2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十四）正弦定理和余弦定理的應(yīng)用理（普通高中、重點(diǎn)高中共用）

課時(shí)跟蹤檢測(cè)〔二十四〕正弦定理和余弦定理的應(yīng)用普通高中、重點(diǎn)高中共用作業(yè)(高考難度一般，無(wú)須挖潛)A級(jí)——根底小題練熟練快1.如圖，兩座燈塔A和B與河岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，那么燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東80°D．南偏西80°解析：選D由條件及題圖可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.2．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，那么河流的寬度BC等于()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：選C∵tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)．3.如圖，在塔底D的正西方A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，在塔底D的南偏東60°的B處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，A，B的距離是84m，那么塔高CD為()A．24m B．12eq\r(5)mC．12eq\r(7)m D．36m解析：選C設(shè)塔高CD＝xm，那么AD＝xm，DB＝eq\r(3)xm.又由題意得∠ADB＝90°＋60°＝150°，在△ABD中，利用余弦定理，得842＝x2＋(eq\r(3)x)2－2eq\r(3)·x2cos150°，解得x＝12eq\r(7)(負(fù)值舍去)，故塔高為12eq\r(7)m.4．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，那么水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m解析：選A作出示意圖如下圖，設(shè)水柱高度是hm，水柱底端為C，那么在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，在Rt△BCD中，BC＝eq\r(3)h，根據(jù)余弦定理得，(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.5．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10eq\r(2)海里B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：選A畫(huà)出示意圖如下圖，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．6.如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補(bǔ)，那么AC的長(zhǎng)為()A．7kmB．8kmC．9km D．6km解析：選A在△ACD中，由余弦定理得：cosD＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(34－AC2,30).在△ABC中，由余弦定理得：cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(89－AC2,80).因?yàn)椤螧＋∠D＝180°，所以cosB＋cosD＝0，即eq\f(34－AC2,30)＋eq\f(89－AC2,80)＝0，解得AC＝7.7．海上有A，B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是________nmile.解析：如圖，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，所以BC＝eq\f(AB·sinA,sinC)＝eq\f(10×sin60°,sin45°)＝5eq\r(6)(nmile)．答案：5eq\r(6)8.如下圖，一艘海輪從A處出發(fā)，測(cè)得燈塔在海輪的北偏東15°方向，與海輪相距20nmile的B處，海輪按北偏西60°的方向航行了30min后到達(dá)C處，又測(cè)得燈塔在海輪的北偏東75°的方向上，那么海輪的速度為_(kāi)_______nmile/min.解析：由得∠ACB＝45°，∠B＝60°，由正弦定理得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，所以AC＝eq\f(AB·sinB,sin∠ACB)＝eq\f(20×sin60°,sin45°)＝10eq\r(6)，所以海輪航行的速度為eq\f(10\r(6),30)＝eq\f(\r(6),3)(nmile/min)．答案：eq\f(\r(6),3)9.某同學(xué)騎電動(dòng)車(chē)以24km/h的速度沿正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東30°方向上，15min后到點(diǎn)B處，測(cè)得電視塔S在電動(dòng)車(chē)的北偏東75°方向上，那么點(diǎn)B與電視塔的距離是________km.解析：如題圖，由題意知AB＝24×eq\f(15,60)＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，∴∠ASB＝45°，由正弦定理知eq\f(BS,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，∴BS＝eq\f(AB·sin30°,sin45°)＝3eq\r(2)(km)．答案：3eq\r(2)10．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，那么此山的高度CD＝________m.解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．答案：100eq\r(6)B級(jí)——中檔題目練通抓牢1．某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°的方向航行15km后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，那么這時(shí)船與燈塔的距離是()A．5km B．10kmC．5eq\r(3)km D．5eq\r(2)km解析：選C作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船開(kāi)始的位置，點(diǎn)B為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來(lái)的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得eq\f(15,sin120°)＝eq\f(BC,sin30°)，即BC＝eq\f(15×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝5eq\r(3)，即這時(shí)船與燈塔的距離是5eq\r(3)km.2．地面上有兩座相距120m的塔，在矮塔塔底望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣粒诟咚淄數(shù)难鼋菫閑q\f(α,2)，且在兩塔底連線的中點(diǎn)O處望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵敲磧伤母叨确謩e為()A．50m,100m B．40m,90mC．40m,50m D．30m,40m解析：選B設(shè)高塔高Hm，矮塔高h(yuǎn)m，在O點(diǎn)望高塔塔頂?shù)难鼋菫棣?那么tanα＝eq\f(H,120)，taneq\f(α,2)＝eq\f(h,120)，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式有eq\f(H,120)＝eq\f(2×\f(h,120),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,120)))2).①因?yàn)樵趦伤走B線的中點(diǎn)O望兩塔塔頂?shù)难鼋腔橛嘟牵栽贠點(diǎn)望矮塔塔頂?shù)难鼋菫閑q\f(π,2)－β，由tanβ＝eq\f(H,60)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))＝eq\f(h,60)，得eq\f(H,60)＝eq\f(60,h).②聯(lián)立①②解得H＝90，h＝40.即兩座塔的高度分別為40m,90m.3.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個(gè)出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.某人從O沿OD走到D用了2min，從D沿著DC走到C用了3min.假設(shè)此人步行的速度為50m/min，那么該扇形的半徑的長(zhǎng)度為()A．50eq\r(5)m B．50eq\r(7)mC．50eq\r(11)m D．50eq\r(19)m解析：選B設(shè)該扇形的半徑為r，連接CO.由題意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×eq\f(1,2)＝r2，解得r＝50eq\r(7).4.(2023·惠州調(diào)研)如下圖，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD，為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)50m到達(dá)B處，又測(cè)得∠DBC＝45°，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cosθ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根據(jù)正弦定理可得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，即eq\f(50,sin30°)＝eq\f(BD,sin15°)，所以BD＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(eq\r(6)－eq\r(2))．在△BCD中，由正弦定理得eq\f(CD,∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，即eq\f(25,sin45°)＝eq\f(25\r(6)－\r(2),sin∠BCD)，解得sin∠BCD＝eq\r(3)－1.所以cosθ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－15.(2023·福州質(zhì)檢)如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.假設(shè)山高AD＝100m，汽車(chē)從B點(diǎn)到C點(diǎn)歷時(shí)14s，那么這輛汽車(chē)的速度約為_(kāi)_____m/s(精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.解析：因?yàn)樾∶髟贏處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.設(shè)這輛汽車(chē)的速度為vm/s，那么BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝eq\f(AD,cos∠BAD)＝eq\f(AD,cos60°)＝200.在Rt△ADC中，AC＝eq\f(AD,cos∠CAD)＝eq\f(100,cos45°)＝100eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC所以(14v)2＝(100eq\r(2))2＋2002－2×100eq\r(2)×200×cos135°，所以v＝eq\f(50\r(10),7)≈22.6，所以這輛汽車(chē)的速度約為22.6m/s.答案：22.66.一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(2eq\r(3)－2)nmile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4nmile到達(dá)海島C.(1)求AC的長(zhǎng)；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。猓?1)由題意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2eq\r(3)－2，BC＝4，根據(jù)余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(2eq\r(3)－2)2＋42＋(2eq\r(3)－2)×4＝24，所以AC＝2eq\r(6).故AC的長(zhǎng)為2eq\r(6)nmile.(2)根據(jù)正弦定理得，sin∠BAC＝eq\f(4×\f(\r(3),2),2\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，所以∠CAB＝45°.7.在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一座發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100m和BN＝200m，一測(cè)量車(chē)在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車(chē)向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)m后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測(cè)量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100eq\r(3).連接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100eq\r(3)，∴△PQM為等邊三角形，∴QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝(100eq\r(5))