控制工程基礎(chǔ)

控制工程基礎(chǔ)第一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1113.1引言對自動控制系統(tǒng)性能的基本要求：★穩(wěn)★準★快★穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是對系統(tǒng)的基本要求，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實現(xiàn)預(yù)定任務(wù)。穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定與外界因素?zé)o關(guān)。★快速性：

對過渡過程的形式和快慢提出要求，一般由動態(tài)性能描述。★準確性：在參考輸入信號作用下，當(dāng)系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)后，其穩(wěn)態(tài)輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定的穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，這種誤差越小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高，準確性用穩(wěn)態(tài)誤差來表示。第二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/112系統(tǒng)分析時域分析頻域分析根軌跡分析系統(tǒng)分析：在給定系統(tǒng)的條件下，將物理系統(tǒng)抽象成數(shù)學(xué)模型，以其數(shù)學(xué)模型為依據(jù)，用成熟的數(shù)學(xué)方法和先進的計算工具對表征系統(tǒng)特性的性能指標(biāo)進行分析、研究和評價。

以微分方程或傳遞函數(shù)為數(shù)學(xué)模型，直接在時間域中研究線性定常系統(tǒng)的時間響應(yīng)，并對系統(tǒng)進行分析及評價。

時域分析：特點：直觀、準確、物理概念清楚。不適合高階復(fù)雜系統(tǒng)的分析

局限性：數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)分析系統(tǒng)綜合校正和設(shè)計第三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1133.2線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定性的基本概念

θ例3-1

單擺的運動例3-2

倒擺的運動例3-3

光滑軌道平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，穩(wěn)定的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)穩(wěn)定不穩(wěn)定大范圍（全局）穩(wěn)定小范圍（局部）穩(wěn)定穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)平衡狀態(tài)不穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)大范圍穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)小范圍穩(wěn)定的平衡工作狀態(tài)第四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/114線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)描述線性系統(tǒng)運動的微分方程如下對于線性控制系統(tǒng)，系統(tǒng)僅有唯一的平衡工作點0。因此平衡工作點的穩(wěn)定性將直接稱其為系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)受到擾動大?。ǔ跏紶顟B(tài)）只影響自由運動中各個模態(tài)前的系數(shù)，不會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在系統(tǒng)輸入為0時，自由運動0是系統(tǒng)唯一的平衡點。第五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/115c(t)t非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)下系統(tǒng)停止運動，這意味著系統(tǒng)中變量不再隨著時間的推移而變化，所以平衡狀態(tài)下變量的各階導(dǎo)數(shù)為0?？紤]下述非線性一階系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

系統(tǒng)的運動：c0>1c0<1c=1c=0局部穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)第六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/116二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的運動模態(tài)特征方程的特征根（系統(tǒng)的極點）1）實根運動模態(tài)2）共軛復(fù)根運動模態(tài)3）重根：設(shè)為q重根運動模態(tài)ReIm第七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/117線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：它的特征方程的全部根都是負實數(shù)或?qū)嵅繛樨摰膹?fù)數(shù)，亦即：全部根都位于復(fù)平面的左半平面。結(jié)論：如果特征方程在復(fù)平面的右半平面沒有根，但在虛軸上有根臨界穩(wěn)定第八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/118例3-4

例2-4中隨動系統(tǒng)中適當(dāng)取其參數(shù)，得描述系統(tǒng)運動的微分方程如下：其特征方程為特征方程的根：

相應(yīng)的齊次方程的通解（暫態(tài)）

原方程的特解（穩(wěn)態(tài)）

穩(wěn)定系統(tǒng)第九頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/119正冪指數(shù)函數(shù)(增幅振蕩)

例3-5

特征方程變?yōu)椋涸谏侠邪驯壤禂?shù)增大10倍，不改變其它參數(shù)。其特征根為：

相應(yīng)的齊次方程的通解（暫態(tài)）

原方程的特解（穩(wěn)態(tài)）

不穩(wěn)定系統(tǒng)ty0穩(wěn)定的運動0ty不穩(wěn)定的運動第十頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1110四、線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：在特征方程中各項系數(shù)均為正數(shù)（同號）。證明：設(shè)特征方程的根分別為

第十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1111在上述關(guān)系式中，所有比值必須大于零，否則系統(tǒng)至少有一個正實部根。然而，這一條件是非充分的，因為各項系數(shù)為正數(shù)的系統(tǒng)特征方程完全可能擁有正實部的根。第十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11123.3勞斯—赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)一、勞斯穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的代數(shù)判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)勞斯表中元素的正負號判斷特征根的分布情況。1、勞斯表的構(gòu)造設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為…………

第十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11132、勞斯穩(wěn)定判據(jù)

如果勞斯表第一列中的元素出現(xiàn)小于零的數(shù)值，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且第一列各元素符號的改變次數(shù)，等于特征方程的正實部根的數(shù)目。線性系統(tǒng)穩(wěn)定

勞斯表中第一列元素各值全部為正。例3-6

設(shè)系統(tǒng)特征方程為

試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1352455由于勞斯表的第一列有兩次變號，故該系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部根。為了簡化數(shù)值計算，可以用任意正數(shù)去乘（或除）勞斯表中的任意一行元素不影響其判定結(jié)果。第十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11143、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況（1）勞斯表中某行的第一列元素為零，而其余各元素不為零，或不全為零。例3-7

某系統(tǒng)特征方程為

1-302∞1－32

2用一個無限小的正數(shù)取代０，繼續(xù)進行勞斯表的列寫，然后進行穩(wěn)定性判定。

-

∞第一列有兩次符號變化，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部根。

確有兩個正實部根

-1第十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1115如果上面一行和下面一行的首列符號相同，則表明有一對純虛根存在。例3-8

系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。11024520

624

24有一對純虛根存在,系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

求得純虛根為用零元素的上一行系數(shù)構(gòu)造如下輔助多項式：

該特征方程的根為-2、-3和

第十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1116（2）勞斯表中出現(xiàn)全零行表明特征方程中存在有關(guān)于原點對稱的根

例3-9

系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1-2-7-41-3-4

1-3-400用全零行的上一行系數(shù)構(gòu)造如下輔助多項式：

第十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11171-2-7-41-3-4

1-3-44-6

-1.5-4-16.7

-4第一列數(shù)值有一次符號變化，故本例系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有一個正實部根。解輔助方程：可以求出以原點對稱的根為：

，××××－222－2ReIm第十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1118例3-10

系統(tǒng)特征方程為試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。12483012208（0）8（0）088構(gòu)造如下輔助多項式：第一列數(shù)值有兩次符號變化，故本例系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個正實部根。

設(shè)：可以求出以原點對稱的根為

，××××-111-1ReIm第十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1119二、勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用1、系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響R(s)－C(s)例3-11

系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時的取值范圍。

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

其特征方程為321由勞斯穩(wěn)定判據(jù)，要使系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有

保持系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)的取值范圍第二十頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1120例3-12考慮2-2節(jié)中例2.4的隨動系統(tǒng)，其特征方程為

分析該系統(tǒng)的各參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

為1記—臨界開環(huán)比例系數(shù)

第二十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1121（1）開環(huán)比例系數(shù)與穩(wěn)定性的關(guān)系系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：

結(jié)論：一般情況下，增大系統(tǒng)的開環(huán)比例系數(shù)不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）時間常數(shù)與穩(wěn)定性的關(guān)系124812TmKcrTf=0.2Tf=0.5Tf=1.0Ta=Tm/20Ta=0結(jié)論：系統(tǒng)的時間常數(shù)增大，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的時間常數(shù)增多，不利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1122ReImReIm在實際工程設(shè)計中，不僅要求系統(tǒng)穩(wěn)定，且要求要即有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕量。系統(tǒng)距離穩(wěn)定的邊界所具有的余量2、相對穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕量第二十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/112334.6175001－R(s)C(s)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為例3-13試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點全部位于垂線之左，問值范圍又應(yīng)取多大?其中，使系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍為：第二十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1124ReIm當(dāng)要求閉環(huán)極點全部位于

垂線之左時可設(shè)

代入原特征方程31.67433.81根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，得到全部閉環(huán)極點位于

垂線之左的

取值范圍為

第二十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1125三、赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)1、赫爾維茨行列式的構(gòu)造規(guī)則：設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為規(guī)則1赫爾維茨行列式的維數(shù)為

規(guī)則2行列式對角線元素依次為

規(guī)則3行列式各列元素依次按下標(biāo)遞增的順序填充，其余元素補零。赫爾維茨行列式：第二十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11262、赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為由系統(tǒng)特征方程各系數(shù)構(gòu)造的赫爾維茨行列式及其各階主子式全部為正，即第二十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11273.4系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)一、典型輸人信號單位階躍單位斜坡單位加速度正弦函數(shù)第二十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1128單位脈沖函數(shù)與單位沖激函數(shù)1二、動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的時間相響應(yīng)典型的輸入信號＋特征方程的特征根決定系統(tǒng)輸入決定齊次通解非齊次特解給定輸入下微分方程的解對于穩(wěn)定系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)態(tài)第二十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1129tr(t)tc(t)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)固有運動消失前，系統(tǒng)的動態(tài)固有運動消失后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)第三十頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11301、動態(tài)性能指標(biāo)為了在一個統(tǒng)一的標(biāo)準下評價和比較系統(tǒng)的動態(tài)性能，規(guī)定以系統(tǒng)的典型的單位階躍響應(yīng)定義系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)（1）延遲時間

（2）上升時間（3）峰值時間（4）調(diào)節(jié)時間（5）超調(diào)量2、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)下輸出量的期望值與輸出量的實際值之間的差值。第三十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11313.5典型系統(tǒng)的動態(tài)性能分析一、一階系統(tǒng)的時域分析1、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型運動微分方程為

為系統(tǒng)的時間常數(shù)

如室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)、恒溫箱以及水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)均可近似為與上相同的形式，僅時間常數(shù)和各變量的含意有所區(qū)別，即對于不同形式或不同功能的一階系統(tǒng)，其響應(yīng)特性的數(shù)學(xué)表達式具有不同的物理意義。－URi第三十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11322、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)在零初始條件下，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為初始斜率＝0120.6320.865第三十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1133一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)：輸出信號輸入信號一階系統(tǒng)對輸入信號的輸出響應(yīng)第三十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1134二、二階系統(tǒng)的時域分析1、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二階線性微分方程的標(biāo)準形式

—系統(tǒng)的時間常數(shù)

—系統(tǒng)的阻尼系數(shù)

—系統(tǒng)的自然角頻率（無阻尼振蕩角頻率）典型二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖－特征方程為其兩個特征根(閉環(huán)極點)為第三十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1135th(t)012（1）無阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)ImRe（2）欠阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)—衰減系數(shù)

—阻尼振蕩角頻率

βImRe—阻尼角

第三十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1136對于單位階躍輸入

01穩(wěn)態(tài)暫態(tài)第三十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1137（3）臨界阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)ImRe穩(wěn)態(tài)暫態(tài)t0h(t)1兩個相等的實根第三十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1138（4）過阻尼()二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

ImReth(t)10穩(wěn)態(tài)暫態(tài)第三十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1139(a)ξ=0無阻尼ImReImRe(d)ξ>1過阻尼βImRe(b)0<ξ<1欠阻尼ImRe(c)ξ=1臨界阻尼t(yī)h(t)012th(t)1001tt0h(t)1h(t)第四十頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11403、系統(tǒng)參數(shù)對階躍響應(yīng)的影響（1）對階躍響應(yīng)的影響

通常取為宜，此時超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時間也較短。

（2）T對階躍響應(yīng)的影響

th(t)0t12t13t1T=T0T=2T0T=3T0如果參數(shù)增大幾倍，則響應(yīng)曲線就在橫坐標(biāo)方向“展寬”同樣的倍數(shù)。

第四十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11414、二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)（二階欠阻尼系統(tǒng)）(1)上升時間

(2)峰值時間由于第四十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1142(3)超調(diào)量由于故上式可寫為(4)調(diào)節(jié)時間進一步近似為第四十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11433.6高階系統(tǒng)的時域分析在有些情況下（去掉某些零極點對系統(tǒng)的響應(yīng)的曲線形態(tài)影響不大），可以找到系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一對主導(dǎo)極點，將高階系統(tǒng)降階為二階系統(tǒng)。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第四十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1144假設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)均為單極點和單零點，應(yīng)用留數(shù)法可得各運動模態(tài)在整個階躍響應(yīng)中的作用取決于兩個因素：每一項在整個輸出中所占的“比重”即的大小，愈大，其所對應(yīng)的運動模態(tài)對整個輸出的貢獻就愈大；極點離虛軸的相對距離。極點離虛軸愈遠，其對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減愈快。因而，遠離虛軸的極點所對應(yīng)的運動模態(tài)在整個系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)之前早已消逝，而那些離虛軸較近的極點所對應(yīng)的運動模態(tài)衰減很慢，在整個過渡過程中始終起作用。第四十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1145極點所對應(yīng)的運動命題1

若閉環(huán)傳遞函數(shù)中一極點與某零點靠的很近，，則可認為該極點被零點抵消。偶極子——第四十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1146命題2如果閉環(huán)傳遞函數(shù)中有某一極點與其它的零點和極點相比遠離原點，一般可忽略該極點的作用。由于第四十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1147主導(dǎo)極點對于一個穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，如果存在靠近虛軸的一個實數(shù)極點或一對共軛復(fù)數(shù)極點，且在其附近又無零點存在，其它的極點或因遠離虛軸或為偶極子而被忽略掉，則這個或這對極點稱為高階系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點。它決定了高階系統(tǒng)的過渡過程的主要特征。由于欠阻尼情況的二階系統(tǒng)有較好的過渡過程，所以在實際的工程設(shè)計中，常取主導(dǎo)極點為一對共軛復(fù)極點。此時，高階系統(tǒng)可用其主導(dǎo)極點所對應(yīng)的二階系統(tǒng)近似。因此可用二階系統(tǒng)的分析方法來估計原高階系統(tǒng)的過渡過程及各性能指標(biāo)。第四十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1148降階時注意系統(tǒng)增益不變第四十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1149零極點對階躍響應(yīng)的影響

1、零點對階躍響應(yīng)的影響假設(shè)系統(tǒng)增加一個閉環(huán)實零點，即系統(tǒng)中增加了一個串連環(huán)節(jié)且閉環(huán)零點位于復(fù)平面的左半平面可見，增加一個閉環(huán)左實零點后，系統(tǒng)階躍響應(yīng)增加了一項，該項的值與的變化率成正比，與該零點離虛軸的距離成反比。顯然，該零點的增加將使系統(tǒng)響應(yīng)過程加快，超調(diào)量增大，使系統(tǒng)對輸入作用的反應(yīng)靈敏了。第五十頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1150反之，如果增加的閉環(huán)零點位于復(fù)平面的右半平面，即顯然，這將使系統(tǒng)響應(yīng)過程變慢，超調(diào)量減小，系統(tǒng)對輸入作用的反應(yīng)變滯呆了。第五十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11512、極點對階躍響應(yīng)的影響假設(shè)系統(tǒng)增加一個閉環(huán)左實極點系統(tǒng)在單位階躍信號作用下輸出的拉普拉斯變換像函數(shù)系統(tǒng)中增加一個閉環(huán)左實極點，系統(tǒng)的過渡過程將變慢，超調(diào)量將減小，系統(tǒng)的反應(yīng)變得較為呆滯。對于閉環(huán)傳遞函數(shù)存在右實極點的情況，系統(tǒng)時域響應(yīng)是發(fā)散的，系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以不予討論。第五十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11523.7線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差討論穩(wěn)態(tài)誤差的前提條件：穩(wěn)定系統(tǒng)控制系統(tǒng)的性能動態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)性能

—穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是系統(tǒng)控制準確度(控制精度)的一種度量?！?/p>

穩(wěn)態(tài)誤差的不可避免性：穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)的原理性誤差，是由系統(tǒng)本身的特性和系統(tǒng)的輸入的形式?jīng)Q定的。本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差即原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法。第五十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1153一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義1、誤差的定義定義1

上式定義的誤差，在系統(tǒng)性能指標(biāo)的提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法量測，因而一般僅具有數(shù)學(xué)意義。定義2

被控量的期望值與實際值之間的差值。將被控量的期望值用系統(tǒng)的輸入信號替代，相應(yīng)地用反饋信號替代被控量的實際值。從系統(tǒng)輸入端定義從系統(tǒng)輸出端定義r(t)－e(t)c(t)G(s)F(s)b(t)第五十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1154兩種定義之間的關(guān)系r(t)r’(r)e’(t)G(s)F(s)c(t)－1/F(s)r(t)－e(t)c(t)G(s)F(s)b(t)等效單位反饋被控量的期望值Creq●對于單位負反饋系統(tǒng)，兩種定義是一致的●對于非單位反饋系統(tǒng)第五十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11552、穩(wěn)態(tài)誤差的定義穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量，對于穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入量或擾動的作用下，經(jīng)歷過渡過程進入穩(wěn)態(tài)后的誤差稱為穩(wěn)態(tài)誤差

定義根據(jù)拉氏變換的終值定理，當(dāng)在右半平面及虛軸上解析時，有不滿足中值定理時第五十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1156二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算1、控制輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差及靜態(tài)誤差系數(shù)r(t)－e(t)c(t)G(s)F(s)b(t)—系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。根據(jù)拉氏變換的終值定理，當(dāng)在右半平面及虛軸上解析時，有※若sE(s)在原點有極點，可用中值定理求得∞，說明ess(t)是趨于無窮的，但具體的函數(shù)形式需由Laplace反變換來求。第五十七頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1157（1）單位階躍輸入

系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)：定義穩(wěn)態(tài)誤差輸入信號系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)—開還傳遞函數(shù)—開環(huán)傳遞函數(shù)中含有積分單元的個數(shù)—0型系統(tǒng)—1型系統(tǒng)—2型系統(tǒng)第五十八頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1158（2）單位斜坡輸入

系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)：定義（3）單位加速度輸入

系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：定義第五十九頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1159誤差系數(shù)系統(tǒng)類型靜態(tài)位置誤差系數(shù)靜態(tài)速度誤差系數(shù)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型系統(tǒng)00∞0∞∞靜態(tài)誤差系數(shù)與系統(tǒng)類型之間的關(guān)系第六十頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1160單位階躍函數(shù)

輸入信號靜差系統(tǒng)類型單位斜坡函數(shù)單位加速度函數(shù)0型系統(tǒng)∞∞1型系統(tǒng)0∞2型系統(tǒng)00穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的類型和輸入信號之間的關(guān)系0型系統(tǒng)可以有靜差的跟蹤階躍信號、不能夠跟蹤斜坡、加速度信號?！胁钕到y(tǒng)1型系統(tǒng)可以無靜差的跟蹤階躍信號、有靜差的跟蹤斜坡信號、不能夠跟蹤加速度信號?！浑A無差系統(tǒng)2型系統(tǒng)可以無靜差的跟蹤階躍信號和斜坡信號、有靜差的跟蹤加速度信號?！A無差系統(tǒng)第六十一頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1161例3-13設(shè)有一非單位反饋控制系統(tǒng)，,，輸入信號,試分別確定當(dāng)為1和0.1時，系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差此時，系統(tǒng)輸出量的希望值為解第六十二頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1162例3-14單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，求輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。1型單位負反饋穩(wěn)定系統(tǒng)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，分別求輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差。例3-15此系統(tǒng)為1型單位負反饋穩(wěn)定系統(tǒng)第六十三頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1163例3-16已知閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，分別求斜坡輸入和正弦輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。此系統(tǒng)為1型穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng)系統(tǒng)為斜坡輸入時當(dāng)輸入為正弦函數(shù)時不能應(yīng)用拉普拉斯變換的終值定理第六十四頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/11642、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差R(s)E(s)N(s)C(s)－B(s)由擾動信號造成的誤差為—非單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)記—擾動誤差傳遞函數(shù)根據(jù)拉氏變換的終值定理，當(dāng)在右半平面及虛軸上解析時，有第六十五頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1165系統(tǒng)是否存在誤差取決于擾動作用點之前傳遞函數(shù)所含有的積分環(huán)節(jié)個數(shù)，且穩(wěn)態(tài)誤差的大小與的比例系數(shù)成反比。擾動的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入信號之間的關(guān)系擾動輸入000第六十六頁，共七十二頁，2022年，8月28日2023/2/1166例3-17設(shè)比例控制系統(tǒng)如圖所示。圖中，為單位階躍信號；為比例控制器輸出轉(zhuǎn)矩，用以改變被控對象的位置；為階躍擾動轉(zhuǎn)矩。試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。K1R(s)E(s)