數(shù)學分析第二冊章數(shù)項級數(shù)

數(shù)學分析第二冊章數(shù)項級數(shù)第一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日有限個數(shù)相加

第二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日無窮多個數(shù)相加第三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一、引言《莊子·天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”第四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日如：“無限個數(shù)±1相加”如果寫作如果寫作=0，=1，第五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定義1:

給定一個數(shù)列{un},稱其為數(shù)項級數(shù)或無窮級數(shù)(簡稱級數(shù)),稱un為數(shù)項級數(shù)(1)的通項或一般項.稱Sn為∑un的第n個部分和,簡稱部分和.常記簡記記若（即∑un的部分和數(shù)列{Sn}收斂于S）則稱數(shù)項級數(shù)∑un收斂,稱S為數(shù)項級數(shù)∑un的和,定義2記若{Sn}發(fā)散,則稱數(shù)項級數(shù)∑un發(fā)散.二、級數(shù)概念第六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日級數(shù)的部分和部分和數(shù)列第七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日數(shù)項級數(shù)∑un收斂例1

討論等比級數(shù)(也稱幾何級數(shù))的收斂性(a≠0).解級數(shù)的第

n個部分和為(1)當q≠1時,(2)當q=1時,∴∑aqn等比級數(shù)收斂,其和為三、級數(shù)計算第八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日

發(fā)散.例2

討論數(shù)項級數(shù)的收斂性.解級數(shù)(4)的第n個部分和為總之，等比級數(shù)∴級數(shù)(4)收斂,且其和為1.第九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例E4

討論數(shù)項級數(shù)的收斂性.解級數(shù)的第n個部分和為第十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日四、級數(shù)性質(zhì)定理(線性性質(zhì))

對常數(shù)c,d定理

去掉、增加或改變級數(shù)的有限項并不改變級數(shù)的斂散性.在收斂時，和一般是要變的.第十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日結(jié)論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.第十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定理

在收斂級數(shù)的項中任意加括號,

既不改變級數(shù)的收斂性,也不改變它的和.證設(shè)部分和Sn第十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日注從級數(shù)加括號后的收斂,不能推斷它在沒加括號時也收斂.

例如收斂,但級數(shù)卻是發(fā)散的.第十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件若數(shù)項級數(shù)收斂，第十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日收斂級數(shù)通項的極限為0的證明證明：第十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日注意1.如果級數(shù)的一般項不趨于零,則級數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件但不充分.第十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日討論第十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項看成是以為高就是圖中n個矩形的面積之和即故調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)的部分和第十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日級數(shù)的Cauchy(柯西)收斂準則定理第二十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件特別地取p=1,第二十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定理

第二十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例3用級數(shù)收斂的Cauchy準則,證明收斂.證∴當m>N及任意正整數(shù)p,有

第二十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第二種證明第二十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日根據(jù)數(shù)列的單調(diào)有界定理可知的極限一定存在.第二十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例4證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的.分析:一般項∴級數(shù)滿足收斂必要條件，但不能判斷級數(shù)收斂

解:對N，只要

m>N，取p=m

由Cauchy收斂準則知，調(diào)和級數(shù)發(fā)散.第二十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日正項級數(shù)一、特征定理：第二十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日

二、收斂或發(fā)散的判別法第二十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日⒈比較判別法：第二十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判別級數(shù)的斂散性第三十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日２.比較判別法的極限形式：①②③第三十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明：①②③第三十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判別級數(shù)的斂散性第三十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答第三十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判別級數(shù)的斂散性第三十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答第三十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日利用等比級數(shù)作為比較對象得到比式判別法第三十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日3第三十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第三十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第四十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日4.比式判別法的極限形式：①②第四十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第四十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第四十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判斷級數(shù)的斂散性第四十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答解：

第四十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題第四十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答解：第四十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判斷級數(shù)的斂散性第四十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答解：第四十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判斷級數(shù)的斂散性第五十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答解：第五十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日注意：第五十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日考慮下面兩個級數(shù)第五十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日5第五十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第五十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第五十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日6.根式判別法的極限形式：①②第五十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第五十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第五十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日注意：第六十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日同樣地，考慮下面兩個級數(shù)第六十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判斷級數(shù)的斂散性第六十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答解：第六十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判斷級數(shù)的斂散性第六十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答解：第六十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答第六十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日解答另解：第六十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日比式判別法和根式判別法之比較

第六十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日比式判別法和根式判別法之比較

反例：由根式判別法可知級數(shù)是收斂的。但是應(yīng)用比式判別法，第六十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日7.積分判別法證明：第七十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第七十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日積分判別法的應(yīng)用：例1.解：第七十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例2.解：考慮第七十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日常用于比較的級數(shù)⑴等比級數(shù)⑵第七十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判別級數(shù)和的斂散性第七十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題判別級數(shù)的斂散性第七十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題當發(fā)散發(fā)散收斂第七十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題(證明題)證明：第七十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題(證明題)證明：第七十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題(證明題)證明：故收斂第八十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一般項級數(shù)

交錯級數(shù)(正項和負項交錯排列的級數(shù))第八十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日一、萊布尼茨（Leibniz）判別法定理第八十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第八十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第八十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日證明第八十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第二種證明第八十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第二種證明第八十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日⑴收斂特別地收斂⑵收斂⑶一些收斂級數(shù)的例子收斂第八十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日絕對收斂定理：證法1：第八十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定義證法2：第九十頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題.⑴絕對收斂.⑵條件收斂第九十一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日例題第九十二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日下面討論絕對收斂級數(shù)的兩個重要性質(zhì).1.級數(shù)的重排

我們把正整數(shù)列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射原數(shù)列的重排.相應(yīng)地稱級數(shù)為原級數(shù)的重

作稱為正整數(shù)列的重排,相應(yīng)地對于數(shù)列

第九十三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定理設(shè)原級數(shù)絕對收斂,且其和等于S,則任

意重排后所得到的新級數(shù)(*)絕對收斂且和也為S.第一步設(shè)原級數(shù)是正項級數(shù),用Sn表示它的第n個部分和.又用表示新級數(shù)(*)的第m個部分和.因為級數(shù)(*)為原級數(shù)

*證

的重排,所以每一應(yīng)等于某一第九十四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日即新級數(shù)(*)收斂,且其和由于原級數(shù)也可看作新級數(shù)(*)的重排,所以也有,從而得到.這就證明了對正項級數(shù)定理成立.第二步證明(*)絕對收斂.設(shè)原級數(shù)是一般項級數(shù)且絕對收斂,

則由第一步結(jié)論,可得收斂,即新級數(shù)(*)是絕對收斂的.則對于任何第九十五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日要把原級數(shù)分解成正項級數(shù)的和.為此令第三步證明絕對收斂級數(shù)(*)的和也等于S.

根據(jù)第一步的證明,收斂的正項級數(shù)重排后和不變,所以先第九十六頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日對于原級數(shù)重排后所得到的新級數(shù)(*),也可按(8)式的

辦法,把它表示為兩個收斂的正項級數(shù)之差其和不變,從而有由原級數(shù)絕對收斂,及(9)式,知都是收

斂的正項級數(shù).因此第九十七頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日注定理只對絕對收斂級數(shù)成立.條件收斂級

數(shù)重排后得到的新級數(shù),不一定收斂,

即使收斂,也不一定收斂于原來的和.

更進一步,

條件收斂級數(shù)適當重排后,既可以得到發(fā)散級數(shù),

也可以收斂于任何事先指定的數(shù).

例如下列級數(shù)是條件收斂的,

設(shè)其和為A,即第九十八頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日將上述兩個級數(shù)相加,得到的是(2)的重排:第九十九頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日2.級數(shù)的乘積

若為收斂級數(shù),a為常數(shù),則由此可以立刻推廣到收斂級數(shù)與有限項和的乘

積,即那么無窮級數(shù)之間的乘積是否也有上述性質(zhì)?第一百頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日將級數(shù)(11)與(12)中每一項所有可能的乘積列成下表

設(shè)有收斂級數(shù)可以按各種方法排成不同的級數(shù),常

用的有按正方形順序或按對角線順序.

第一百零一頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第一百零二頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日第一百零三頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日定理

(柯西定理)若級數(shù)(11)、(12)都絕對收斂,

依次相加,于是分別有和則對(13)中按任意順序排列所得到的級數(shù)也絕對收斂,且其和等于AB.*證第一百零四頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日則必有的部分和數(shù)列都是有界的.

由定理條件,級數(shù)(11)與(12)都絕對收斂,因而

第一百零五頁，共一百一十八頁，2022年，8月28日

于是是有界的,從而級數(shù)

絕對收斂.下面證明的和由于絕對收斂級數(shù)具有可重排的性質(zhì),即級數(shù)的和與采用哪一種排列的次序無關(guān),

為此,

采用正方形順序并對各被加項取括號,即將每一括號作為一項,得到新級數(shù)第一百零六頁，共一