2020年中考數學壓軸題突破專題5-二次函數與線段和角的數量關系問題

2020年中考數學大題狂練之壓軸大題突破培優(yōu)練

專題05二次函數與線段和角的數量關系問題

1.（2019年宿遷28題）

2.（2019年鹽城27題）

3.（2018年常州28題）

(―【真題再現】e4.（2019年蘇州28題）

5.（2018年無錫28題）

（年蘇州題）

二次函數與線段和角的數量6.201728

題組一4道

關系問題

題組二4道

題組三4道

—【專項突破】c題蛆四4道

題組五4道

題組六4道

【真題再現】

1.（2019年宿遷28題）如圖，拋物線片解+6x+c交x軸于46兩點，其中點/坐標

為（1,0）,與P軸交于點C（0,-3）.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖①，連接4C,點P在拋物線上，且滿足N〃8=2^ACO.求點P的坐標；

（3）如圖②，點Q為x軸下方拋物線上任意一點，點。是拋物線對稱軸與x軸的交點，

直線AQ,8Q分別交拋物線的對稱軸于點MN.請問。例+0/V是否為定值？如果是，

請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

2.（2019年鹽城27題）如圖所示，二次函數片攵（x-1）2+2的圖象與一次函數y=kx

-42的圖象交于48兩點，點8在點力的右側，直線48分別與X、y軸交于CD

兩點，其中攵＜0.

（1）求48兩點的橫坐標；

（2）若△048是以04為腰的等腰三角形，求〃的值；

（3）二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點E,是否存在實數攵，使得

若存在，求出〃的值；若不存在，說明理由.

3.(2018年常州28題)如圖，二次函數y=-^x-+bx+2的圖象與x軸交于點4B,

與y軸交于點C,點力的坐標為(-4,0),。是拋物線上一點(點。與點AB、。不

重合).

(1)b=,點8的坐標是;

(2)設直線須與直線2C相交于點M,是否存在這樣的點P,使得PM:MB=1:2?

若存在，求出點。的橫坐標；若不存在，請說明理由；

4.(2019年蘇州28題)如圖①，拋物線y=-/+(a+1)x-a與x軸交于4,6兩點(點

力位于點6的左側),與p軸交于點C.已知6c的面積是6.

(1)求a的值；

(2)求4/8C外接圓圓心的坐標；

(3)如圖②，。是拋物線上一點，Q為射線CA上一點，且P、Q兩點均在第三象限內,

Q2是位于直線8。同側的不同兩點，若點。到x軸的距離為d,△Q回的面積為2d,

2

5.(2018年無錫28題)已知：如圖，一次函數y=kx-1的圖象經過點A(3娼，

>0),與y軸交于點B.點C在線段Z8上，且BC=2/C,過點。作x軸的垂線，垂足

為點D.若AC=CD.

(1)求這個一次函數的表達式；

(2)已知一開口向下、以直線。為對稱軸的拋物線經過點力，它的頂點為P,若過點

。且垂直于2。的直線與x軸的交點為Q(-孽，0),求這條拋物線的函數表達式.

6.(2017年蘇州28題)如圖，二次函數片x2+bx+c的圖象與x軸交于43兩點，與

JZ軸交于點c,OB=0c.點。在函數圖象上，G9IIX軸，且。=2,直線/是拋物線

的對稱軸，￡是拋物線的頂點.

(1)求6、c的值；

(2)如圖①，連接線段OC上的點尸關于直線/的對稱點尸恰好在線段BE上,求

點下的坐標；

(3)如圖②，動點P在線段。8上，過點。作x軸的垂線分別與8c交于點M,與拋

物線交于點/V.試問：拋物線上是否存在點Q，使得APQ/V與A/P例的面積相等，且線

段/VQ的長度最??？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由.

【專項突破】

【題組一】

1.(2020?無錫模擬)如圖，已知二次函數片a*-2ax+c(a<0)的圖象交x軸于4B

兩點，交y軸于點C.過點/的直線片依+2〃(后0)與這個二次函數的圖象的另一個

交點為F,與該圖象的對稱軸交于點E,與y軸交于點D,且DE=EF.

(1)求點Z的坐標；

(2)若△8。尸的面積為12,求這個二次函數的關系式；

3

(3)設二次函數的頂點為P,連接PF,PC,若“PF=2乙DAB.求此時二次函數的表

達式.

2.(2020?鎮(zhèn)江模擬)如圖，在平面直角坐標系中，一次函數片;x-2的圖象分別交x、y

軸于點4B,拋物線y=g+bx+c經過點48,點戶為第四象限內拋物線上的一個動

點.

(1)求此拋物線對應的函數表達式；

(2)如圖1所示，過點P作PMWy軸，分別交直線AB,x軸于點C、D,若以點P、B、

C為頂點的三角形與以點AC。為頂點的三角形相似，求點P的坐標；

(3)如圖2所示，過點。作PQ_L/8于點Q,連接PB,當△在8Q中有某個角的度數等

于N048度數的2倍時，請直接寫出點P的橫坐標.

3.(2020?濱湖區(qū)模擬)已知二次函數片aMamx(0)的對稱軸與x軸交于點B,

與直線/：片交于點C,點4是該二次函數圖象與直線/在第二象限的交點，點D

是拋物線的頂點，已知ZU：1:2,/。。8=45°,的面積為2.

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)若點。為拋物線對稱軸上的一個點，且NQOC=45°,求點。坐標.

4

X

4.(2020?營口模擬)如圖1,拋物線片-*+mx+n交x軸于點4(-2,0)和點8,

交P軸于點C0,2).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)若點例在拋物線上，且S，AOM=2S，BOC,求點例的坐標；

(3)如圖2,設點/V是線段2C上的一動點，作0MLX軸，交拋物線于點D,求線段

O/V長度的最大值.

5.(2019?梁溪區(qū)校級二模)已知，在平面直角坐標系中，直線/與y軸相交于點2(0,

m),其中0,與x軸相交于點8(4,0).拋物線y=a*+6x(a/0)經過點B,它

與直線/相交于另一點C.

(1)若47:8c=1:3,求a的值(用含6的代數式表示)；

(2)在(1)的條件下，若拋物線的頂點為，其對稱軸與直線/和x軸分別相交于點D、

巳當以月C、。為頂點的三角開鄉(xiāng)與△8月?相似時，求拋物線的函數表達式.

Ay

6.(2019?邛江區(qū)校級二模)如圖，拋物線y=a*+3x+c(a<0)與x軸交于點2和點B

(點2在原點的左側，點8在原點的右側)，與y軸交于點C,OB=OC=4.

(1)求該拋物線的函數解析式.

(2)如圖1,連接BC,點、。是直線8c上方拋物線上的點，連接OD,CD.OD交BC

于點F,當S.COF-.S.CDF=A：3時，求點。的坐標.

5

(3)如圖2,點￡的坐標為(0,-2),點戶是拋物線上的點，連接EB,PB,外形成

的中，是否存在點P,座乙PBE或乙PEB等于2/OBE?若存在，請直接寫出符合條

7.(2019?靖江市校級一模)如圖，拋物線y=m*-16mx+48m(0)與x軸交于/,

8兩點(點8在點/左側)，與y軸交于點C,點。是拋物線上的一個動點，且位于第

四象限，連接OD、BD、/C，延長力。交y軸于點E.

(1)若△O4c為等腰直角三角形，求。的值；

(2)若對任意6>0,C￡兩點總關于原點對稱，求點。的坐標(用含6的式子表示)；

(3)當點。運動到某一位置時，恰好使得,且點。為線段力￡的中點.

①求m的值；

②此時對于該拋物線上任意一點。(的，次)總有計彳2-4卷2/=-12V3y0-50成

立，求實數〃的最小值.

8.(2019?姑蘇區(qū)校級二模)已知拋物線經過點力(-1,0).點8(3,01點0(0,3),

點。為拋物線在第一象限內圖象上一動點,連接AD,交y軸于點E,將點。關于線段

力。作軸對稱，對稱點為C,連接.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1如果點C落在x軸，求點￡坐標；

(3)如圖2,連接力CBC,BC與交于點F,拖動點D，點C落在第四象限，作

FGWAC,交*軸于點M,交/C于點G,若"GF=90°,求點例的橫坐標.

6

【題組三】

9.(2019?宿豫區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax^+bx+c^x軸交于A

(-1,018(3,0)兩點，且拋物線經過點。(2,3).

(1)求這條拋物線的表達式；

(2)將該拋物線向下平移，使得新拋物線的頂點G在x軸上.原拋物線上一點用平移

后的對應點為點/V,如果例/V是以例/V為底邊的等腰三角形，求點/V的坐標；

(3)若點P為拋物線上第一象限內的動點，過點8作BE1.OP,垂足為E,點Q為y

軸上的一個動點，連接QE、Q。，試求QF+Q。的最小值.

10.(2019?灌南縣二模)如圖，在平面直角坐標系中，二次函數片研+如行的圖象經

過點/(-1,0)2,0),與y軸交于點B,其對稱軸與x軸交于點D

(1)求二次函數的表達式及其頂點坐標；

(2)A4(s,t)為拋物線對稱軸上的一個動點，

①若平面內存在點/V,使得4B、M、/V為頂點的四邊形為矩形，直接寫出點〃的坐

標；

②連接MA.MB,若/2例8不小于60°,求f的取值范圍.

7

11.(2019?潤州區(qū)二模)如圖，已知二次函數片a/+6x+c(a/0)的圖象與直線Z6相

交，與x軸、y軸交于/(2,0)風0,2物.

(1)求點。關于的對稱點P的坐標；

(2)若點。在二次函數y=a^+bx+c{a，0)的圖象上，求二次函數y=a^+bx+c{a

聲0)的關系式.

(3)在(2)的條件下，在A/18P內存在點例，使得例4+例8+校的值最小，則相應

點例的坐標為.

12.(2019?洪澤區(qū)二模)如圖，拋物線y=ag+6x+5經過4(1,0)和6(5,0),與y

軸交于點C點為點。，連接6c,8。.點P是拋物線對稱軸上的一個動點

(1)3=,b;

(2)若48=90°,求點P的坐標；

(3)是否存在點P,使得以P、D、8為頂點的三角形中有兩個內角的和等于N/8C?若

存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.

(4)如圖②，拋物線對稱軸交x軸于點E,設N6OF的度數為a，點例是線段力上動

點，作射線/例，將/例繞/點逆時針旋轉2a度，旋轉后的射線交直線BC與點N,

請直接寫出例/V的最小值.(直接寫出結果)

圖①備用圖圖②

8

【題組四】

13.（2019?高港區(qū)三模）定義：兩條長度相等，且它們所在的直線互相垂直，我們稱這兩

條線段互為等垂線段.如圖①，直線片2x+4與x軸交于點4與y軸交于點B.

（1）若線段28與線段8c互為等垂線段.求4&C的坐標.

（2）如圖②，點D是反比例函數片-:的圖象上任意一點，點。，1）,線段。￡

與線段26互為等垂線段，求機的值；

（3）拋物線y=a*+bx+c（a/0）經過48兩點.

①用含a的代數式表示b.

②點。為平面直角坐標系內的一點，在拋物線上存在點Q,使得線段”與線段26互

為等垂線段，且它們互相平分，請直接寫出滿足上述條件的a值.

14.（2019?丹陽市一模）如圖（1）,二次函數y=8/2-bx（左0）的圖象與x軸、直線y

（2連接28點。是拋物線上一點異于點Z）目乙PBO=4OBA求點P的坐標；

（3）如圖（2）,點C。是線段。8上的動點，且CD=2y[2.設點C的橫坐標為m.

①過點U。分別作x軸的垂線，與拋物線相交于點月連接匕.當C尸取得最

大值時，求m的值并判斷四邊形?！晔男螤?；

②連接/CAD,求m為何值時，ZC+Z。取得最小值，并求出這個最小值.

15.（2019?建湖縣二模）如圖，二次函數片a/-3ax+c的圖象與x軸交于點48,與

P軸交于點C直線y=-x+4經過點B、C.

9

(1)求拋物線的表達式；

(2)過點力的直線交拋物線于點M,交直線8c于點N.

①點/V位于x軸上方時，是否存在這樣的點M，使得AM:NM=5:3?若存在，求出

點例的坐標；若不存在，請說明理由.

②連接AC,當直線力例與直線8c的夾角N2/V8等于N/IC8的2倍時，請求出點例的

16.(2019?無錫二模)已知，如圖，二次函數片aMax-3a(a>0)圖象的頂點為C

與x軸交于48兩點(點/在點8左側)，點C8關于過點力的直線/:片八百對

稱.

(1)求48兩點坐標及直線/的解析式；

(2)求二次函數解析式；

(3)如圖2,過點8作直線8OII2C交直線/于。點，M、/V分別為直線2C和直線/

上的兩動點，連接。V,NM、MD,求。的坐標并直接寫出C7V+/V"+/U7。的最小值.

【題組五】

17.(2019?興化市二模)已知，關于x的二次函數片a於-2ax(a>0)的頂點為C,與

*軸交于點。、4關于x的一次函數片-ax(a>0).

(1)試說明點C在一次函數的圖象上；

(2)若兩個點(Z,乂1(Z+2,度)(攵聲0,±2)者B在二次函數的圖象上，是否存在整

數k,滿足土+—=—?如果存在，請求出〃的值；如果不存在，請說明理由；

y±y26a

(3)若點￡是二次函數圖象上一動點，F點的橫坐標是〃，且-,過點F作

軸的平行線，與一次函數圖象交于點尸，當0<342時，求線段用的最大值.

18.(2019?清江浦區(qū)一模)如圖，拋物線y=a^+bx+4(/0)與x軸交于點8(-3,0)

和C(4,0)與y軸交于點力.

10

(1)a=,b=;

(2)點例從點/出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿向8運動，同時，點/V從點B

出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿8c向C運動，當點例到達8點時，兩點停止運動.t

為何值時，以&M、/V為頂點的三角形是等腰三角形？

(3)點。是第一象限拋物線上的一點，若8。恰好平分N/8U,請直接寫出此時點。的

19.(2019?常州一模)如圖,在平面直角坐標系X。中，直線/:片收+6交y軸于點C,

與拋物線片交于點2(4,018(+，-羊).

(1)直線/的表達式為：,拋物線的表達式為：；

(2)若點。是二次函數片6*在第四象限內的圖象上的一點，且2S，.APB=S.AOB,

求A/OQ的面積；

(3)若點Q是二次函數圖象上一點，設點Q到直線/的距離為d,到拋物線的對稱軸

20.(2019?東臺市模擬)如圖，拋物線片a*+bx+3的圖象經過點41,0),8(3,0),

交y軸于點C,頂點是D.

(1)求拋物線的表達式和頂點。的坐標；

(2)在x軸上取點尸，在拋物線上取點F,使以點CD、E、尸為頂點的四邊形是平行

四邊形，求點￡的坐標；

(3)將此拋物線沿著過點(0,2)且垂直于p軸的直線翻折，￡為所得新拋物線x軸上

方一動點，過日乍*軸的垂線，交x軸于G,交直線/:片-%-1于點尸，以EF為直

徑作圓在直線/上截得弦MN,求弦例/V長度的最大值.

II

21.(2019?昆山市二模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線片ax^+bx+c(左0)交x

軸于點4(2,0),8(-3,0),交y軸于點C,且經過點。(-6,-6),連接力。，

BD.

(1)求該拋物線的函數關系式；

(2)若點M為X軸上方的拋物線上一點，能否在點/左側的x軸上找到另一點N,使

得AZ例/V與相似？若相似，請求出此時點M、點/V的坐標；若不存在,請說明

理由；

(3)若點。是直線2。上方的拋物線上一動點(不與4。重合)，過點。作PQ\\y軸

交直線2。于點Q,以QQ為直徑作0M則OF在直線2。上所截得的線段長度的最大

2)+6(a,m,6為常數，齊0,加＜0)交于48兩點，直線分交x軸交于點C.點

2的坐標為(6+2,〃).

(1)若*-1,m=-3,則/的坐標為,b=，點8的坐標為；

(2)已知點例(0,-4),/V(3,-4),拋物線4與線段例/V有兩個公共點，求a的

取值范圍；

(3)①如圖1,求證：28=3，右；

②如圖2,設拋物線頂點為F,直線6交拋物線的對稱軸于點。，直線6:V=2am(x

-2)+d(d為常數，流0)經過點4并交拋物線的對稱軸于點E,若乙BFD=p^AED

12

(P為常數),則夕的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出夕的值；若變化，請說明理由.

23.(2019?銅山區(qū)二模)已知，如圖，二次函數y=aM+bx+c圖象交x軸于A[-1,0),

交y軸于點C(0,3),。是拋物線的頂點，對稱軸DF經過x軸上的點A(l,0).

(1)求二次函數關系式；

(2)對稱軸DF與8c交于點例，點P為對稱軸。尸上一動點.

①求W也的最小值及取得最小值時點P的坐標；

②在①的條件下，把“外沿著x軸向右平移f個單位長度(04仁4)時，設△力外與△

例8尸重疊部分面積記為5,求S與f之間的函數表達式，并求出S的最大值.

24.(2019?靖江市一模)如圖1,將拋物線p=a/(a<0平移到頂點例恰好落在直線y

=x+3上，且拋物線過直線與p軸的交點2,設此時拋物線頂點的橫坐標為6(加>0).

(1)用含m的代數式表示a;

(2)如圖2,RtC“與拋物線交于CD、7■三點,N8=90°,軸,CD=2.BD

=t.BT=2t,△7Z?C的面積為4.

①求拋物線方程；

②如圖3，。為拋物線力例段上任一點，Q(0,4),連結QQ并延長交線段/例于N,

求也的最大值.

13

參考答案

【真題再現】

1.(2019年宿遷28題)如圖，拋物線片*+bx+c交x軸于48兩點，其中點2坐標

為(1,0),與N軸交于點。0,-3).

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖①，連接ZC,點戶在拋物線上，且滿足N外8=2^ACO.求點P的坐標；

(3)如圖②，點Q為x軸下方拋物線上任意一點，點。是拋物線對稱軸與x軸的交點，

直線AQ,6Q分別交拋物線的對稱軸于點M、N.請問。例+O/V是否為定值？如果是，

請求出這個定值；如果不是，請說明理由.

【分析】(1)把點4。坐標代入拋物線解析式即求得hc的值.

(2)點P可以在x軸上方或下方，需分類討論.①若點P在x軸下方，延長ZP到H.

使AH=48構造等腰“6”，作BH中點、G,即有工外8=2乙BAG=,利用

的三角函數值，求BG、8〃的長，進而求得〃的坐標，求得直線力"的解析式后與拋物

線解析式聯立，即求出點夕坐標.②若點戶在x軸上方，根據對稱性，ZP一定經過點H

關于x軸的對稱點H，求得直線/”的解析式后與拋物線解析式聯立，即求出點戶坐標.

(3)設點Q橫坐標為t,用f表示直線ZQ、8/V的解析式，把x=-1分別代入即求得

點M、/V的縱坐標，再求DM、O/V的長，即得到。例+ZW為定值.

【解析】(1),.拋物線片g+bx+c經過點/(I,0),C(0,-3)

,fl+b+c=0解得.(b=2

,l0+0+c=-3群行?Ic=-3

，拋物線的函數表達式為y=*2+2x-3

14

(2)①若點P在x軸下方，如圖1,

延長/P至11〃，使28,過點8作8/l.x軸，連接6A,作6”中點G,連接并延長

力G交8/于點F,過點〃作HLLBI于點I

?.?當/+2x-3=0，解彳導：刖=-3,x2=l

：.B(-3,0)

M(l,0),C(0,-3)

.'.(9/4=1,OC=3,AC^Vl:+3:=vTO,28=4

.?.RtA/IOC中,sinz/COz第=￡,cosz/CCt=哈

：AB=AH,G為BH中點、

：.AGrBH,BG=GH

：.^BAG=z.HAG,即n必18=2NHIG

:APAB=2AACO

“BAG=/.ACO

「.RtA/8G中，乙AGB=90°,s\^BAG=器=愕

.3等油引

:.BH=2BG=^~

.ZHBI+4ABG=4ABG+乙BAG=90°

：.4HBI=LBAG=/.ACO

二*84■中，乙BIH=90°,s\n乙HBI=第=黑，cosaHBI=黑=當黑

on1Uon1U

.LIT—、1./?/_/yRT-3'I°12

,HL而BH=5/-y

一0411,12日門51112x

?XH=_3+可=_5,yHz=--y,即H(一號,--y)

設直線力〃解析式為

z3

k第fk=-

K4

123

i-5I-

ka=-4

，直線4片指代；

,33

-X-=

-4-4解得卷：;(即點/),產

lyr-

JX2+

/==-16

9

%-39-

-4-

16

②若點P在x軸上方，如圖2,

15

在2。上截取AH=AH,則H與H關于x軸對稱

。5

設直線解析式為y=Kx+3

k'+a'=0

11.,,,12解得：.

-Tk+a=T

33

-戶-

.?直線:y=44

33

--

4■X——■

4-解得：(即點/)，?

X二+

2X*=正

57

戶z

(-154--

\16

綜上所述,點。的坐標為(一］,-相)或(一學，二).

410416

(3)+￡W為定值

??拋物線y=Mx-3的對稱軸為：直線x=-1

--D(*1,0),XM=XN=~1

設Q(匕^+2f-3)(-3<f<l)

設直線4Q解析式為y=dx+e

.fd+e=。解得.fd=t+3

"l-dt+e=t:+2t-3解信.le=-t-3

，直線ZQ:%(t+3)x-t-3

當x=-1時，yM=-t-3-t-3=-2t-6

:.DM=。-(-2f-6)=2f+6

設直線3Q解析式為片mx+n

.+n=0解得.pn=t-l

"Imt+n=t=+2t-3畔何，1”=3t-3

，直線6Q:y=(?-1)x+3t-3

當x--1時，yN--f+l+3f-3=2f-2

：.DN=Q-(2b2)=-2t+2

:.DM+DN=2t+^+(-2t+2)=8,為定值.

16

點睛：本題考查了求二次函數解析式、求一次函數解析式，解一元二次方程、二元一次

方程組，等腰三角形的性質,三角函數的應用.第(2)題由于不確定點P位置需分類討

論；(2)(3)計算量較大，應認真理清線段之間的關系再進行計算.

2.(2019年鹽城27題)如圖所示，二次函數片Z(x-1)2+2的圖象與一次函數y=kx

-k+2的圖象交于46兩點，點8在點Z的右側，直線分別與x、y軸交于C、D

兩點，其中攵＜0.

(1)求A8兩點的橫坐標；

(2)若△38是以04為腰的等腰三角形，求攵的值；

(3)二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點E,是否存在實數k,使得2^BEC,

若存在，求出女的值；若不存在，說明理由.

【分析】(1)將二次函數與一次函數聯立得：Z(x-1)2+2=取-Z+2,即可求解；

(2)分。4=/氏OA=兩種情況，求解即可；

(3)求出m=-a-H+1,在“HM中,tana=喘=駕=kZk「+1=tanz

BEC=等=%+2,即可求解.

【解析】(1)將二次函數與一次函數聯立得：攵(x-1)2+2=依-Z+2,

解得：x=l和2,

故點48的坐標橫坐標分別為1和2;

(2)04=^2=+1=再，

①當=時，

即：1+々2=5,解得：攵=±2(舍去2);

②當時，

4+(《+2)2=5,解得：Z=-1或-3;

17

故攵的值為：-1或-2或-3;

(3)存在，理由：

①當點6在x軸上方時，

過點8作BHLAE于彘H,將A/班的圖形放大見右側圖形，

過點力作NH48的角平分線交BH于氤M,過點例作MN1AB于點N,過點6作BK

■LX軸于點K,

圖中：點/(1,2\點8(2,〃+2),則AH=-k,HB=1,

設:HM=m=MN,貝!!BM=1-m,

則AN=AH=-k,AB=v'PTl,NB=AB-AN,

由勾股定理得：Ma=NB^+MNi,

gp:(1-/77)2=/n2+(Vk-+1+〃)2,

解得:m=-a-k\kz+1,

在A//7/V/中，tanot==-7—k+\k-+1=tanz5￡C==k+2,

解得：k=±y/3,

此時〃+2>0,貝!I-2<〃<0,故：舍去正值，

故k=-\3;

②當點8在x軸下方時，

同理可得：tana==4=/c+\kz+1—tar\z.BEC==—(k+2),

解得：k=——或------，

J3

—4+\」7

此時k+2<0,k<-2,故舍去------，

3

故4的值為：-V3■或土土.

3

點睛：本題為二次函數綜合應用題，涉及到一次函數、解直角三角形的知識，其中(3),

通過tan2a求出tana,是此類題目求解的一般方法.

3.(2018年常州28題)如圖，二次函數y=-|x=+bx+2的圖象與x軸交于點4B,

與y軸交于點C點4的坐標為(-4,0)，戶是拋物線上一點(點P與點48、C不

重合).

18

s3

（1）b=_二J，點6的坐標是（亍0）；

（2）設直線須與直線ZC相交于點M,是否存在這樣的點P，使得PM:MB=1:2?

若存在，求出點。的橫坐標；若不存在，請說明理由；

【分析】（1）由點力的坐標，利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出b的值，代入y

=0求出x值，進而可得出點6的坐標；

（2）（解法一）代入x=0求出/直，進而可得出點C的坐標,由點4C的坐標利用待

定系數法可求出直線/C的解析式，假設存在，設點例的坐標為（m,-m2），分所

2+

。在直線ZC的同側和異側兩種情況考慮，由點B、例的坐標結合PM:MB=1:2即可

得出點。的坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出關于"的一元二次方程，

解之即可得出結論；

（解法二）代入x=0求出y值，進而可得出點C的坐標，由點4。的坐標利用待定系

數法可求出直線力。的解析式，過點8作BBII"軸交直線/C于點B,過點。作PPIIy

軸交直線ZC于點P,由點8的坐標可得出83的值，結合相似三角形的性質可得出PP

的值，設點。的坐標為（x,-*-|x+2）,則點『的坐標為（X,、+2）,結合物的

值可得出關于x的含絕對值符號的一元二次方程，解之即可得出結論；

（3）（解法一）作/C必的角平分線，交y軸于點E,過點日乍于點F,設OE

OC1OE

=〃，貝!!％=2-〃，￡尸=〃，利用面積法可求出〃值，進而可得出一=-=一，結合

OA2OB

AAOC=90°=zBOE可證出A/OG△BOE,根據相似三角形的性質可得出Nz

EBO,再根據角平分線的性質可得出NC8/=2NF8O=2NC48,此題得解；

（解法二）將交沿_/軸對折，交*軸于點B,根據點4B、。的坐標可得出點夕的坐

標，進而可得出AB=BC=8C,根據等腰三角形的性質結合三角形的外角性質，可得出

^CBA=2ACAB.

【解析】（1）??點2（-4,0）在二次函數片-打+bx+2的圖象上，

.?.-學-46+2=0,

5

:.b=

6.

19

3

得

解4

熱=-

2

3

為(/-o

X2,

53

-(z-O

故答案為：6\2

（2）（方；4-）當*=0時,六一如一22=2,

.?點C的坐標為（0,2）.

設直線ZC的解析式為片kx+c（后0）,

將Z（-4,01U0,2）代入y=〃x+c中，

得：段…%解得：｛"='

，直線力。的解析式為片4+2.

假設存在，設點例的坐標為（m尸m+2）.

2

323

①當點P、8在直線/C的異側時，點戶的坐標為（-6-梳，-6+3）,

..點。在拋物線片-1*+2上，

33533

--?\2---

,-^7+3=-XX247624

43

整理，得：12/772+20/77+9=0.

?"=202-4x12x9=-32<0,

G切

\P)

BX

圖1

.??方程無解,即不存在符合題意得點P\

121

②當點P、8在直線女的同側時,點P的坐標為（”+1）,

?.點P在拋物線片-p-京+2上,

3513

-11,--)x2-X(z--X+2

：-m+l=-xx(-m-476\9777H-47

43'2

整理，得：4/772+44777-9=0,

20

旃汨.i11+>130g-ll+、130

蜘導.m=------5—,02=----------------,

.??點。的橫坐標為-2-芋或-2+零.

綜上所述：存在點P,使得PM:MB=1：2,點。的橫坐標為-2-芋或-2+芋.

44

（方法二）當x=0時,六一家一22=2,

，點C的坐標為（0,2）.

設直線女的解析式為片kx+c（笈0）,

將，（-4,0）、0（0,2）代入片以+c中，

得：｛/"c=%解得：卜

，直線ZC的解析式為六裊+2.

過點8作BBIIp軸交直線ZC于點B,過點。作PPIIy軸交直線ZC于點?，如圖1

二點8的坐標為（三，2），

24

:.BB=4.

:BBWPP,

,,QPPMiBBM,

PPfPM1

,BBr一BM-2'

：PP=T-

設點P的坐標為（x,-#-22）,則點戶的坐標為（x,子+2）,

14n

--M=-

238

粵

理

解得22

-4及-+

21

.?存在點P，使得PM:MB=1:2,點戶的橫坐標為-2-挈或-2+苧.

（3）（解法一）ACBA=2乙CAB,理由如下：

作NC8Z的角平分線，交y軸于點F,過點E作EF^BC于點尸，如圖2所

?.點8（m，0）,點。（0,2）,

2

:.OB="OC=2,BC=I，

設OE=〃，則C￡=2-〃，￡尸=〃，

113q

由面積法，可知：-。89=初百,即-（2-〃）=初,

222N

解得：〃=

0C10E

-：—=一=—,"。。=90°=/8。￡,

0A20B

:QAOCSABOE,

：.z.CAO-Z.EBO,

：.^CBA=2AEBO=2/CAB.

（解法二）/的=2NC46,理由如下：

將8。沿y軸對折，交x軸于點8,如圖3所示.

?.點8（］。），點。。，2）,點5-4,。）,

3

點6-

2