有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ)

本章主要內(nèi)容2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系2.2彈性體的基本假設(shè)2.3彈性力學(xué)的基本變量2.4平面問題的基本力學(xué)方程2.5空間問題的基本力學(xué)方程2.6彈性問題中的能量表達2.7兩大類平面問題第1頁/共113頁第一頁，共114頁。本章要點變形體的三大類基本變量變形體的三大類基本方程及兩類邊界條件彈性問題中的能量表示平面應(yīng)力、平面應(yīng)變、剛體位移的特征及表達應(yīng)力及應(yīng)變的分解第2頁/共113頁第二頁，共114頁。2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系彈性力學(xué)：彈性力學(xué)也稱彈性理論，主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而解決結(jié)構(gòu)或機械設(shè)計中所提出的強度和剛度問題。是固體力學(xué)的重要分支，它研究彈性物體在外力和其它外界因素作用下產(chǎn)生的變形和內(nèi)力。研究對象：包括桿狀構(gòu)件在內(nèi)的各種形狀的彈性體。彈性力學(xué)基本規(guī)律：變形連續(xù)規(guī)律、應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和運動(或平衡)規(guī)律，它們有時被稱為彈性力學(xué)三大基本規(guī)律。彈性力學(xué)中許多定理、公式和結(jié)論等，都可以從三大基本規(guī)律推導(dǎo)出來。第3頁/共113頁第三頁，共114頁。2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系彈性力學(xué)同材料力學(xué)的比較1、研究內(nèi)容：基本上沒有什么區(qū)別。彈性力學(xué)也是研究彈性體在外力作用下的平衡和運動，以及由此產(chǎn)生的應(yīng)力和變形。2、研究的對象：材料力學(xué)基本上只研究桿、梁、柱、軸等桿狀構(gòu)件，即長度遠大于寬度和厚度的構(gòu)件；彈性力學(xué)雖然也研究桿狀構(gòu)件，但還研究材料力學(xué)無法研究的板與殼及其它實體結(jié)構(gòu)，即兩個尺寸遠大于第三個尺寸，或三個尺寸相當(dāng)?shù)臉?gòu)件。第4頁/共113頁第四頁，共114頁。2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系彈性力學(xué)同材料力學(xué)的比較3、研究的方法：相同點：靜力學(xué)、幾何學(xué)與物理學(xué)三方面進行研究；不同點：材料力學(xué)：對構(gòu)件的整個截面建立分析方程，引用一些截面的變形狀況或應(yīng)力情況的假設(shè)，因而得出的結(jié)果往往是近似的，不精確。彈性力學(xué)：對構(gòu)件采用無限小單元體來建立分析方程的，因而無須引用那些假設(shè)，分析的方法比較嚴密，得出的結(jié)論也比較精確。所以，可以用彈性力學(xué)的解答來估計材料力學(xué)解答的精確程度，并確定它們的適用范圍。第5頁/共113頁第五頁，共114頁。第6頁/共113頁第六頁，共114頁。2.1彈性力學(xué)同有限元分析的關(guān)系

從幾何形狀復(fù)雜程度來考慮可以分為：

1）簡單形狀變形體—材料力學(xué)

2）任意形狀變形體—彈性力學(xué)任意變形體是有限元方法處理的對象，因而，彈性力學(xué)中有關(guān)變量和方程的描述是有限元方法的重要基礎(chǔ)。

彈性力學(xué)的弱點：由于研究對象的變形狀態(tài)較復(fù)雜，處理的方法又較嚴謹，因而解算問題時，往往需要冗長的數(shù)學(xué)運算。但為了簡化計算，便于數(shù)學(xué)處理，它仍然保留了材料力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定。第7頁/共113頁第七頁，共114頁。2.2彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定連續(xù)性：亦即物體整個體積內(nèi)部被組成這種物體的介質(zhì)填滿，不留任何空隙。這樣，物體內(nèi)的一些物理量，如應(yīng)力、應(yīng)變、位移等等才可以用座標(biāo)的連續(xù)函數(shù)來表示。完全彈性：亦即當(dāng)使物體產(chǎn)生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復(fù)原形，而不留任何殘余變形。這樣，當(dāng)溫度不變時，物體在任一瞬時的形狀完全決定于它在這一瞬時所受的外力，與它過去的受力情況無關(guān)。服從虎克定律(應(yīng)力應(yīng)變成比例)均勻性：也就是說整個物體是由同一種材料組成的。這樣，整個物體的所有各部分才具有相同的物理性質(zhì)，因而物體的彈性常數(shù)(彈性模量和泊松系數(shù))才不隨位置座標(biāo)而變。第8頁/共113頁第八頁，共114頁。各向同性：也就是說物體內(nèi)每一點各個不同方向的物理性質(zhì)和機械性質(zhì)都是相同的。物體的變形是微小的：亦即當(dāng)物體受力以后，整個物體所有各點的位移都遠小于物體的原有尺寸，因而應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠小于1，這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸來代替變形后的尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應(yīng)變和轉(zhuǎn)角的平方項或乘積項都可以略去不計，這就使得彈性力學(xué)中的微分方程都成為線性方程。2.2彈性力學(xué)中關(guān)于材料性質(zhì)的假定第9頁/共113頁第九頁，共114頁。2.3彈性力學(xué)基本變量基本變量第10頁/共113頁第十頁，共114頁。2.3彈性力學(xué)基本變量外力：指其他物體對研究對象（彈性體）的作用力?？梢苑譃轶w積力和表面力

1、表面力：是分布于物體表面的力，如靜水壓力，一物體與另一物體之間的接觸壓力等。2、體力：是分布于物體體積內(nèi)的外力，如重力、磁力、慣性力等。均為矢量。彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力（內(nèi)力）第11頁/共113頁第十一頁，共114頁。2.3彈性力學(xué)基本變量內(nèi)力：應(yīng)力

--外力(或溫度)的作用

內(nèi)力

設(shè)作用于上的內(nèi)力為,則內(nèi)力的平均集度,即平均應(yīng)力,為/這個極限矢量S,就是物體在截面mn上、P點的應(yīng)力。應(yīng)力就是彈性體內(nèi)某一點作用于某截面單位面積上的內(nèi)力第12頁/共113頁第十二頁，共114頁。2.3彈性力學(xué)基本變量正應(yīng)力σ剪應(yīng)力τ每一個面上的應(yīng)力分解為一個正應(yīng)力和兩個剪應(yīng)力正應(yīng)力下標(biāo)表示作用在垂直于軸的面上同時也沿著軸方向作用的剪應(yīng)力加上兩個角碼，前一個角碼表明作用面垂直于哪一個坐標(biāo)軸，后一個角碼表明作用方向沿著哪一個坐標(biāo)軸。第13頁/共113頁第十三頁，共114頁。2.3彈性力學(xué)基本變量正面（外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向）負面（外法線是沿著坐標(biāo)軸的負方向）正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負方向為負負面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負方向為正，沿坐標(biāo)軸正方向為負正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負第14頁/共113頁第十四頁，共114頁。第15頁/共113頁第十五頁，共114頁。2.3彈性力學(xué)基本變量剪應(yīng)力互等定律：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負號也相同)。因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào)。不同的坐標(biāo)表示應(yīng)力張量一點的應(yīng)力狀態(tài)第16頁/共113頁第十六頁，共114頁。應(yīng)變——形狀的改變（形變）——長度的改變和角度的改變

應(yīng)變和位移

為了分析物體在其某一點P的形變狀態(tài),在這一點沿著坐標(biāo)軸x,

y,

z

的正方向取三個微小的線段PA,

PB,

PC。

2.3彈性力學(xué)基本變量第17頁/共113頁第十七頁，共114頁。正應(yīng)變——各線段的每單位長度的伸縮,即單位伸縮或相對伸縮。以伸長為正、縮短為負剪應(yīng)變——各線段之間的直角的改變,用弧度表示。以直角減小為正、增大為負。2.3彈性力學(xué)基本變量第18頁/共113頁第十八頁，共114頁。位移——就是位置的移動。物體內(nèi)任意一點的位移,用它在x,y,z三軸上的投影，，來表示以正標(biāo)向為正。一般而論,彈性體內(nèi)任意一點的體力分量、面力分量、應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量,都是隨著該點的位置而變的,因而都是位置坐標(biāo)的函數(shù)。

2.3彈性力學(xué)基本變量第19頁/共113頁第十九頁，共114頁。位移與應(yīng)變的關(guān)系2.3彈性力學(xué)基本變量應(yīng)變位移剛體位移位移剛體轉(zhuǎn)動第20頁/共113頁第二十頁，共114頁。strain-displacementrelations.（幾何方程柯西方程）第21頁/共113頁第二十一頁，共114頁。應(yīng)力分量的矩陣表示稱為應(yīng)力列陣或應(yīng)力向量。彈性體在載荷作用下，將產(chǎn)生位移和變形，即彈性體位置的移動和形狀的改變。彈性體內(nèi)任一點的位移可由沿直角坐標(biāo)軸方向的3個位移分量來表示。它的矩陣形式是：稱作位移列陣或位移向量。第22頁/共113頁第二十二頁，共114頁?；痉匠淌芡獠孔饔玫娜我庑螤钭冃误w，在其微小體元dxdydz中，基于位移、應(yīng)變和應(yīng)力這三大類變量，可以建立以下三大類方程平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系幾何方程：描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系物理方程：應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系第23頁/共113頁第二十三頁，共114頁。2.4平面問題的基本力學(xué)方程平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系幾何方程：描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系物理方程：應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系邊界條件：第24頁/共113頁第二十四頁，共114頁。平面(二維)平衡方程

平面問題的靜力學(xué)平衡,設(shè)微小正六面體,在X,Y方向的尺寸dx,dy,Z方向的尺寸取一個單位長度.兩個對面存在微小差量,通過中心點C,平行與Z軸的直線為軸,列出平衡方程第25頁/共113頁第二十五頁，共114頁。上式兩邊除dxdy,可得:剪力互等關(guān)系以X軸為投影軸,滿足平衡方程:上式兩邊除dxdy,可得:同理第26頁/共113頁第二十六頁，共114頁。平面(二維)幾何方程經(jīng)過彈性體內(nèi)任一點P,沿X軸和Y軸的方向取兩個微小長度的線段PA=dx,PB=dy見圖第27頁/共113頁第二十七頁，共114頁。變形協(xié)調(diào)條件它的物理意義是：材料在變形過程中應(yīng)該是整體連續(xù)的，不應(yīng)該出現(xiàn)“撕裂”和“重疊”現(xiàn)象發(fā)生。第28頁/共113頁第二十八頁，共114頁。寫成矩陣形式為物理方程E稱為楊氏模量反映材料對于拉伸或壓縮變形的抵抗能力。

是泊松系數(shù)，描寫材料橫向收縮或膨脹的特性。第29頁/共113頁第二十九頁，共114頁。線應(yīng)變（相對伸長或壓縮）

絕對伸長（或壓縮）與原長之比稱為相對伸長（或壓縮）。公式：

其中：設(shè)想直桿橫截面是正方形每邊長為,橫向形變后為。橫向形變和縱向形變之比為泊松系數(shù)：

當(dāng)時，為拉伸形變；時，為壓縮形變，因而，它很好地反映形變程度。如直桿拉伸壓縮時，還產(chǎn)生橫向形變，則對應(yīng)的應(yīng)變(或形變)為：第30頁/共113頁第三十頁，共114頁。按照邊界情況，彈性力學(xué)問題一般分為三類：

位移邊界問題：在邊界面上全部給定位移，即全部是Su

邊界

應(yīng)力邊界問題：在邊界面上全部給定表面力，即全部是應(yīng)力邊界。這時，外力（包括體力和面力）應(yīng)是平衡力系。

混合邊界問題：既有Su

邊界，又有應(yīng)力邊界。二者可以分別在邊界表面不同的區(qū)域上，或同一區(qū)域不同的方向上。邊界條件第31頁/共113頁第三十一頁，共114頁。在上彈性體的位移已知為

即有:

用矩陣形式表示是彈性體V的全部邊界為S,一部分邊界上已知外力稱為力的邊界條件，這部分邊界用表示;另一部分邊界上彈性體的位移已知，稱為幾何邊界條件與位移邊界條件，這部分邊界用表示。這兩部分邊界構(gòu)成彈性體的全部邊界，即:

幾何邊界條件第32頁/共113頁第三十二頁，共114頁。作用在任意平面上該點的應(yīng)力分量可以由下式表示為：其中

第33頁/共113頁第三十三頁，共114頁。2.5空間問題的基本力學(xué)方程平衡方程：外力和內(nèi)力之間的平衡關(guān)系幾何方程：描述的是位移和應(yīng)變之間關(guān)系物理方程：應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系邊界條件：第34頁/共113頁第三十四頁，共114頁。

平衡方程第35頁/共113頁第三十五頁，共114頁。X方向負面X方向正面Y方向負面Y方向正面Z方向負面Z方向正面第36頁/共113頁第三十六頁，共114頁。X方向力平衡化簡得第37頁/共113頁第三十七頁，共114頁。Y方向力平衡化簡得第38頁/共113頁第三十八頁，共114頁。Z方向力平衡化簡得第39頁/共113頁第三十九頁，共114頁。如果這六個量在某點是已知的，就可以求得經(jīng)過該點的任何面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力，因此，這六個量可以完全確定該點的應(yīng)力狀態(tài)，它們就稱為在該點的應(yīng)力分量。一般說來，彈性體內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。六個應(yīng)力分量的總體，可以用一個列矩陣來表示：第40頁/共113頁第四十頁，共114頁。

幾何方程工程應(yīng)變第41頁/共113頁第四十一頁，共114頁。寫成矩陣形式為第42頁/共113頁第四十二頁，共114頁。幾何方程可見，當(dāng)彈性體的位移分量完全確定時，應(yīng)變分量是完全確定的。反過來，當(dāng)應(yīng)變分量完全確定時，位移分量卻不完全確定；這是因為，具有確定形狀的物體，可能發(fā)生不同的剛體位移。為了說明這一點，試命：式中的u0,v0,w0,x,y,z是積分常數(shù)。第43頁/共113頁第四十三頁，共114頁。u0——彈性體沿x方向的剛體移動v0——彈性體沿y方向的剛體移動w0——彈性體沿z方向的剛體移動x——彈性體繞x軸的剛體轉(zhuǎn)動y——彈性體繞y軸的剛體轉(zhuǎn)動z——彈性體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動為了完全確定彈性體的位移，必須有六個適當(dāng)?shù)募s束條件來確定這六個剛體位移。第44頁/共113頁第四十四頁，共114頁。變形協(xié)調(diào)條件當(dāng)6個應(yīng)變分量滿足以上應(yīng)變協(xié)調(diào)方程時，就能保證得到單值連續(xù)的位移函數(shù)。第45頁/共113頁第四十五頁，共114頁。當(dāng)沿x軸方向的兩個對面受有均勻分布的正應(yīng)力時，在滿足先前假定的材料性質(zhì)條件下，正應(yīng)力不會引起角度的任何改變，而其在x方向的單位伸長則可表以方程

彈性體在x方向的伸長還伴隨有側(cè)向收縮，即在y和z方向的單位縮短可表示為：方程既可用于簡單拉伸，也可用于簡單壓縮，且在彈性極限之內(nèi)，兩種情況下的彈性模量和波桑系數(shù)相同。應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系----虎克定律物理方程第46頁/共113頁第四十六頁，共114頁。設(shè)圖中的彈性體在各面上都受有均勻分布的正應(yīng)力，則合成應(yīng)變的分量可用前面兩式求得。實驗證明，只須將三個應(yīng)力中的每一應(yīng)力所引起的應(yīng)變分量疊加，就得到合成應(yīng)變的分量。單位伸長與應(yīng)力之間的關(guān)系完全由兩個物理常數(shù)E及μ所確定。兩個常數(shù)也可用來確定剪應(yīng)力與剪應(yīng)變之間的關(guān)系。公式的適用范圍:

在線彈性范圍內(nèi),小變形條件下,各向同性材料。第47頁/共113頁第四十七頁，共114頁。如果彈性體的各面有剪應(yīng)力作用任何兩坐標(biāo)軸的夾角的改變僅與平行于這兩軸的剪應(yīng)力分量有關(guān)，即得到：

正應(yīng)變與剪應(yīng)變是各自獨立的。因此，由三個正應(yīng)力分量與三個剪應(yīng)力分量引起的一般情形的應(yīng)變，可用疊加法求得；即將六個關(guān)系式寫在一起，得彈性方程或物理方程，這種空間狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為廣義虎克定律。第48頁/共113頁第四十八頁，共114頁。寫成矩陣形式為第49頁/共113頁第四十九頁，共114頁。

邊界條件XN,YN,ZN分別為作用在某一任意平面上的沿三個坐標(biāo)軸方向的分量。對于已知應(yīng)力邊界條件的情況，相應(yīng)的應(yīng)力邊界條件為

第50頁/共113頁第五十頁，共114頁。二維問題：

2個位移分量，3個應(yīng)力分量，3個應(yīng)變分量

2個平衡方程，3個幾何方程，3個物理方程三維問題：3個位移分量，6個應(yīng)力分量，6個應(yīng)變分量

3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程我們得到的變量和方程都是從任意變形體中所取出來的微單元體來建立的，因此無論對象的幾何形狀和邊界條件如何不同，其基本變量和基本方程是完全相同，不同之處在于邊界條件，所以求解的難度是如何處理邊界條件（幾何形狀）。第51頁/共113頁第五十一頁，共114頁。2.5彈性問題中的能量表示能量分類1）施加外力在可能位移上所作的功(即外力在彈性變形過程中所做的功)。2）變形體由于變形而存儲的能量(即由于變形而儲存于彈性體內(nèi)的能量)。第52頁/共113頁第五十二頁，共114頁。主要是研究泛函及其極值的求解方法泛函：就是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)，簡單地講，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。彈性力學(xué)變分法中所研究的泛函，就是彈性體的能量，如形變勢能、外力勢能等。因此，彈性力學(xué)中的變分法又稱為能量法。取位移為基本未知函數(shù)2.5彈性問題中的能量表示第53頁/共113頁第五十三頁，共114頁。外力功施加外力在可能位移上所作的功，外力有兩種，包括作用在物體上的面力和體力，這些力被假設(shè)為與變形無關(guān)的不變力系（保守力），則外力功包括這兩部分力在可能位移上所作的功。2.5彈性問題中的能量表示第54頁/共113頁第五十四頁，共114頁。應(yīng)變能以位移（或應(yīng)變）為基本變量所表達的變形能叫做應(yīng)變能（strainenergy）。它也包括兩部分

1）對應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能

2）對應(yīng)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的應(yīng)變能2.5彈性問題中的能量表示第55頁/共113頁第五十五頁，共114頁。1.單向拉伸桿外力做功彈性體應(yīng)變能單位體積應(yīng)變能—應(yīng)變能密度靜加載是線性的，沒有動能與熱能的變化2.5彈性問題中的能量表示第56頁/共113頁第五十六頁，共114頁。對應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的應(yīng)變能，另外兩個方向上的計算類似。第57頁/共113頁第五十七頁，共114頁。對應(yīng)于剪應(yīng)力和剪應(yīng)變的應(yīng)變能（其它兩個剪應(yīng)力類似）第58頁/共113頁第五十八頁，共114頁。2.受均勻剪應(yīng)力時應(yīng)變能密度3.受復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)最終彈性應(yīng)變能與變形過程無關(guān)，只取決于變形的最終狀態(tài)。2.5彈性問題中的能量表示第59頁/共113頁第五十九頁，共114頁。在平面問題中,

。

在平面應(yīng)力問題中還有

;在平面應(yīng)變問題中,還有

。因此,在兩種平面問題中,彈性體的形變勢能密度的表達式都簡化為

應(yīng)變能密度2.5彈性問題中的能量表示第60頁/共113頁第六十頁，共114頁。

在一般的平面問題中,彈性體各部分的受力并非均勻,各個應(yīng)力分量和形變分量都是坐標(biāo)

x

和

y

的函數(shù),因而形變勢能密度U

l

一般也是坐標(biāo)

x

和y

的函數(shù)。為了得出整個彈性體具有的形變勢能Uε,必須將形變勢能密度

uε

在整個彈性體內(nèi)積分。和以前一樣,為了簡便,在z

方向取一個單位長度。這樣就得到(在平面區(qū)域A內(nèi))2.5彈性問題中的能量表示第61頁/共113頁第六十一頁，共114頁。2.5彈性問題中的能量表示空間問題的能力密度考慮初始應(yīng)力及應(yīng)變第62頁/共113頁第六十二頁，共114頁。從而得系統(tǒng)勢能*負號表示外力勢能為負值第63頁/共113頁第六十三頁，共114頁。圖表示一平衡的杠桿，對C點寫力矩平衡方程：圖表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時的剛體位移圖：綜合可得：即：上式是以功的形式表述的。表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。2.5彈性問題中的能量表示第64頁/共113頁第六十四頁，共114頁。虛功原理

進一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時，和這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足的關(guān)系。將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計算結(jié)構(gòu)。

對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖a中的和所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的，不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。第65頁/共113頁第六十五頁，共114頁。虛功原理應(yīng)用范圍

必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。還要注意，當(dāng)位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時該約束力叫做被動力。(如圖中的反力由于支點C沒有位移，故所作的虛功對于零)。反之，如圖中的和是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。第66頁/共113頁第六十六頁，共114頁。虛功原理與虛功方程虛功原理表述如下：

在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的剛體位移時，體系上所有的主動力在位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。虛功原理用公式表示為：

這就是虛功方程，其中P和相應(yīng)的代表力和虛位移。第67頁/共113頁第六十七頁，共114頁。虛功原理----用于彈性體的情況

虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)圖的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。

將虛功原理用于彈性變形時，總功W要包括外力功(T)和內(nèi)力功(U)兩部分，即：W=T-U；內(nèi)力功(-U)前面有一負號，是由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值。根據(jù)虛功原理，總功等于零得：T-U=0

外力虛功T=內(nèi)力虛功

U

彈性力學(xué)中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。第68頁/共113頁第六十八頁，共114頁。虛功原理----用于彈性體的情況虛應(yīng)變能虛應(yīng)變分量外力虛功內(nèi)力虛功即應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的的虛功，也稱虛應(yīng)變能外力虛功即作用于彈性體上的外力在虛位移上做的功由于虛位移是微小的，可認為在虛位移發(fā)生過程中外力保持為常量，則上式的變分符號可提到積分號外。第69頁/共113頁第六十九頁，共114頁。最小勢能原理在有限元的理論中，最小勢能原理是在所有滿足給定邊界條件的位移時，滿足平衡微分方程的位移使得勢能取得最小值。最小勢能原理就是說當(dāng)一個體系的勢能最小時，系統(tǒng)會處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)?；蛘哒f在所有幾何可能位移中，真實位移使得總勢能取最小值最小勢能原理：表明在滿足位移邊界條件的所有可能位移中，實際發(fā)生的位移使彈性體的勢能最小。即對于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實際發(fā)生的位移使彈性體總勢能取極小值。顯然，最小勢能原理與虛功原理完全等價。第70頁/共113頁第七十頁，共114頁。虛功原理的矩陣表示i點外力分量j點外力分量外力分量用表示；引起的應(yīng)力分量用表示第71頁/共113頁第七十一頁，共114頁。虛功原理的矩陣表示假設(shè)發(fā)生了虛位移虛位移分量為用表示；引起的虛應(yīng)變分量用表示第72頁/共113頁第七十二頁，共114頁。虛功原理的矩陣表示

在虛位移發(fā)生時，外力在虛位移上的虛功是：式中是的轉(zhuǎn)置矩陣。同樣，在虛位移發(fā)生時，在彈性體單位體積內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：因此，在整個彈性體內(nèi)，應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功是：根據(jù)虛功原理得到：

這就是彈性變形體的虛功方程，它通過虛位移和虛應(yīng)變表明外力與應(yīng)力之間的關(guān)系。這是以后推導(dǎo)有限元方程的基礎(chǔ)。第73頁/共113頁第七十三頁，共114頁。2.6應(yīng)用實例A1,l1A2,l2R31.離散化①②1232.位移函數(shù)A,lijFiuiFjuj第74頁/共113頁第七十四頁，共114頁。xx2.位移函數(shù)A,lijFiuiFjuj（單元內(nèi)位移線性分布）

形函數(shù)矩陣

2.6應(yīng)用實例第75頁/共113頁第七十五頁，共114頁。763.單元剛度矩陣方程A虛功原理

外力虛功虛應(yīng)變能應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)變矩陣彈性矩陣2.6應(yīng)用實例第76頁/共113頁第七十六頁，共114頁。單元剛度矩陣單元的剛度方程單元剛度矩陣Element①Element②2.6應(yīng)用實例第77頁/共113頁第七十七頁，共114頁。78B最小勢能定理

外力虛功虛應(yīng)變能2.6應(yīng)用實例由勢能變分原理（勢能最小原理）得勢能變分，整理得平衡方程第78頁/共113頁第七十八頁，共114頁。2.6應(yīng)用實例4整體分析整體分析就是建立整個離散結(jié)構(gòu)所有節(jié)點位移與外力之間的關(guān)系，實現(xiàn)未知節(jié)點位移的求解1）整體平衡方程整體剛度方程可基于勢能變分原理建立，也可根據(jù)節(jié)點的靜力平衡來實現(xiàn)（即每個節(jié)點靜力平衡）。節(jié)點i的平衡為三個節(jié)點三個自由度，即第79頁/共113頁第七十九頁，共114頁。（A）擴充單元剛度方程法位移協(xié)調(diào)性載荷的疊加性A1,l1A2,l2R3①②1232.6應(yīng)用實例第80頁/共113頁第八十頁，共114頁。整體剛度方程2.6應(yīng)用實例第81頁/共113頁第八十一頁，共114頁。A1,l1A2,l2P①②123（B）“對號入座”法（方便編程）ij1223Total1231232.6應(yīng)用實例第82頁/共113頁第八十二頁，共114頁。5.引入邊界條件求解A1,l1A2,l2R3①②123邊界條件支反力2.6應(yīng)用實例第83頁/共113頁第八十三頁，共114頁。結(jié)構(gòu)離散單元分析整體分析2.7基本步驟為三大步驟第84頁/共113頁第八十四頁，共114頁。1、結(jié)構(gòu)離散:就是用假想的線或面將連續(xù)物體分割成有限個單元組成的集合體且單元之間僅在節(jié)點處連接，單元之間的作用僅由節(jié)點傳遞。（基本要求）注意的問題單元：滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域節(jié)點：單元與單元間的連接點節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載2.7基本步驟為三大步驟第85頁/共113頁第八十五頁，共114頁。2單元分析:1），選擇插值（位移）函數(shù)；2），構(gòu)造位移函數(shù)。插值函數(shù)：用以表示單元內(nèi)物理量變化（如位移或位移場）的近似函數(shù)。由于該近似函數(shù)常由單元節(jié)點物理量值插值構(gòu)成，故稱為插值函數(shù)，如單元內(nèi)物理量為位移，則該函數(shù)稱為位移函數(shù)。選擇位移函數(shù)的一般原則位移函數(shù)在單元節(jié)點的值應(yīng)等于節(jié)點位移（即單元內(nèi)部是連續(xù)的）；所選位移函數(shù)必須保證有限元的解收斂于真實解。2.7基本步驟為三大步驟位移函數(shù)一般采用多項式形式，在單元內(nèi)選適當(dāng)階次的多項式可得到與真實解接近的近似解第86頁/共113頁第八十六頁，共114頁。構(gòu)造位移函數(shù)：如平面問題位移函數(shù)的一般形式為1.多項式項數(shù)越多，則逼近真實位移的精度越高，項數(shù)的多少由單元的自由度數(shù)決定。2多項式選取應(yīng)由低階到高階，盡量選擇完全多項式以提高單元精度。3.選取多項式時，還應(yīng)使所選取的多項式具有坐標(biāo)的對稱性，即按Pascal（帕斯卡）三角形來選擇2.7基本步驟為三大步驟第87頁/共113頁第八十七頁，共114頁。位移函數(shù)構(gòu)造方法：1.廣義坐標(biāo)法：2插值函數(shù)法：即將位移函數(shù)表示為各個節(jié)點位移與已知插值基函數(shù)積的和2.7基本步驟為三大步驟第88頁/共113頁第八十八頁，共114頁。3）單元特性分析：單元特性分析的基本任務(wù)就是建立單元的平衡方程，也稱為剛度方程。在選擇了單元類型和相應(yīng)的位移函數(shù)后，即可按彈性力學(xué)的幾何方程、物理方程導(dǎo)出單元應(yīng)變與應(yīng)力的表達式，最后利用虛位移原理或最小勢能原理或直接法或加權(quán)殘值法建立單元的平衡方程，即單元節(jié)點力與節(jié)點位移間的關(guān)系。2.7基本步驟為三大步驟第89頁/共113頁第八十九頁，共114頁。2.7基本步驟為三大步驟第90頁/共113頁第九十頁，共114頁。2.7基本步驟為三大步驟3.整體分析整體分析的基本任務(wù)包括建立整體平衡方程，引入邊界條件，完成整體方程求解。整體平衡方程的建立有多種方法，可基于能量原理（勢能變分或虛位移原理）推導(dǎo)，也可基于節(jié)點力平衡得到。在引入邊界條件之前，整體平衡方程是奇異的，這意味著整體方程是不可解的。方程求解包括邊界條件引入和數(shù)值計算，一旦利用適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法求出未知的節(jié)點位移，則可按前述的應(yīng)力應(yīng)變公式計算出各個單元的應(yīng)變、應(yīng)力等物理量第91頁/共113頁第九十一頁，共114頁。剛度由使其產(chǎn)生單位變形所需的外力值來量度，剛度是指零件在載荷作用下抵抗彈性變形的能力。單元的剛度矩陣：單元剛度矩陣反應(yīng)的是單元節(jié)點力與單元節(jié)點位移的關(guān)系；總剛度矩陣反應(yīng)的是整體的節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系；剛度矩陣將總體坐標(biāo)下的節(jié)點位移與整個結(jié)構(gòu)的總體力聯(lián)系在一起。補充實例（剛度矩陣的理解）第92頁/共113頁第九十二頁，共114頁。單元剛度矩陣行數(shù)等于位移向量的分量個數(shù)，列數(shù)等于為位移的列向量的分量個數(shù)，由于兩者相等所以單剛是個方陣。結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣即結(jié)構(gòu)的原始剛度矩陣，每1個元素的物理意義就是當(dāng)其所在列對應(yīng)的節(jié)點位移分量等于單位位移（其余結(jié)點位移分量為0）時，其所在行對應(yīng)的節(jié)點力的數(shù)值。表示由于第j個自由度的單位位移dj在第i個自由度需要的力補充實例（剛度矩陣的理解）第93頁/共113頁第九十三頁，共114頁。單元的剛度矩陣的性質(zhì)

a.單元剛度矩陣僅與單元的幾何特征和材料性質(zhì)有關(guān)。僅與單元的橫截面積A、慣性矩I、單元長度l、單元的彈性模量E有關(guān)。

b.單元剛度矩陣是一個對稱陣。在單元剛度矩陣對角線兩側(cè)對稱位置上的兩個元素數(shù)值相等，即，根據(jù)是反力互等定理。

c.單元剛度矩陣是一個奇異陣。

d.單元剛度矩陣可以分塊矩陣的形式表示。具有確定的物理意義。第94頁/共113頁第九十四頁，共114頁。整體剛度矩陣的性質(zhì)

整體剛度矩陣中位于主對角線上的子塊，稱為主子塊，其余為副子塊。

a.中主子塊由結(jié)點i的各相關(guān)單元的主子塊擴展之后疊加求得，即

b.當(dāng)結(jié)點i、

j為單元e的相關(guān)結(jié)點時，中副子塊為該單元e相應(yīng)的副子塊，即。

c.當(dāng)結(jié)點i、

j為非相關(guān)結(jié)點時，中副子塊為零子塊，即。

d.僅與各單元的幾何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有關(guān)。

e.為對稱方陣，

f.為奇異矩陣，其逆矩陣不存在，因為建立整體剛度矩陣時沒有考慮結(jié)構(gòu)的邊界約束條件。第95頁/共113頁第九十五頁，共114頁。

g.為稀疏矩陣，整體剛度矩陣中的非零元素分布區(qū)域的寬度與結(jié)點編號有關(guān)，非零元素分布在以對角線為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，稱為帶狀分布規(guī)律，見圖a。在包括對角線元素在內(nèi)的區(qū)域中，每行所具有的元素個數(shù)叫做把半帶寬，以d表示。最大半帶寬等于相鄰結(jié)點號的最大差值加1與結(jié)點自由度數(shù)的乘積，結(jié)點號差越大半帶寬也就越大。計算機以半帶寬方式存儲，見圖b。半帶寬越窄，計算機的存儲量就越少，而且可以大幅度減少求解方程所需的運算次數(shù)。其效果對大型結(jié)構(gòu)顯得尤為突出。

圖整體剛度矩陣存儲方法

h.整體剛度矩陣稀疏陣。故整體剛度矩陣不能求逆，必須作約束處理方能正確地將結(jié)點位移求出，進而求出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力場。

(a)帶狀分布規(guī)律

(b)帶狀存儲

第96頁/共113頁第九十六頁，共114頁。約束處理及求解約束處理的必要性

建立結(jié)構(gòu)原始平衡方程式時，并未考慮支承條件（約束），也就是說，將原始結(jié)構(gòu)處理成一個自由懸空的、存在剛體位移的幾何可變結(jié)構(gòu)。整體剛度矩陣是奇異矩陣，因此，無法求解?？梢詤⒄盏?章的原則，結(jié)合實際工程結(jié)構(gòu)引入支承條件，即對結(jié)構(gòu)原始平衡方程式做約束處理。約束處理后的方程稱為基本平衡方程。統(tǒng)一記為約束處理方法

約束處理常用方法有填0置1法和乘大數(shù)法。采用這兩種方法不會破壞整體剛度矩陣的對稱性、稀疏性及帶狀分布等特性。

第97頁/共113頁第九十七頁，共114頁。1填0置1法

將整體剛度矩陣中與之相對應(yīng)的主對角元素全部置換成1，相應(yīng)行和列上的其它元素均改為0。同時，所在同一行上的載荷分量替換成0，則有第98頁/共113頁第九十八頁，共114頁。1填0置1法

也可簡便地采用劃行劃列的辦法