北京第一四零中學(xué)2022高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

北京第一四零中學(xué)2022高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.閱讀下列程序：輸入x；if

x＜0，

then

y＝；else

if

x＞0，

then

y＝；else

y＝0；輸出y．

如果輸入x＝－2，則輸出結(jié)果y為(

)A．－5

B．－－5

C．

3＋

D．3－參考答案：D2.已知，，猜想的表達(dá)式為（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】先由排除C，D選項；再求出，，排除A選項，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，排除C，D選項；由，解得，由，解得，排除A；故選B【點睛】本題主要考查函數(shù)解析式，靈活運用特殊值法，即可求解，屬于?？碱}型.3.我校三個年級共有24個班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班進(jìn)行調(diào)查，若抽到編號之和為48，則抽到的最小編號為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：B【考點】系統(tǒng)抽樣方法．【專題】計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】求出系統(tǒng)抽樣的抽取間隔，設(shè)抽到的最小編號x，根據(jù)編號的和為48，求x即可．【解答】解：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為=6．設(shè)抽到的最小編號x，則x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3．故選：B．【點評】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法，熟練掌握系統(tǒng)抽樣的特征是解答本題的關(guān)鍵．4.（5分）過雙曲線的左焦點F（﹣c，0）（c＞0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P．若，則雙曲線的離心率為（） A． B． C． D． 參考答案：B5.圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO的中點，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）。若AM⊥MP，則P點形成的軌跡的長度為（

）A.

B.

C.

3

D.參考答案：解析：建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,-1,0),B(0,1,0),,，P(x,y,0).于是有由于AM⊥MP，所以，即，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為。

因此選B。6.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步應(yīng)驗證不等式（）A．1+＜2 B．1++＜3 C．1+++＜3 D．1++＜2參考答案：D【考點】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】利用n=2寫出不等式的形式，就是第一步應(yīng)驗證不等式．【解答】解：當(dāng)n=2時，左側(cè)=1++，右側(cè)=2，左側(cè)＜右側(cè)．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+＜n（n∈N*，n＞1），第一步應(yīng)驗證不等式1+＜2，故選：D7.若動點A（x1，y1），B（x2，y2）分別在直線l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移動，則線段AB的中點M到原點的距離的最小值為(

)A．2 B．3 C．3 D．4參考答案：C【考點】兩點間的距離公式；中點坐標(biāo)公式．【專題】計算題．【分析】根據(jù)題意可推斷出M點的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l進(jìn)而根據(jù)兩直線方程求得M的軌跡方程，進(jìn)而利用點到直線的距離求得原點到直線的距離為線段AB的中點M到原點的距離的最小值為，求得答案．【解答】解：由題意知，M點的軌跡為平行于直線l1、l2且到l1、l2距離相等的直線l，故其方程為x+y﹣6=0，∴M到原點的距離的最小值為d==3．故選C【點評】本題主要考查了兩點間的距離公式的應(yīng)用．考查了數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用，基本的運算能力．8.已知實數(shù)滿足，若的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍為()A． B．

C． D．參考答案：A略9.若（），則在中，正數(shù)的個數(shù)是（

）A．16

B.72

C.86

D.100參考答案：C10.設(shè)z=x+y，其中x，y滿足當(dāng)z的最大值為6時，的值為（

）

A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若與所表示的曲線相互內(nèi)切，則的值為______________.參考答案：12.設(shè)函數(shù)

則

。參考答案：13.若一個正三棱錐的高為5，底面邊長為6，則這個正三棱錐的體積為．參考答案：考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計算題．分析：先由求出底面面積，再由棱錐的體積，求出體積即可．解答：解：由于一個正三棱錐的底面邊長為6，則=，又由正三棱錐的高為5，則這個正三棱錐的體積為=15故答案為．點評：本小題主要考查幾何體的體積，屬于基礎(chǔ)題．14.已知數(shù)列中，，，，則

參考答案：略15.如圖，當(dāng)拋物線形拱橋的拱頂距水面2米時，測得水面寬4米．若水面下降0.5米，則水面寬米．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；應(yīng)用題；數(shù)形結(jié)合；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】可建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為x2=2py，從而由題意知點（2，﹣2）在拋物線上，帶入拋物線方程便可求出p=﹣1，這便得出拋物線方程為x2=﹣2y．而根據(jù)題意知點（x0，﹣2.5）在拋物線上，從而可以求出x0，從而水面寬度便為2|x0|，即得出水面寬度．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為x2=2py；根據(jù)題意知，A（2，﹣2）在拋物線上；∴4=2p?（﹣2）；∴p=﹣1；∴x2=﹣2y；設(shè)B（x0，﹣2.5）在拋物線上，則：；∴；∴水面下降0.5米，則水面寬為．故答案為：．【點評】考查通過建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)曲線上點的坐標(biāo)求出曲線方程，利用曲線方程解決幾何問題的方法，以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，數(shù)形結(jié)合解題的方法．16.若P表示已知條件或已有的定義、公理或定理，Q表示所得到的結(jié)論，下列框圖表示的證明方法是．參考答案：綜合法【考點】綜合法與分析法(選修）．【分析】根據(jù)證題思路，是由因?qū)Ч?，是綜合法的思路，故可得結(jié)論．【解答】解：∵P表示已知條件或已有的定義、公理或定理，Q表示所得到的結(jié)論，∴證明方法是由因?qū)Ч?，是綜合法的思路故答案為：綜合法17.函數(shù)在區(qū)間(-∞,2)上是減函數(shù)。則a的取值范圍-------參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線，直線（Ⅰ）求直線l1與直線l2的交點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）過點P的直線與x軸的非負(fù)半軸交于點A，與y軸交于點B，且（O為坐標(biāo)原點），求直線AB的斜率k.參考答案：（1）聯(lián)立兩條直線方程：，解得，所以直線與直線的交點P的坐標(biāo)為(2,1)．（2）設(shè)直線方程為：.令

得，因此；令得，因此．，解得或．19.已知雙曲線具有性質(zhì)：若A、B是雙曲線左、右頂點，P為雙曲線上一點，且P在第一象限.記直線PA，PB的斜率分別為，，那么與之積是與點位置無關(guān)的定值.（1）試對橢圓，類比寫出類似的性質(zhì)（不改變原有命題的字母次序），并加以證明.（2）若橢圓C的左焦點，右準(zhǔn)線為，在（1）的條件下，當(dāng)取得最小值時，求{－1,0}的垂心H到x軸的距離.參考答案：(1)見解析(2).【分析】（1）根據(jù)類比對應(yīng)得橢圓性質(zhì)，再根據(jù)斜率公式證結(jié)論，（2）先求得橢圓方程，再根據(jù)基本不等式確定最值取法，即得直線方程，與橢圓方程聯(lián)立解得點坐標(biāo)，再根據(jù)直線交點得垂心坐標(biāo)，即得結(jié)果.【詳解】（1）若、是橢圓左、右頂點，為橢圓上一點，且在第一象限.記直線，的斜率分別為，，那么與之積是與點位置無關(guān)的定值，即；證明如下：設(shè)（2）因為橢圓的左焦點，右準(zhǔn)線為，所以，橢圓由（1）知，所以當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”此時直線：與橢圓聯(lián)立得可設(shè)垂心，由，故的垂心到軸的距離為.20.若的頂點，，，求的平分線所在的直線的方程．參考答案：解法一：直線到的角等于到的角，

。。。。1分，．

。。。3分設(shè)的斜率為(或)，則有．

。。。6分解得或（舍去）．

。。10分∴直線的方程為，即．。。。12分解法二：設(shè)直線上動點，則點到、的距離相等，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

即：，∴或

結(jié)合圖形分析，知是的角的外角平分線，舍去．所以所求的方程為．

21.已知函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x﹣kx2（Ⅰ）當(dāng)k=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求k的取值范圍．（Ⅲ）試比較與（n∈N*）的大小關(guān)系，并給出證明：（）參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（I）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（II）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），再求導(dǎo)數(shù)f''（x），討論k的范圍，①當(dāng)2k≤4即k≤2時，②當(dāng)2k＞4即k＞2時，求出導(dǎo)數(shù)符號，確定單調(diào)性，即可得到所求范圍；（Ⅲ）由（II）知，e2x≥1+2x+2x2，令x=1，2，…，n﹣1，可得n﹣1個不等式，累加，運用不等式的性質(zhì)和求和公式，即可得到所求大小關(guān)系．【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=e2x﹣1﹣2x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2（e2x﹣1），∵x＞0時f′（x）＞0，x＜0時f′（x）＜0，∴單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，0）；（II）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2e2x﹣2﹣2kx，f''（x）=4e2x﹣2k，①當(dāng)2k≤4即k≤2時，f''（x）＞0?f′（x）單調(diào)遞增?f′（x）≥0?f（x）單調(diào)遞增?f（x）≥f（0）=0恒成立，∴k≤2使原式成立；②當(dāng)2k＞4即k＞2時，?x0＞0使x∈[0，x0）時f''（x）＜0?f′（x）單調(diào)遞減?f′（x）≤f′（0）=0?f（x）單調(diào)遞減?f（x）＜f（0）=0不滿足條件．綜上可得，k≤2；（Ⅲ）由（II）知，當(dāng)k=2時，e2x﹣1﹣2x﹣kx2≥0成立，即e2x≥1+2x+2x2，取x=n得e2n＞1+2n+2n2，e2＞1+2+2，e4＞1+2×2+2×22，e6＞1+2×3+2×32，…e2（n﹣1）＞1+2（n﹣1）+2（n﹣1）