2）C．eq\f(\r（3)，2） D．－eq\f（1,2）［解析］本題主要考查三角函數(shù)的和差公式．sin45°cos15°＋cos225°sin165°＝sin45°cos15°＋(－cos45°）sin15°＝sin(45°－15°）＝sin30°＝eq\f(1，2）．4．鈍角三角形ABC的面積是eq\f(1，2），AB＝1，BC＝eq\r（2）,則AC＝（B)A．5 B．eq\r(5)C．2 D．1[解析]∵S＝eq\f（1，2)AB·BCsinB＝eq\f（1,2)×1×eq\r(2）sinB＝eq\f（1,2)，∴sinB＝eq\f(\r（2），2），∴B＝eq\f（π，4）或eq\f（3π，4)．當(dāng)B＝eq\f（3π,4）時(shí)，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝eq\r（5)，此時(shí)△ABC為鈍角三角形，符合題意;當(dāng)B＝eq\f（π,4)時(shí),根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1,此時(shí)AB2＋AC2＝BC2,△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝eq\r（5)．5．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2）））,β∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f(π，2））），且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ）,則(C)A．3α－β＝eq\f(π,2） B．3α＋β＝eq\f（π,2）C．2α－β＝eq\f（π,2) D．2α＋β＝eq\f（π,2)[解析]因?yàn)閠anα＝eq\f（sinα，cosα）＝eq\f(1＋sinβ，cosβ)，去分母得sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，所以sinαcosβ－cosαsinβ＝cosα，即sin（α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2）－α)）．又因?yàn)棣痢蔱q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2)）），β∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，2))），則－eq\f（π，2)〈α－β<eq\f（π，2），0〈eq\f(π，2)－α〈eq\f（π，2)，所以α－β＝eq\f(π，2)－α故2α－β＝eq\f(π,2)．6．(2017·合肥三模)已知tanα＝2,則sin2（eq\f(π,2)＋α）－sin(3π＋α)cos(2π－α）＝__eq\f(3,5)__。［解析］∵tanα＝2,∴sin2(eq\f(π，2)＋α)－sin（3π＋α)cos(2π－α)＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f（cos2α＋sinαcosα，sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2,4＋1）＝eq\f(3，5）。7．(文)在△ABC中，A＝60°,AC＝4，BC＝2eq\r(3）,則△ABC的面積等于__2eq\r(3)__。［解析]本題考查正弦定理及三角形的面積公式，由正弦定理得，eq\f（2\r(3),\f(\r（3),2)）＝eq\f（4，sinB),∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，S＝eq\f（1，2)×2eq\r（3）×2＝2eq\r（3）．(理）在△ABC中，sin2C＝eq\r（3）sinAsinB＋sin2B，a＝2eq\r（3）b,則角C＝__eq\f（π,6）__.[解析］由正弦定理知c2＝eq\r（3）ab＋b2,所以cosC＝eq\f（a2＋b2－c2,2ab）＝eq\f(a2－\r(3)ab,2ab）＝eq\f(a－\r（3）b,2b）＝eq\f（2\r（3）b－\r（3）b,2b）＝eq\f（\r(3)，2)，又C∈(0，π），所以C＝eq\f(π，6)．8．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（sinA,\f(1,2)））與n＝(3，sinA＋eq\r（3)cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角.（1)求角A的大??；（2）若BC＝2,求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時(shí)△ABC的形狀．［解析](1)因?yàn)閙∥n，所以sinA·（sinA＋eq\r(3)cosA)－eq\f（3，2）＝0．所以eq\f(1－cos2A，2）＋eq\f(\r(3),2）sin2A－eq\f（3，2）＝0，即eq\f（\r(3)，2）sin2A－eq\f(1,2）cos2A＝1,即sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(2A－\f（π，6）)）＝1．因?yàn)锳∈(0，π)，所以2A－eq\f（π,6)∈eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(π，6)，\f(11π,6）)）．故2A－eq\f(π,6）＝eq\f(π,2),A＝eq\f(π，3）．(2)設(shè)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，則由余弦定理，得4＝b2＋c2－bc．而b2＋c2≥2bc，∴bc＋4≥2bc,∴bc≤4(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)等號(hào)成立），所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f（\r（3），4)bc≤eq\f(\r(3),4)×4＝eq\r（3）,當(dāng)△ABC的面積取最大值時(shí)，b＝c．又A＝eq\