2022年度遼寧省沈陽市十九高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2022年度遼寧省沈陽市十九高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知滿足則的最大值為A．

B．

C．

D．參考答案：C【知識點】線性規(guī)劃E5由線性規(guī)劃知識可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過可行域的點時取得最大值，這時，所以C為正確選項.【思路點撥】由條件可求出可行域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)求出最大值.2.若實數(shù)a，b滿足a＞0，b＞0，則“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】據(jù)a，b的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定充分條件，還是必要條件即可．【解答】解：設(shè)f（x）=x+lnx，顯然f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵a＞b，∴f（a）＞f（b），∴a+lna＞b+lnb，故充分性成立，∵a+lna＞b+lnb”，∴f（a）＞f（b），∴a＞b，故必要性成立，故“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要條件，故選：C3.函數(shù)的定義域為(

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知二次函數(shù)滿足且，則含有零點的一個區(qū)間是

（

）

A．(-2,0)

B．(-1,0)

C．(0,1)

D．(0,2)參考答案：A5.對于集合，如果定義了一種運算“”，使得集合中的元素間滿足下列4個條件：（ⅰ），都有；（ⅱ），使得對，都有；（ⅲ），，使得；（ⅳ），都有，則稱集合對于運算“”構(gòu)成“對稱集”．下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“”：①，運算“”為普通加法；②，運算“”為普通減法；③，運算“”為普通乘法．其中可以構(gòu)成“對稱集”的有(

)A①②

B①③

C②③

D①②③參考答案：B略6.若直線和圓沒有交點，則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為（

）A．

B．至多有一個

C．

D．參考答案：D試題分析：因為直線和圓沒有交點，所以，即，所以點在圓內(nèi)，即點在橢圓內(nèi)部，所以過點的直線與橢圓有兩個公共點，故選D.考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.點與圓、點與橢圓的位置關(guān)系；3.直線與橢圓的位置關(guān)系.7.設(shè)a∈,則使函數(shù)的定義域是R,且為奇函數(shù)的所有a的值是(

)A．

B．

C．

D．

參考答案：A8.下列命題：①“”是“存在n∈N*，使得成立”的充分條件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要條件；③“”是“不等式對一切n∈N*恒成立”的充要條件．其中所以真命題的序號是（）A．③B．②③C．①②D．①③參考答案：考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：計算題．分析：選項①“”應(yīng)是“存在n∈N*，使得成立”的充要條件；選項②當(dāng)存在n∈N*，使得成立時，a只需大于當(dāng)n∈N*，時的最小取值即可，可得a＞0；選項③由充要條件的證明方法可得．解答：解：選項①當(dāng)時，必存在n∈N*，使得成立，故前者是后者的充分條件，但存在n∈N*，使得成立時，a即為當(dāng)n∈N*，時的取值范圍，即，故“”應(yīng)是“存在n∈N*，使得成立”的充要條件，故①錯誤；選項②當(dāng)存在n∈N*，使得成立時，a只需大于當(dāng)n∈N*，時的最小取值即可，故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N*，使得成立”的必要條件，故②正確；選項③由①知，當(dāng)n∈N*時的取值范圍為，故當(dāng)時，必有“不等式對一切n∈N*恒成立”，而要使不等式對一切n∈N*恒成立”，只需a大于的最大值即可，即a故“”是“不等式對一切n∈N*恒成立”的充要條件．故選B點評：本題考查命題真假的判斷與應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)和恒成立問題，屬基礎(chǔ)題．9.已知，滿足約束條件，若的最小值為，則A. B. C. D.參考答案：A10.已知為第二象限角，，則的值等于A. B. C. D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）=，則不等式f（x2﹣x+1）＜12解集是．參考答案：（﹣1，2）【考點】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】由題意可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．令x2+x=12，求得x=3或x=﹣4（舍去）．故由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，由此求得x的范圍．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（0）=0，可得函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．令x2+x=12，求得x=3或x=﹣4（舍去）．∴由不等式f（x2﹣x+1）＜12，可得x2﹣x+1＜3，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，故答案為：（﹣1，2）．12.已知a，b∈R，a2﹣2ab+5b2=4，則ab的最小值為

．參考答案：考點：基本不等式．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：a2﹣2ab+5b2=4，配方為（a﹣b）2+（2b）2=4，令a﹣b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．可得ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=+sin（2θ﹣α），即可得出．解答： 解：a2﹣2ab+5b2=4，配方為（a﹣b）2+（2b）2=4，令a﹣b=2cosθ，2b=2sinθ，θ∈[0，2π）．∴b=sinθ，a=sinθ+2cosθ，∴ab=（sinθ+2cosθ）sinθ=sin2θ+sin2θ==+sin（2θ﹣α），tanα=．∴當(dāng)sin（2θ﹣α）=﹣1，ab取得最小值：．故答案為：．點評：本題考查了配方法、三角函數(shù)代換法、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13.設(shè)滿足不等式，若，則的最小值為

參考答案：作出滿足不等式的平面區(qū)域，如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過點時目標(biāo)函數(shù)取得最小值－1．又由平面區(qū)域知，則函數(shù)在時，取得最大值，由此可知的最小值為．14.若實數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是_____參考答案：1315.已知直線l1與直線垂直，且與圓相切，則直線l1的一般方程為

．參考答案：或16.數(shù)列是正項等差數(shù)列，若，則數(shù)列也為等差數(shù)列.類比上述結(jié)論，寫出正項等比數(shù)列，若=

，則數(shù)列{}也為等比數(shù)列.參考答案：答案：17.已知函數(shù)，實數(shù)x，y滿足

，若點M(1，2)，N(x，y)，則當(dāng)≤4時，的最大值為

(其中O為坐標(biāo)原點)參考答案：12三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的外接圓半徑為1，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.向量滿足∥.

(1)求sinA＋sinB的取值范圍；(2)若，且實數(shù)x滿足，試確定x的取值范圍．參考答案：解：(1)因為m∥n∴，＝，即ab＝4cosAcosB.因為△ABC的外接圓半徑為1，由正弦定理，得ab＝4sinAsinB.…………2分于是cosAcosB－sinAsinB＝0，即cos(A＋B)＝0.

因為0＜A＋B＜π.所以A＋B＝.故△ABC為直角三角形．…………4分sinA＋sinB＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，因為＜A＋＜，所以＜sin(A＋)≤1，故1＜sinA＋sinB≤.

………………6分(2)x＝.

………………7分設(shè)t＝sinA-cosA()，則2sinAcosA＝，………………9分x＝，因為x′＝，故x＝在()上是單調(diào)遞增函數(shù)．

………………12分所以所以實數(shù)x的取值范圍是（）…14分19.已知△ABC的面積為S，且?=S．（Ⅰ）求tan2B的值；（Ⅱ）若cosA=，且|﹣|=2，求BC邊中線AD的長．參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】（Ⅰ）根據(jù)△ABC的面積，結(jié)合平面向量的數(shù)量積求出tanB的值，再求tan2B的值；（Ⅱ）根據(jù)tanB的值，求出sinB、cosB，再由cosA的值求出sinA，從而求出sinC=sinB，判斷△ABC是等腰三角形，求出底邊上的中線AD的長．【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面積為S，且?=S；∴accosB=acsinB，解得tanB=2；∴tan2B==﹣；（Ⅱ）∵|﹣|=2，∴||=2，又tanB==2，sin2B+cos2B=1∴sinB=，cosB=；又cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=；∵sinB=sinC，∴B=C，∴AB=AC=2，∴中線AD也是BC邊上的高，∴AD=ABsinB=2×=．20.如圖，某小區(qū)有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內(nèi)修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現(xiàn)以點O為坐標(biāo)原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，若池邊AE滿足函數(shù)的圖象，且點M到邊OA距離為t（0＜t＜2）．（I）當(dāng)時，求直路l所在的直線方程；（Ⅱ）當(dāng)t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側(cè)的面積取到最大，最大值是多少？參考答案：解：（I）∵，∴y′=﹣x，∴過點M（）的切線的斜率為﹣t，所以，過點M的切線方程為，即．當(dāng)t=時，切線l的方程為．即當(dāng)時，直路l所在的直線方程為；（Ⅱ）由（I）知，切線l的方程為，令y=2，得x=，故切線l與線段AB交點為F（），令x=2，得y=，故切線l與線段BC交點為G（）．地塊OABC在切線l右上部分為三角形FBG，如圖，設(shè)其面積為f（t），∴==（0＜t＜2）．，∴當(dāng)t∈（0，）時，f′（t）＞0，f（t）為單調(diào)增函數(shù)，當(dāng)t∈時，f′（t）＜0，f（t）為單調(diào)減函數(shù)．∴當(dāng)t=時，f（t）的極大值（最大值）為．∴當(dāng)點M到邊OA距離為米時，地塊OABC在直路l不含游泳池那側(cè)的面積最大，最大值為平方米．略21.（本小題滿分12分）已知向量，其中，記函數(shù)，已知的最小正周期為.（Ⅰ）求；（Ⅱ）當(dāng)時，試求的值域．參考答案：(Ⅰ)==.

∵

，∴

，

∴=1；

(Ⅱ)由(1)，得，∵

，∴

.∴

的值域．

22.當(dāng)前全世界人民越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題，某地某監(jiān)測站點于2018年8月起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表：空氣質(zhì)量指數(shù)（μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]空氣質(zhì)量等級優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105

（1）根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖；（2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為[0，50]和（50，100]的監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取6天，從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣質(zhì)量等級都為良”發(fā)生的概率。參考答案：（1）見解析（2）平均數(shù)為95，中位數(shù)為（3）【分析】（1）由頻率分布表求出n，m，由此能完成頻率分布直方圖．

（2）由頻率分布直方圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)．（3）由題意知在空氣質(zhì)量指數(shù)為[0，50]和（50，100]的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取2天和4天．在所抽取的6天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為[0，50]的2天記為x，y，空氣質(zhì)量指數(shù)為（50，100]的4天記為a，b，c，d，從中任取2天，利用列舉法能求出事件A“兩天空氣質(zhì)量等級都為良”發(fā)生的概率．【詳解】（1）.∵，.∴n=100.∴20+40+m+10+5=100.∴m=25;;;，由此完成頻率分布直方圖如圖.（2）.由頻率分布直方圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，∵[0，50]的頻率為0.004×50=0.2，（50，100]的頻率為0.008×50=0.4，∴中位數(shù)為（3）.由題意知在空氣質(zhì)量指數(shù)為[0，50]和（50，100]的監(jiān)測