2021年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)試卷(理科)

絕密★啟用前

2021年全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)試卷（理科）

注意事項(xiàng):

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共11小題，共55.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.設(shè)集合M={x|0<x<4},N={x\^<x<5],則MCiN=（）

A.{x|0<x<B,{x||<x<4}C.{x|4<x<5）D.{x|0<%<5}

2.為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入的調(diào)

查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：

A.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%

B.該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%

C.估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元

D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間

3.已知(l-i)2z=3+2i,則z=()

A.-1-|tB.-1+|iC.-|+iD.-|-i

4.青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小

數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿(mǎn)足L=5+切匕己知某同

學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為CVIUz1259)()

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知Fi，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且4F1PF2=60。，|PFi|=3|PF2|,則C的

離心率為()

A.yB.苧C.V7D.V13

6.等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,前n項(xiàng)和為無(wú).設(shè)甲：q>0,乙:｛Sn｝是遞增數(shù)列，則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

7.2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高A

程為8848.86(單位：m),三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之

一.如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有4B,C三點(diǎn)，且/：\

A,B,C在同一水平面上的投影4,B',C'滿(mǎn)足NA'C'B'=45。，/

乙4'B'C'=60。.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15。，與CC'的差為100；CZ-一二

由B點(diǎn)測(cè)得4點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度C^------B，

差A(yù)4'-CC'約為(遮?1732)()

A.346B.373C.446D.473

8.若?！?0工)，tan2a=,則￡即仇=()

A.更B.在C.在D.史

15533

9.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為()

A.1B.|C.|D.I

10.已知A,B,。是半徑為1的球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且4C1BC,AC=BC=1,則三棱錐

0-48。的體積為()

11.設(shè)函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镽,/Q+1)為奇函數(shù)，f(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)％e[1,2]時(shí)，/(x)=

。/+\若/(0)+/3)=6,則腐)=()

A.B.-|C.\D.|

第II卷(非選擇題)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

12.曲線(xiàn)y=W在點(diǎn)(一1,一3)處的切線(xiàn)方程為.

13.已知向量N=(3,1),b=(1,0)，Z=五+k及若“上春則k=.

14.已知篤，?2為橢圓C：胃+4=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且

164

\PQ\=IF1F2I，則四邊形P&QF2的面積為.

15.已知函數(shù)/(x)=2cos(a)%+0)的部分圖象，如圖所示，則滿(mǎn)足條件(/(%)-

〃一半))(/(%)-/(y))>0的最小正整數(shù)x為.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.(本小題12.0分)

甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品，為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的

質(zhì)量，分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表：

一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)

甲機(jī)床15050200

乙機(jī)床12080200

合計(jì)270130400

(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少？

(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？

2

附.丫2二九(小加)

?人(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P（JC2>k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列｛an｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記又為｛an｝的前ri項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件,

證明另外一個(gè)成立.

①數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列；②數(shù)列｛店｝是等差數(shù)列；③02=3%.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題12.0分)

已知直三棱柱”。一力把心中，側(cè)面44道道為正方形，AB=BC=2,E,F分別為AC和

的中點(diǎn)，。為棱4當(dāng)上的點(diǎn)，

(1)證明：BF1DE；

(2)當(dāng)&D為何值時(shí)，面BBiGC與面DFE所成的二面角的正弦值最??？

19.(本小題12.0分)

拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在x軸上，直線(xiàn)人工=1交。于。，Q兩點(diǎn)，且OP_LOQ,已

知點(diǎn)M(2,0),且OM與/相切.

(1)求拋物線(xiàn)C,OM的方程；

(2)設(shè)4是拋物線(xiàn)C上的三個(gè)點(diǎn)，直線(xiàn)為&，均與。M相切，判斷直線(xiàn)44與OM

的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

20.(本小題12.0分)

已知a>0且31,函數(shù)/'(X)=*x>0).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若曲線(xiàn)y=/(%)與直線(xiàn)y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

直接利用交集運(yùn)算求解.

【解答】

解：集合M={尤[0<無(wú)<4},N={x\^<x<5},則MnN={x[g<x<4},

故選:B.

2.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于中檔題.

利用頻率分布直方圖中頻率的求解方法，通過(guò)求解頻率即可判斷選項(xiàng)A,B,D,利用平均值的計(jì)

算方法，即可判斷選項(xiàng)C.

【解答】

解：對(duì)于A,該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為(0.02+0.04)x1=0.06=6%,故選

項(xiàng)A正確；

對(duì)于8,該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率為(0.04+0.02x3)x1=0.1=10%,

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值為3X0.02+4x0.04+5X0.1+6X0.14+7x0.2+

8X0.2+9X0.1+10x0.1+11x0.04+12X0.02+13x0.02+14x0.02=7.68>6.5萬(wàn)元，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的頻率為(0.1+0.14+0.2+0.2)x1=0.64>0.5,

故估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間，故選項(xiàng)。正確.

故選：C.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，主要考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則的運(yùn)用，考查了運(yùn)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則以及除法的運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.

【解答】

解：因?yàn)?l-i)2z=3+2i,

3+2i_3+2i_(3+2i)i_-2+3i一3.

所以z=(l-i)2--2i-—2-I+

故選：B.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

把L=4.9代入L=5+/gU中，直接求解即可.

【解答】

解：在L=5+lgV中，L=4.9,

所以4.9=5+0%^IgV=-0.1,

解得V=l°-°'=質(zhì)=嬴”高‘08

所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

故選：C.

5.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

設(shè)出IP&I=3m,\PF2\=m,由雙曲線(xiàn)的定義可得m=a,再通過(guò)乙尸產(chǎn)約=60°,由余弦定理列

出方程，即可求解雙曲線(xiàn)的離心率.

【解答】

解：F1，尸2為雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，IPF1I=3|PF2l，

設(shè)|PFi|=3m,|尸61=小，由雙曲線(xiàn)的定義可得|Pa|-|PF2|=2m=2a,即zn=a,

所以|PFi|=3a,IPF2I=a,因?yàn)镹&PF2=60。，\FrF2\=2c,

所以4c2=9a24-a2—2x3axaxcos60°,整理得4c2=7a2,

所以e=-=

a2

故選：A.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查數(shù)列的函數(shù)特性，充分條件和必要條件，屬于中檔題.

根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和充分條件、必要條件的定義即可求出.

【解答】

解：若%=-1,q=l,則Sn=nai=-n,則｛S.｝是遞減數(shù)列，不滿(mǎn)足充分性；

當(dāng)q=l時(shí)，｛S"是遞增數(shù)列，且滿(mǎn)足q>0;

當(dāng)q￥1時(shí)，

：Sn=言（1-勺”），

則Sn+i=￡（l-qn+】），

Sn+1-S。=言⑷-q*l）=

若｛S”｝是遞增數(shù)列，

,e,S^+i—Sn=Qiq">0,

則%>0,q>0,

，滿(mǎn)足必要性，

故甲是乙的必要條件但不是充分條件，

故選：B.

7.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查運(yùn)用正弦定理解決高度問(wèn)題，考查三角恒等變換.

過(guò)C作CH1BB'于-H,過(guò)B作144'于求出tan/BCH,sinz.C'A'B',進(jìn)而得出C'B',在△4'B'C'

中，由正弦定理得出49，進(jìn)而求出/L4'-CC'.

【解答】

A

解：過(guò)C作CH1BB'于H,過(guò)B作BM1/L4'于M,A

貝IJNBCH=15°,BH=100,Z.ABM=45°,CH=C'B',A'B'=BM=/；\

AM,BB'=MA',4CAE=75。/：\\

???tanzBC/7=tanl50=tan(45°—30°)/-i-***■

H

tan450-tan30°_?反I\

=1+t即45°￡即30°=」-"，C*匕二------------B'

sin750=sin(45°+30°)

=sin450cos300+cos45°sm30°=苧(苧+g)‘

則在RMBCH中，CH=.%=i°o(2+遮),

tanZBCH、/

C'B'=100(2+V3)

，t

在△4‘B'C‘中，由正弦定理知，A'B'=—CB,,-sin^A'C'B'=100(73+1).

sinZ-CAB

?-1/1M=100(73+1).

AA'-CC1=AM+BH=100(73+1)+100?373，

故選:B.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值，考查倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

把等式左邊化切為弦，再展開(kāi)倍角公式，化簡(jiǎn)求解sina,進(jìn)一步求得cosa,再由商的關(guān)系可得tana

的值.

【解答】

tt-n/ncosazDsin2acosa

解：由tern2a=,得一丁=丁.，

2-sinacosZa2-sma

即2sinacosa_cosa

、l-2sin2a-2-sina'

???aE(0,)

???cosaH0,

1

=

則2sina(2—sina)=1—2sin2a,解得sina4-

則cosa=，l-sin2a=手,

故選:A.

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了古典概型概率公式的應(yīng)用，排列組合的應(yīng)用，對(duì)于不相鄰問(wèn)題，一般會(huì)運(yùn)用插空法進(jìn)

行求解，屬于基礎(chǔ)題.

分別計(jì)算出4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行的種數(shù)以及2個(gè)0不相鄰的種數(shù)，然后由古典概型的概率公式

求解即可.

【解答】

解：4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，共有4=15種，

2個(gè)0不相鄰，先將4個(gè)1排成一行，再用插空法將2個(gè)0放入共有廢=10種，

故2個(gè)0不相鄰的概率為黑=|.

故選：C.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了錐體外接球和錐體體積公式，解題的關(guān)鍵是確定△ABC所在圓的圓心的位置，屬于中

檔題.

先確定△ABC所在的截面圓的圓心Oi為斜邊4B的中點(diǎn)，然后在Rt△ABC^Rt△40。1中，利用勾

股定理求出001，再利用錐體的體積公式求解即可.

【解答】

解：因?yàn)?c_LBC,AC=BC=1,

所以△4BC為等腰直角三角形，

所以△ABC所在的截面圓的圓心01為斜邊4B的中點(diǎn)，

所以。011平面4BC,

在中，AB='JAC2+BC2=V2>則A。1=拳

在Rt△AO。］中，001=J。/一期=爭(zhēng)

故三棱錐0-ABC的體積為V=1?ShABC.OOi=；x；x1x1x4=

3132212

故選：A.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合應(yīng)用.

由己知得f(x)的周期為4,則展)=—f(|)，由已知得f⑴=0,/(2)=—6,即可求出函數(shù)的解

析式，即可得解.

【解答】

解：因?yàn)?'(x+1)為奇函數(shù)，

所以f(-x+l)=-f(x+l)，

所以/(x)的圖象關(guān)于(1,0)中心對(duì)稱(chēng)，則/(I)=0,

因?yàn)閒(x+2)為偶函數(shù)，

所以J(T+2)=f(x+2),

所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2軸對(duì)稱(chēng).

由f(f+1)=-/(x+1),得+2)=-/(x),

所以f(x+2)=-/(%),

則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(%)的周期為4,

所以/?=/8)=—6|)，

又因?yàn)閒(0)=-f(2),f(3)=f(l)=0,/(0)+/(3)=6,

所以f(l)-f(2)=6,則/(2)=-6,

因?yàn)楫?dāng)％6[1,2]時(shí)，/(%)=ax2+b,

即用二解得/之

所以，當(dāng)％￡[1,2]時(shí)，/(%)=—2x2+2,

所以腐)=-f(|)=-(-2x[+2)=|.

故選。.

12.【答案】Sx-y+2=0

【解析】

【分析】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線(xiàn)的斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得切線(xiàn)方程.

【解答】

解：因?yàn)閥=量，（一1,—3）在曲線(xiàn)上,

2(x+2)-(2x-l)5

所以y'=

(x+2/-(X+2)2

所以y'lx=-i=5,

則曲線(xiàn)了=等在點(diǎn)（—1,一3）處的切線(xiàn)方程為:

y—(—3)=5[x—(-1)],即5%—y4-2=0.

故答案為：5%-y+2=0.

13.【答案】-y

【解析】

【分析】

利用向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于女的方程，求解即可.

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，平面向量垂直的坐標(biāo)表示,

考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因?yàn)橄蛄课?(3,1),3=(1,0)，c=a+kb^

由有1c,

則方(a+fcK)=|a|2+fcah=324-l2+fc-(3xl+lx0)=10+3k=0>

解得k=一等

故答案為：-y.

14.【答案】8

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，橢圓的定義，考查方程思想與運(yùn)算求解能力.

判斷四邊形P&QF2為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.

【解答】

解：因?yàn)镻,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且|PQ|=|F/2|,

所以四邊形PKQ&為矩形，

設(shè)|PF/=m,|PF2|=n,

由橢圓的定義可得|P&|+\PF2\=m+n=2a=8,

所以Hi?+2mn+n2=64,

因?yàn)閨PF/2+\PF\2=2=4c2=4(a2-b2)=48,

2\FXF2\

BPm2+n2=48,

所以mn=8.

所以四邊形PF1QF2的面積為IP&IIPF2I=mn=8.

故答案為：8.

15.【答案】2

【解析】

【分析】

本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可.

【解答】

解：由題意可知，函數(shù)的周期為7=(等一勺+?=兀，

1Z54

所以3=普=生=2,

T7T

所以/(%)=2cos(2%+@),

因?yàn)?(等)=2cos(等+伊)=2,

所以苧+,=2兀+2時(shí)(卜6Z),

所以w=-—+2kn(kEZ),

所以/(%)=2cos(2%-5，所以/(—巧=2cos(-今一勺=2cosm=1,

04ZoD

/(y)=2cos停Y)=2cosy=0,

所以原式可化簡(jiǎn)為S(x)-1)-/(x)>0,

所以/(x)>1或f(x)<0,

所以2cos(2%-?)<0或2cos(2%-*)>1.

①當(dāng)2cos(2%一方<0時(shí)，

得到5+2/CTT<2xV+2kn(k6Z),

解得/+ATTVxV著+kn(kGZ),

此種情況下正整數(shù)%的最小值為2.

②當(dāng)2cos(2%-^)>1,BPcos(2x-^)>機(jī)寸，

得到一l+2kn<2x-l<^+2kMkeZ),

解得-+解VXV、+k江也WZ)?

此種情況下正整數(shù)x的最小值為3.

綜上所述，正整數(shù)x的最小值為2.

故答案為2.

16.【答案】解：由題意，可得甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)均為200件,

因?yàn)榧椎囊患?jí)品的頻數(shù)為15。，所以甲的一級(jí)品的頻率為堪=|,

因?yàn)橐业囊患?jí)品的頻數(shù)為120,所以乙的一級(jí)品的頻率為擲=|；

n^ad-bc)2

(2)根據(jù)2x2列聯(lián)表，可得*2=

(a+by^+dy(a+c')(b+d)

400(150x80-50xl20)2

10.256>6.635-

270x130x200x200

所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.

【解析】本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率中的獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)表格中統(tǒng)計(jì)可知甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)總數(shù)和頻數(shù)，再求出頻率值即可:

(2)根據(jù)2x2列聯(lián)表，求出再將f的值與6.635比較，即可得出結(jié)論.

17.【答案】解：選擇①③為條件，②結(jié)論.

證明過(guò)程如下：

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

由題意可得：a?=%+d=3a1；d=2a1；

2

數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn=兀即+九(7)d=nai+"(7)x2a1=n^,

故~qSn-\=ny/a^—(n—l)V0i=Voi>

據(jù)此可得數(shù)列｛店｝是等差數(shù)列.

選擇①②為條件，③結(jié)論：

設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,貝ij：

+(a1+d)=J2al+d,=Ja[+(a1+d)+(%+2d)=J3(ai+d),

數(shù)歹弁店｝為等差數(shù)列，則：醫(yī)+醫(yī)=2痣，

即：(7^7+J3(ai+d))2=(2J2al+d)2,整理可得：d=2ax,■.a2=aT+d=3ax.

選擇③②為條件，①結(jié)論：

由題意可得：52—%+a2=4a］，［JS2=2,a1,

則數(shù)列｛、/耳｝的公差為d=yfS[—y[S[=

通項(xiàng)公式為：=yfs[+(n—l)d=nVoi>

據(jù)此可得，當(dāng)nN2時(shí)，an=S；,-Sn_i=/的-(n-1)2al=(2n-1)的，

當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=(2n-1)%,

由即+i-即=[2(n+1)-1]?I-(2n-l)at=2%,可知數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

【解析】首先確定條件和結(jié)論，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式證明結(jié)論即可.

本題主要考查等差數(shù)列的判定與證明，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等知識(shí)，屬

于中等題.

18.【答案】(1)證明：連接4兄

E,F分別為直三棱柱ABC-&BiCi的棱4c和CG的中點(diǎn)，且=BC=2,

CF=1,BF=V5)

；8尸J.4出，AB11A、B],

:.BF1AB,

AF=7AB2+B尸2_J22+忖=3，AC--CF2-V32-I2=2A/2>

.-.AC2=AB2+BC2,即B4_LBC,

故以B為原點(diǎn)，BA,BC,BE1所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),￡-(1,1,0),尸(0,2,1),

設(shè)則。(m,0,2),

BF=(0,2,1)，DE=(1

：.BFDE=G，BPBF1DE.

(2)解：由(1)知：ABI平面BBiGC,

.??平面的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),

由(1)知，DE=(1-m,1,-2),EF=(-1,1,1).

設(shè)平面。EF的法向量為底=(x,y,z),

.(n；-'DE=0ai-m)x+y-2z=0

則怎.品=。'叫r+y+z=。,

令％=3,則、=巾+1,z=2—m,

?,?底=(3,m+1,2—m),

??.cos<4,而>=^^J

________________3______________

1x^9+(m+l)2+(2-m)2

_3_3

J2m2-2m+14拉瓶_y+等

.?.當(dāng)m時(shí)，面BB】GC與面CFE所成的二面角的余弦值最大為浮此時(shí)正弦值最小為字

【解析】本題考查空間中線(xiàn)與線(xiàn)的垂直關(guān)系，二面角的求法，熟練掌握利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂

直和求二面角的方法是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)連接AF,易知CF=1,BF=層,由BFlA/i=BF1AB,再利用勾股定理求得4F和AC的

長(zhǎng)，從而證明B41BC,然后以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，證得前.屁=0,即可；

(2)易知平面BB1GC的一個(gè)法向量為元=(1,0,0),求得平面DEF的法向量正，再由空間向量的數(shù)

3

量積可得COS<而，元>=[(mj)2+二,從而知當(dāng)巾=3時(shí)，得解.

19.【答案】解：(1)因?yàn)橛?1與拋物線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

故可設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為：y2=2px(p>0),

令x=L則曠=±J^，

根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)P在x軸上方，Q在x軸下方，

故P(l,履),Q(L—履)，

因?yàn)镺P10Q,故1+四x(-歷)=0=p=：,

拋物線(xiàn)C的方程為：y2=x,

因?yàn)?M與I相切，故其半徑為1,故。M：。-2)2+y2=1；

(2)設(shè)41apy1),A2(x2,y2)>^(不必)，

當(dāng)4,A2,/其中某一個(gè)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)(假設(shè)占為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí))，

設(shè)直線(xiàn)4遇2方程為此—y=0,

12kl_1

根據(jù)點(diǎn)M(2,0)到直線(xiàn)距離為1可得常j-1解得％=±浮

聯(lián)立直線(xiàn)A遇2與拋物線(xiàn)方程可得X=3,

此時(shí)直線(xiàn)為/與0M的位置關(guān)系為相切,

當(dāng)A2f4都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即

直線(xiàn)