概率論與數(shù)理統(tǒng)計4-1gai

一、數(shù)學(xué)期望的概念二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望四、小結(jié)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望

設(shè)某射擊手在同樣的條件下,瞄準(zhǔn)靶子相繼射擊90次,(命中的環(huán)數(shù)是一個隨機(jī)變量).射中次數(shù)記錄如下引例1

射擊問題試問:該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?命中環(huán)數(shù)k命中次數(shù)頻率一、數(shù)學(xué)期望的概念解平均射中環(huán)數(shù)設(shè)射手命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量Y.1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望關(guān)于定義的幾點說明(3)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算術(shù)平均值不同.(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.試問哪個射手技術(shù)較好?實例1

誰的技術(shù)比較好?乙射手甲射手解故甲射手的技術(shù)比較好.實例2

如何確定投資決策方向?

某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預(yù)估成功的機(jī)會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機(jī)會為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資?解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇投資.實例3

商店的銷售策略解實例4

分組驗血解到站時刻概率實例6解2.連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義實例7

顧客平均等待多長時間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間

X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間?1.設(shè)C是常數(shù),則有證明2.設(shè)X是一個隨機(jī)變量,C是常數(shù),則有證明例如二、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機(jī)變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機(jī)變量,則有證明柯西—施瓦茨不等式解實例81.離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為2.連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望若X是連續(xù)型的,它的分布密度為f(x),則3.二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望解實例9設(shè)(X,Y)的分布律為由于實例10

解實例11

解因此期望所得為利用軟件包求解,并演示計算結(jié)果.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出四、小結(jié)數(shù)學(xué)期望是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量X取可能值的真正的平均值.2.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

有一隊射手共9人,技術(shù)不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8;進(jìn)行射擊,各自打中靶為止,但限制每人最多只打3次,問大約需為他們準(zhǔn)備多少發(fā)子彈?

解設(shè)xi表示第i名射手所需的子彈數(shù)目,x表示9名射手所需的子彈數(shù)目,則x=x1