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絕密★啟用前
2021年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)試卷(理科)
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;如需改動(dòng),用
橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在試卷上無(wú)效。
3.考試結(jié)束后,本試卷和答題卡一并交回。
第I卷(選擇題)
一、單選題(本大題共11小題,共55.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))
1.設(shè)集合M={x|0<x<4},N={x\^<x<5],則MCiN=()
A.{x|0<x<B,{x||<x<4}C.{x|4<x<5)D.{x|0<%<5}
2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)
查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:
A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%
B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%
C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元
D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù),其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間
3.已知(l-i)2z=3+2i,則z=()
A.-1-|tB.-1+|iC.-|+iD.-|-i
4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小
數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L=5+切匕己知某同
學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為CVIUz1259)()
A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6
5.已知Fi,F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且4F1PF2=60。,|PFi|=3|PF2|,則C的
離心率為()
A.yB.苧C.V7D.V13
6.等比數(shù)列{斯}的公比為q,前n項(xiàng)和為無(wú).設(shè)甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則()
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
7.2020年12月8日,中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高A
程為8848.86(單位:m),三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之
一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有4B,C三點(diǎn),且/:\
A,B,C在同一水平面上的投影4,B',C'滿(mǎn)足NA'C'B'=45。,/
乙4'B'C'=60。.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15。,與CC'的差為100;CZ-一二
由B點(diǎn)測(cè)得4點(diǎn)的仰角為45。,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度C^------B,
差A(yù)4'-CC'約為(遮?1732)()
A.346B.373C.446D.473
8.若?!?0工),tan2a=,則£即仇=()
A.更B.在C.在D.史
15533
9.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為()
A.1B.|C.|D.I
10.已知A,B,。是半徑為1的球0的球面上的三個(gè)點(diǎn),且4C1BC,AC=BC=1,則三棱錐
0-48。的體積為()
11.設(shè)函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镽,/Q+1)為奇函數(shù),f(x+2)為偶函數(shù),當(dāng)%e[1,2]時(shí),/(x)=
。/+\若/(0)+/3)=6,則腐)=()
A.B.-|C.\D.|
第II卷(非選擇題)
二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)
12.曲線(xiàn)y=W在點(diǎn)(一1,一3)處的切線(xiàn)方程為.
13.已知向量N=(3,1),b=(1,0),Z=五+k及若“上春則k=.
14.已知篤,?2為橢圓C:胃+4=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且
164
\PQ\=IF1F2I,則四邊形P&QF2的面積為.
15.已知函數(shù)/(x)=2cos(a)%+0)的部分圖象,如圖所示,則滿(mǎn)足條件(/(%)-
〃一半))(/(%)-/(y))>0的最小正整數(shù)x為.
三、解答題(本大題共5小題,共60.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)
16.(本小題12.0分)
甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的
質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:
一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)
甲機(jī)床15050200
乙機(jī)床12080200
合計(jì)270130400
(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?
(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?
2
附.丫2二九(小加)
?人(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)
P(JC2>k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
17.(本小題12.0分)
已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),記又為{an}的前ri項(xiàng)和,從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,
證明另外一個(gè)成立.
①數(shù)列{斯}是等差數(shù)列;②數(shù)列{店}是等差數(shù)列;③02=3%.
注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分.
18.(本小題12.0分)
已知直三棱柱”。一力把心中,側(cè)面44道道為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和
的中點(diǎn),。為棱4當(dāng)上的點(diǎn),
(1)證明:BF1DE;
(2)當(dāng)&D為何值時(shí),面BBiGC與面DFE所成的二面角的正弦值最???
19.(本小題12.0分)
拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上,直線(xiàn)人工=1交。于。,Q兩點(diǎn),且OP_LOQ,已
知點(diǎn)M(2,0),且OM與/相切.
(1)求拋物線(xiàn)C,OM的方程;
(2)設(shè)4是拋物線(xiàn)C上的三個(gè)點(diǎn),直線(xiàn)為&,均與。M相切,判斷直線(xiàn)44與OM
的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
20.(本小題12.0分)
已知a>0且31,函數(shù)/'(X)=*x>0).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線(xiàn)y=/(%)與直線(xiàn)y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查了交集及其運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.
直接利用交集運(yùn)算求解.
【解答】
解:集合M={尤[0<無(wú)<4},N={x\^<x<5},則MnN={x[g<x<4},
故選:B.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,屬于中檔題.
利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法,通過(guò)求解頻率即可判斷選項(xiàng)A,B,D,利用平均值的計(jì)
算方法,即可判斷選項(xiàng)C.
【解答】
解:對(duì)于A,該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故選
項(xiàng)A正確;
對(duì)于8,該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為(0.04+0.02x3)x1=0.1=10%,
故選項(xiàng)B正確;
對(duì)于C,估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值為3X0.02+4x0.04+5X0.1+6X0.14+7x0.2+
8X0.2+9X0.1+10x0.1+11x0.04+12X0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5萬(wàn)元,
故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為(0.1+0.14+0.2+0.2)x1=0.64>0.5,
故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù),其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間,故選項(xiàng)。正確.
故選:C.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則的運(yùn)用,考查了運(yùn)
算能力,屬于基礎(chǔ)題.
利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.
【解答】
解:因?yàn)?l-i)2z=3+2i,
3+2i_3+2i_(3+2i)i_-2+3i一3.
所以z=(l-i)2--2i-—2-I+
故選:B.
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化問(wèn)題,也考查了運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.
把L=4.9代入L=5+/gU中,直接求解即可.
【解答】
解:在L=5+lgV中,L=4.9,
所以4.9=5+0%^IgV=-0.1,
解得V=l°-°'=質(zhì)=嬴”高‘08
所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.
故選:C.
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.
設(shè)出IP&I=3m,\PF2\=m,由雙曲線(xiàn)的定義可得m=a,再通過(guò)乙尸產(chǎn)約=60°,由余弦定理列
出方程,即可求解雙曲線(xiàn)的離心率.
【解答】
解:F1,尸2為雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn),P是C上的一點(diǎn),IPF1I=3|PF2l,
設(shè)|PFi|=3m,|尸61=小,由雙曲線(xiàn)的定義可得|Pa|-|PF2|=2m=2a,即zn=a,
所以|PFi|=3a,IPF2I=a,因?yàn)镹&PF2=60。,\FrF2\=2c,
所以4c2=9a24-a2—2x3axaxcos60°,整理得4c2=7a2,
所以e=-=
a2
故選:A.
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性,充分條件和必要條件,屬于中檔題.
根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和充分條件、必要條件的定義即可求出.
【解答】
解:若%=-1,q=l,則Sn=nai=-n,則{S.}是遞減數(shù)列,不滿(mǎn)足充分性;
當(dāng)q=l時(shí),{S"是遞增數(shù)列,且滿(mǎn)足q>0;
當(dāng)q¥1時(shí),
:Sn=言(1-勺”),
則Sn+i=£(l-qn+】),
Sn+1-S。=言⑷-q*l)=
若{S”}是遞增數(shù)列,
,e,S^+i—Sn=Qiq">0,
則%>0,q>0,
,滿(mǎn)足必要性,
故甲是乙的必要條件但不是充分條件,
故選:B.
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本題考查運(yùn)用正弦定理解決高度問(wèn)題,考查三角恒等變換.
過(guò)C作CH1BB'于-H,過(guò)B作144'于求出tan/BCH,sinz.C'A'B',進(jìn)而得出C'B',在△4'B'C'
中,由正弦定理得出49,進(jìn)而求出/L4'-CC'.
【解答】
A
解:過(guò)C作CH1BB'于H,過(guò)B作BM1/L4'于M,A
貝IJNBCH=15°,BH=100,Z.ABM=45°,CH=C'B',A'B'=BM=/;\
AM,BB'=MA',4CAE=75。/:\\
???tanzBC/7=tanl50=tan(45°—30°)/-i-***■
H
tan450-tan30°_?反I\
=1+t即45°£即30°=」-",C*匕二------------B'
sin750=sin(45°+30°)
=sin450cos300+cos45°sm30°=苧(苧+g)‘
則在RMBCH中,CH=.%=i°o(2+遮),
tanZBCH、/
C'B'=100(2+V3)
,t
在△4‘B'C‘中,由正弦定理知,A'B'=—CB,,-sin^A'C'B'=100(73+1).
sinZ-CAB
?-1/1M=100(73+1).
AA'-CC1=AM+BH=100(73+1)+100?373,
故選:B.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值,考查倍角公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
把等式左邊化切為弦,再展開(kāi)倍角公式,化簡(jiǎn)求解sina,進(jìn)一步求得cosa,再由商的關(guān)系可得tana
的值.
【解答】
tt-n/ncosazDsin2acosa
解:由tern2a=,得一丁=丁.,
2-sinacosZa2-sma
即2sinacosa_cosa
、l-2sin2a-2-sina'
???aE(0,)
???cosaH0,
1
=
則2sina(2—sina)=1—2sin2a,解得sina4-
則cosa=,l-sin2a=手,
故選:A.
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用,排列組合的應(yīng)用,對(duì)于不相鄰問(wèn)題,一般會(huì)運(yùn)用插空法進(jìn)
行求解,屬于基礎(chǔ)題.
分別計(jì)算出4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0不相鄰的種數(shù),然后由古典概型的概率公式
求解即可.
【解答】
解:4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,共有4=15種,
2個(gè)0不相鄰,先將4個(gè)1排成一行,再用插空法將2個(gè)0放入共有廢=10種,
故2個(gè)0不相鄰的概率為黑=|.
故選:C.
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本題考查了錐體外接球和錐體體積公式,解題的關(guān)鍵是確定△ABC所在圓的圓心的位置,屬于中
檔題.
先確定△ABC所在的截面圓的圓心Oi為斜邊4B的中點(diǎn),然后在Rt△ABC^Rt△40。1中,利用勾
股定理求出001,再利用錐體的體積公式求解即可.
【解答】
解:因?yàn)?c_LBC,AC=BC=1,
所以△4BC為等腰直角三角形,
所以△ABC所在的截面圓的圓心01為斜邊4B的中點(diǎn),
所以。011平面4BC,
在中,AB='JAC2+BC2=V2>則A。1=拳
在Rt△AO。]中,001=J。/一期=爭(zhēng)
故三棱錐0-ABC的體積為V=1?ShABC.OOi=;x;x1x1x4=
3132212
故選:A.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合應(yīng)用.
由己知得f(x)的周期為4,則展)=—f(|),由已知得f⑴=0,/(2)=—6,即可求出函數(shù)的解
析式,即可得解.
【解答】
解:因?yàn)?'(x+1)為奇函數(shù),
所以f(-x+l)=-f(x+l),
所以/(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱(chēng),則/(I)=0,
因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù),
所以J(T+2)=f(x+2),
所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2軸對(duì)稱(chēng).
由f(f+1)=-/(x+1),得+2)=-/(x),
所以f(x+2)=-/(%),
則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(%)的周期為4,
所以/?=/8)=—6|),
又因?yàn)閒(0)=-f(2),f(3)=f(l)=0,/(0)+/(3)=6,
所以f(l)-f(2)=6,則/(2)=-6,
因?yàn)楫?dāng)%6[1,2]時(shí),/(%)=ax2+b,
即用二解得/之
所以,當(dāng)%£[1,2]時(shí),/(%)=—2x2+2,
所以腐)=-f(|)=-(-2x[+2)=|.
故選。.
12.【答案】Sx-y+2=0
【解析】
【分析】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.
先求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線(xiàn)的斜率,再由點(diǎn)斜式即可求得切線(xiàn)方程.
【解答】
解:因?yàn)閥=量,(一1,—3)在曲線(xiàn)上,
2(x+2)-(2x-l)5
所以y'=
(x+2/-(X+2)2
所以y'lx=-i=5,
則曲線(xiàn)了=等在點(diǎn)(—1,一3)處的切線(xiàn)方程為:
y—(—3)=5[x—(-1)],即5%—y4-2=0.
故答案為:5%-y+2=0.
13.【答案】-y
【解析】
【分析】
利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,列出關(guān)于女的方程,求解即可.
本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,涉及了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì),平面向量垂直的坐標(biāo)表示,
考查了運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.
【解答】
解:因?yàn)橄蛄课?(3,1),3=(1,0),c=a+kb^
由有1c,
則方(a+fcK)=|a|2+fcah=324-l2+fc-(3xl+lx0)=10+3k=0>
解得k=一等
故答案為:-y.
14.【答案】8
【解析】
【分析】
本題主要考查橢圓的性質(zhì),橢圓的定義,考查方程思想與運(yùn)算求解能力.
判斷四邊形P&QF2為矩形,利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.
【解答】
解:因?yàn)镻,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且|PQ|=|F/2|,
所以四邊形PKQ&為矩形,
設(shè)|PF/=m,|PF2|=n,
由橢圓的定義可得|P&|+\PF2\=m+n=2a=8,
所以Hi?+2mn+n2=64,
因?yàn)閨PF/2+\PF\2=2=4c2=4(a2-b2)=48,
2\FXF2\
BPm2+n2=48,
所以mn=8.
所以四邊形PF1QF2的面積為IP&IIPF2I=mn=8.
故答案為:8.
15.【答案】2
【解析】
【分析】
本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.
利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.
【解答】
解:由題意可知,函數(shù)的周期為7=(等一勺+?=兀,
1Z54
所以3=普=生=2,
T7T
所以/(%)=2cos(2%+@),
因?yàn)?(等)=2cos(等+伊)=2,
所以苧+,=2兀+2時(shí)(卜6Z),
所以w=-—+2kn(kEZ),
所以/(%)=2cos(2%-5,所以/(—巧=2cos(-今一勺=2cosm=1,
04ZoD
/(y)=2cos停Y)=2cosy=0,
所以原式可化簡(jiǎn)為S(x)-1)-/(x)>0,
所以/(x)>1或f(x)<0,
所以2cos(2%-?)<0或2cos(2%-*)>1.
①當(dāng)2cos(2%一方<0時(shí),
得到5+2/CTT<2xV+2kn(k6Z),
解得/+ATTVxV著+kn(kGZ),
此種情況下正整數(shù)%的最小值為2.
②當(dāng)2cos(2%-^)>1,BPcos(2x-^)>機(jī)寸,
得到一l+2kn<2x-l<^+2kMkeZ),
解得-+解VXV、+k江也WZ)?
此種情況下正整數(shù)x的最小值為3.
綜上所述,正整數(shù)x的最小值為2.
故答案為2.
16.【答案】解:由題意,可得甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件,
因?yàn)榧椎囊患?jí)品的頻數(shù)為15。,所以甲的一級(jí)品的頻率為堪=|,
因?yàn)橐业囊患?jí)品的頻數(shù)為120,所以乙的一級(jí)品的頻率為擲=|;
n^ad-bc)2
(2)根據(jù)2x2列聯(lián)表,可得*2=
(a+by^+dy(a+c')(b+d)
400(150x80-50xl20)2
10.256>6.635-
270x130x200x200
所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
【解析】本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率中的獨(dú)立性檢驗(yàn),屬于基礎(chǔ)題.
(1)根據(jù)表格中統(tǒng)計(jì)可知甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)和頻數(shù),再求出頻率值即可:
(2)根據(jù)2x2列聯(lián)表,求出再將f的值與6.635比較,即可得出結(jié)論.
17.【答案】解:選擇①③為條件,②結(jié)論.
證明過(guò)程如下:
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
由題意可得:a?=%+d=3a1;d=2a1;
2
數(shù)列的前n項(xiàng)和:Sn=兀即+九(7)d=nai+"(7)x2a1=n^,
故~qSn-\=ny/a^—(n—l)V0i=Voi>
據(jù)此可得數(shù)列{店}是等差數(shù)列.
選擇①②為條件,③結(jié)論:
設(shè)數(shù)列{斯}的公差為d,貝ij:
+(a1+d)=J2al+d,=Ja[+(a1+d)+(%+2d)=J3(ai+d),
數(shù)歹弁店}為等差數(shù)列,則:醫(yī)+醫(yī)=2痣,
即:(7^7+J3(ai+d))2=(2J2al+d)2,整理可得:d=2ax,■.a2=aT+d=3ax.
選擇③②為條件,①結(jié)論:
由題意可得:52—%+a2=4a],[JS2=2,a1,
則數(shù)列{、/耳}的公差為d=yfS[—y[S[=
通項(xiàng)公式為:=yfs[+(n—l)d=nVoi>
據(jù)此可得,當(dāng)nN2時(shí),an=S;,-Sn_i=/的-(n-1)2al=(2n-1)的,
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為:an=(2n-1)%,
由即+i-即=[2(n+1)-1]?I-(2n-l)at=2%,可知數(shù)列{斯}是等差數(shù)列.
【解析】首先確定條件和結(jié)論,然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式證明結(jié)論即可.
本題主要考查等差數(shù)列的判定與證明,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等知識(shí),屬
于中等題.
18.【答案】(1)證明:連接4兄
E,F分別為直三棱柱ABC-&BiCi的棱4c和CG的中點(diǎn),且=BC=2,
CF=1,BF=V5)
;8尸J.4出,AB11A、B],
:.BF1AB,
AF=7AB2+B尸2_J22+忖=3,AC--CF2-V32-I2=2A/2>
.-.AC2=AB2+BC2,即B4_LBC,
故以B為原點(diǎn),BA,BC,BE1所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則4(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),£-(1,1,0),尸(0,2,1),
設(shè)則。(m,0,2),
BF=(0,2,1),DE=(1
:.BFDE=G,BPBF1DE.
(2)解:由(1)知:ABI平面BBiGC,
.??平面的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),
由(1)知,DE=(1-m,1,-2),EF=(-1,1,1).
設(shè)平面。EF的法向量為底=(x,y,z),
.(n;-'DE=0ai-m)x+y-2z=0
則怎.品=。'叫r+y+z=。,
令%=3,則、=巾+1,z=2—m,
?,?底=(3,m+1,2—m),
??.cos<4,而>=^^J
________________3______________
1x^9+(m+l)2+(2-m)2
_3_3
J2m2-2m+14拉瓶_y+等
.?.當(dāng)m時(shí),面BB】GC與面CFE所成的二面角的余弦值最大為浮此時(shí)正弦值最小為字
【解析】本題考查空間中線(xiàn)與線(xiàn)的垂直關(guān)系,二面角的求法,熟練掌握利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂
直和求二面角的方法是解題的關(guān)鍵,考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.
(1)連接AF,易知CF=1,BF=層,由BFlA/i=BF1AB,再利用勾股定理求得4F和AC的
長(zhǎng),從而證明B41BC,然后以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,證得前.屁=0,即可;
(2)易知平面BB1GC的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),求得平面DEF的法向量正,再由空間向量的數(shù)
3
量積可得COS<而,元>=[(mj)2+二,從而知當(dāng)巾=3時(shí),得解.
19.【答案】解:(1)因?yàn)橛?1與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
故可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為:y2=2px(p>0),
令x=L則曠=±J^,
根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性,不妨設(shè)P在x軸上方,Q在x軸下方,
故P(l,履),Q(L—履),
因?yàn)镺P10Q,故1+四x(-歷)=0=p=:,
拋物線(xiàn)C的方程為:y2=x,
因?yàn)?M與I相切,故其半徑為1,故。M:。-2)2+y2=1;
(2)設(shè)41apy1),A2(x2,y2)>^(不必),
當(dāng)4,A2,/其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)(假設(shè)占為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)),
設(shè)直線(xiàn)4遇2方程為此—y=0,
12kl_1
根據(jù)點(diǎn)M(2,0)到直線(xiàn)距離為1可得常j-1解得%=±浮
聯(lián)立直線(xiàn)A遇2與拋物線(xiàn)方程可得X=3,
此時(shí)直線(xiàn)為/與0M的位置關(guān)系為相切,
當(dāng)A2f4都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),即
直線(xiàn)
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