2023年寧波市東海杯初二數(shù)學(xué)競賽試卷

2023年寧波市東海杯初二數(shù)學(xué)競賽試卷第2試(考試時(shí)間:2023年12月1６日９:３0一、選擇題:(每題6分，共30分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是對的的)1.已知長度為l0cm的線段AＢ,以ＡＢ為直徑向上作半圓,記該半圓的周長為Ｃ１;將ＡＢ兩等分,分別以其一半線段為直徑向上作半圓,記該兩個(gè)半圓的周長之和為C2;再將AB三等分，分別以其三分之一線段為直徑向上作半圓，記該兩個(gè)半圓的周長之和為Ｃ3;如此繼續(xù),記k等分時(shí)各半圓周長之和為Ck，那么隨著等分?jǐn)?shù)k的增長，各半圓周長之和Ck的數(shù)值()A.越來越大Ｂ.越來越?。?不變D．無法判斷２.桌上放著６張撲克牌，所有正面朝下。你已被告知其中有兩張且只有兩張是老Ｋ,但是你不知道老Ｋ在哪個(gè)位置。你隨便取了兩張并把它們翻開，會出現(xiàn)下面兩種情況:(1)兩張牌中至少有l(wèi)張是老Ｋ;（2)兩張牌中沒有l(wèi)張是老Ｋ。比較這兩種情況的也許性,可知（)Ａ．（１）的也許性大B.(2）的也許性大C．兩者同樣．Ｄ.無法比較３．有兩面可繞一立軸轉(zhuǎn)動的立式鏡，我站在這兩面鏡手前的一個(gè)點(diǎn)上，這個(gè)點(diǎn)位于鏡面夾角的角平分面上。若兩鏡面的夾角為5O°，我將可以看到自己的鏡像數(shù)為()Ａ．10B.8C.6D．44．如圖，平行四邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都用直線與兩條對邊的中點(diǎn)相連。這些直線所圍成圖形的面積是原平行四邊形面積的(）Ａ．四分之一B.六分之一Ｃ.八分之一Ｄ.十分之一５．有一位作家，被一個(gè)稀奇古怪的困難弄得寢食不安。他寫作品寫得越是接近結(jié)尾，就寫得越慢。他著手寫一部作品的時(shí)候,天天的完畢量同余下要寫的頁數(shù)成比例。例如，對于某一本書來說,他寫第一頁用了１０天時(shí)間,但寫最后一頁卻要用５0天時(shí)間。這本書的頁數(shù)與他寫完的天數(shù)分別為(）(每當(dāng)余下要寫的頁數(shù)與所用的天數(shù)不是整數(shù)時(shí)，總是用進(jìn)一法化為大于它且最接近它的那個(gè)整數(shù))A．8,１３0B．7，125C.6，１20D.5,115二、填空題(每題6分，共30分)6.如圖所示,矩形被一些線段分割成若干塊,其中有些線段的長度已知。假如這些小塊可以拼成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的周長為。（此題有誤)（第6題)(第8題）7．?dāng)?shù)字3可以有四種方式表達(dá)為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的有序和３,1+2,2+1，l+l＋1，那么對于一般的正整數(shù)n，如此表達(dá)方式的個(gè)數(shù)為。8.如圖,半徑分別為ｒ與Ｒ的兩圓相交（R≥r)，那么兩圓不重疊部分的面積的差是，9．某種產(chǎn)品以液劑與粉劑兩種形式出售。一項(xiàng)市場調(diào)查表白：接受調(diào)查的消費(fèi)者不用粉劑;接受調(diào)查的消費(fèi)者不用液劑;427位接受調(diào)查的消費(fèi)者既用液劑，也用粉劑;接受調(diào)查的消費(fèi)者主線不用這種商品。接受調(diào)查的消費(fèi)者的人數(shù)為。10．張斌賣起布來了，他自定零售價(jià)比批發(fā)價(jià)高４0%。但他發(fā)現(xiàn),由于他所用的米尺不準(zhǔn)確，他只賺了３9％。張斌賣布時(shí)所用尺的1“米”比較標(biāo)準(zhǔn)的1米多了。三、解答題(每題15分，共6０分)11．小陳駕車從巴黎出發(fā),在公路上勻速前進(jìn)。不久,他通過一個(gè)“里程碑”(當(dāng)然，事實(shí)上應(yīng)叫“千米碑”),上面是個(gè)兩位數(shù)。一小時(shí)后,他又通過一個(gè)里程碑，上面是與他前同樣的兩個(gè)數(shù)碼,但左右順序相反。又過一小時(shí),他通過第三個(gè)里程碑，上面是個(gè)三位數(shù),是在上述兩個(gè)數(shù)碼(順序或逆序)中間再夾一個(gè)零。請問小陳的車速是多少?1２.若點(diǎn)P為已知相交兩圓的一個(gè)交點(diǎn)，試過點(diǎn)P作一不包含公共弦的直線l(公共弦是指兩圓交點(diǎn)間的連線段）,使其被兩圓截出相等的兩條線段。1３．王明、李宏和趙亮參與同樣系列的測試。在每一項(xiàng)測試中，三人的成績均為兩兩相異的正整數(shù)ｘ,y，z。每人所得的成績總和如下：王明２0分,李宏ｌO分，趙亮9分。若李宏在代數(shù)測試中名列第一,那么幾何測試中誰列第二位?14.現(xiàn)有一臺天平,一個(gè)2克的砝碼和一個(gè)7克的砝碼，規(guī)定只使用這臺天平三次，將一包重140克的食鹽提成90

參考答案及評分意見一、選擇題（每題6分，共30分)1.C不管等分?jǐn)?shù)為多少,各個(gè)半圓的周長之和始終為5π。2.A我們把這6張牌用1到６這些數(shù)字編號,并且假定5號牌和6號牌就是那兩張老K?，F(xiàn)在,我們列出從6張牌中取出兩張的所有不同組合，總共有１5種這樣的組合:1—2,2—3，3—4，4—5，５—61—3,2—4,３—5,4—６１—4，2—5，３—６1—5,２—61—６注旨在這15對牌中有9對包含老K(5號牌和6號牌)。既然每對牌出現(xiàn)的也許性都同樣,這就意味著,從長遠(yuǎn)說，你每進(jìn)行15次嘗試就有9次至少翻出一張老K。換句話說,至少翻出一張老Ｋ的也許性是9/1５，這個(gè)分?jǐn)?shù)可化簡為3／5。這當(dāng)然優(yōu)于1/2,因此本題的答案是：你至少翻出一張老K的也許性比一張老Ｋ也翻不出的也許性大。3．C設(shè)鏡面夾角為α。物體A在每面鏡子中各有一個(gè)初始鏡像Ａ1和A1’。它們在對面的鏡子中又會產(chǎn)生鏡像，Ａ1’的鏡像為A2，A1的鏡像為A2’…….這樣，一面鏡子就反射出了一系列的鏡像:Ａ1,A２,A３,…,An。另一面鏡子則對稱地反射出鏡像A1’,A2’，A３’，…，Ａn’。這些鏡像依次位于與角平分面所成之夾角為α,2α,3α,…，nα的平面上。其中nα為小于或等于的最大夾角。假如nα正好等于180°,那么Aｎ和An’這兩個(gè)鏡像將重疊,于是總共產(chǎn)生２n-1個(gè)鏡像。假如α在和之間，那么你總共會得到２ｎ個(gè)鏡像。由于，所以總共會得到4．Ｂ如圖,聯(lián)結(jié)平行四邊形對邊的中點(diǎn)，將這個(gè)平行四邊形提成四個(gè)平行四邊形。注意左上角處的平行四邊形ＡEPＨ，四邊形PQRＳ就是所求圖形在ＡEPH中的部分。注意到R是△ADB的兩條中線的交點(diǎn),因此A、R、P三點(diǎn)共線，且AP=3RP。于是有S△APS=3S△RＰＳ，,S△AQＰ=3S△RQP，因此SPQRS=ＳPQAS＝SAEPH。類似的推理可用于其他三個(gè)子平行四邊形，最后得到所需結(jié)論為六分之一。5．Ｄ既然當(dāng)他只剩下一頁要寫完時(shí)，他一天寫1／５0頁,那么作為一條一般規(guī)律，他天天的寫作量總是余下要寫頁數(shù)的1/50。他一開始以天天1／10頁的速度寫作，這意味著這部作品一共有5頁。寫第一頁他用了1０天;第2頁他以天天4/5０頁的速度寫完，因此用了12天；第３頁以天天3/５0頁的速度寫完,用了1６天；第4頁以天天２/50頁的速度寫完，用了25天;寫第5頁用了5０天。因此總共用了114天,進(jìn)位為１15天。二、填空題(每題６分，共3０分)6.４8.容易得到這個(gè)矩形的尺寸是9×1６，由此所拼成的正方形的面積為144，它的邊長為1２，周長為48。7.2n-1一個(gè)有序的和a１＋a2＋…＋aＫ=n,aｉ≥1可以用排成一行的個(gè)1被個(gè)斜杠“／”分割開的形式來表達(dá)，即111…1／11…１／11…１／…／１１…１其中第1部分含a個(gè)1，第2部分含ａ２個(gè)1，第3部分含a3個(gè)1，……,最后的第k部分含ａk個(gè)１。為了得到所有這樣的表達(dá)形式(對所有的1≤k≤n),可以將n個(gè)l排成一行,在每相鄰兩個(gè)1之間產(chǎn)生的ｎ－１個(gè)空位中,要么放上一個(gè)斜杠,要么不放，這樣就可產(chǎn)生2n-1種不同的表達(dá)形式。8．π(R2－ｒ2)若設(shè)兩圓重疊部分的面積為S0,則兩圓不重疊部分的面積分別為Ｓ1＝πr2－S0與S2=πR２-S０。那么不重疊部分面積之差為Ｓ=S２-S１＝π(R2-r２）所有接受調(diào)查的對象可以劃分為四個(gè)部分:A:主線不用該產(chǎn)品；B:只用液劑;C：液劑與粉劑都用；D：只用粉劑。8.73５設(shè)接受調(diào)查的消費(fèi)者人數(shù)為x,則由題意，可列方程解得x＝735。10.7.2毫米若設(shè)張斌用每米1元的價(jià)格買進(jìn)布，并設(shè)L是他所用尺上1“米”的實(shí)際長度。張斌認(rèn)為他是在賣l米長的布時(shí),他事實(shí)上賣的是L米,這L米布的進(jìn)價(jià)為上元,售出價(jià)為１．40元，所以他賺的利潤是(1.40-L）元，從而可以列出下列方程：３９/100=（1.40-L)/L于是解出L＝1140/13９＝１.0072。因此事實(shí)上，他的l“米”長出了7．2毫米。三．解答題(每題15分，共60分）1１.解:第一個(gè)里程碑上的千米數(shù)可以寫成1０A＋B；第二個(gè)里程碑上的千米數(shù)可以寫成10B＋Ａ。至于第三個(gè)里程碑上的千米數(shù)，則必為以下兩者之一：10０A+Ｂ或１0０B+A。由于小陳勻速行駛,故而第一、二兩個(gè)里程碑之間的距離同第二、三兩個(gè)里程碑之間的距離相等。于是第三個(gè)里程碑上的百位數(shù)最大只能是1,(評分４分)這是由于9l＋(91-19）=16３。又由于A是第一個(gè)里程碑上的十位數(shù),它必然小于第二個(gè)里程碑上的十位數(shù),所以只能100A=10０。于是可以列出方程：(10Ｂ+1）-(10＋Ｂ）＝（10０+Ｂ)-(10B+1）解出B＝6。(評分4分）故這三個(gè)里程碑上的數(shù)字分別是：１6、61、106。(評分各1分，共３分)小陳的車速為每小時(shí)45千米。(評分4分)12．如圖，觀測所需要的結(jié)果,注意到點(diǎn)Ｑl可以當(dāng)作是點(diǎn)Q2以Ｐ為中心旋轉(zhuǎn)18０°而得到的。因此點(diǎn)Q１既在圓O1上，也在圓O2以點(diǎn)為Ｐ中心旋轉(zhuǎn)l8０°所得的圖形上，這個(gè)圖形與圓Ｏ2大小相同,且與圓Ｏ2相切于點(diǎn)P。13.不妨假設(shè)x>ｙ>z≥1，記Ｎ為測試的項(xiàng)數(shù)，據(jù)題意(系列測試）知Ｎ>1，且有(x+ｙ＋z)Ｎ=２０+10+9=３９。因x＋y+z≥3＋2+1=6，(評分2分)知N≤6(評分２分),又因N整除39，所以N＝3(評分２分)，x＋y＋ｚ＝13(評分2分）(x，y,ｚ≥1)。于是兩兩相異的整數(shù)x,y，ｚ也許為（ｘ,y，ｚ)=(10，2，１)：(9,3,1),(８，4，1),（8，3，2),(7，5,１),(7,4，2),(6,5，2),（６，４,3)基于王明的總分為２0，只有(8,4,１)是也許的,(評分2分)刪去其他情況。因此李宏的代數(shù)測試成績?yōu)椋?，?1中的最大值８。這樣阿題就轉(zhuǎn)化為填空下列表格,使得每一行都為8，4，1這三個(gè)成績，三列的總和分別為20,10,９王明李宏趙亮代數(shù)8幾何其他學(xué)科2０1０９容易找到問題的唯