初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級下冊第9章中心對稱圖形――平行四邊形9．4矩形菱形正方形 全國獲獎

矩形、菱形、正方形（選擇、填空題）一．選擇題1．菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊相等 B．對角相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直2．如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．43．矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當(dāng)△CDE的周長最小時，點E的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）4．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）A． B． C． D．5．如圖，矩形ABCD的頂點A、C分別在直線a、b上，且a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°6．如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A． B．5 C．6 7．如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對角線均交于點O，且EG∥BC，將矩形折疊，使點C與點O重合，折痕MN恰好過點G若AB=，EF=2，∠H=120°，則DN的長為（）A． B． C．﹣ D．2﹣8．如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連結(jié)BF交AC于點M，連結(jié)DE、BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個9．如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為（）A．2 B． C．2 D．310．有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（）A．1： B．1：2 C．2：3 11．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A．3 B．4 C．5 12．如圖是由三個邊長分別為6、9、x的正方形所組成的圖形，若直線AB將它分成面積相等的兩部分，則x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 13．如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若M、N是邊AD上的兩點，連接MO、NO，并分別延長交邊BC于兩點M′、N′，則圖中的全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對14．如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG，其中E點在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，則∠B的度數(shù)為何？（）A．50 B．55 C．70 15．如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH，其中E、F、G分別在AB、BC、FD上．若BF=，則小正方形的周長為（）A． B． C． D．16．如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F(xiàn)，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，則3S△EDH=13S△DHC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題17．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE=．18．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E為AD的中點，若OE=3，則菱形ABCD的周長為．19．如圖，已知菱形ABCD的邊長2，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、AD上，若將△AEF沿直線EF折疊，使得點A恰好落在CD邊的中點G處，則EF=．20．如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E、F分別在邊AB、BC上，△BEF與△GEF關(guān)于直線EF對稱，點B的對稱點是點G，且點G在邊AD上．若EG⊥AC，AB=6，則FG的長為．21．如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使CE=BD，連結(jié)AE，如果∠ADB=30°，則∠E=度．22．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=度．23．如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC上，且DC=3DE=3a．將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，則FP=．24．如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，E是OC的中點，連接BE，過點A作AM⊥BE于點M，交BD于點F，則FM的長為．25．如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為cm．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…、則正方形OB2023B2016C202327．如圖，在平面內(nèi)，四邊形ABCD和BEFG均為正方形，則AG：DF：CE=．28．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M為斜邊AB上一動點，過M作MD⊥AC，過M作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為．29．如圖，正方形ABCD邊長為3，連接AC，AE平分∠CAD，交BC的延長線于點E，F(xiàn)A⊥AE，交CB延長線于點F，則EF的長為．30．如圖，在正方形ABCD中，點E，N，P，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，點M，F(xiàn)，Q都在對角線BD上，且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則的值等于．答案與解析一．選擇題1．（2023?莆田）菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對邊相等 B．對角相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【分析】由菱形的性質(zhì)可得：菱形的對角線互相平分且垂直；而平行四邊形的對角線互相平分；則可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分，對角線互相垂直；平行四邊形具有的性質(zhì)：對邊相等，對角相等，對角線互相平分；∴菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是：對角線互相垂直．故選D．【點評】此題考查了菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意菱形的對角線互相平分且垂直．2．（2023?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．4【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)菱形的面積公式求出即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD=，∴，∴DH=，故選A．【點評】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形ABCD=是解此題的關(guān)鍵．3．（2023?蘇州）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當(dāng)△CDE的周長最小時，點E的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）【分析】如圖，作點D關(guān)于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最小，先求出直線CH解析式，再求出直線CH與AB的交點即可解決問題．【解答】解：如圖，作點D關(guān)于直線AB的對稱點H，連接CH與AB的交點為E，此時△CDE的周長最?。逥（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直線CH解析式為y=﹣x+4，∴x=3時，y=，∴點E坐標(biāo)（3，）故選：B．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對稱﹣最短問題、一次函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是利用軸對稱找到點E位置，學(xué)會利用一次函數(shù)解決交點問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023?威海）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）A． B． C． D．【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根據(jù)勾股定理求出答案．【解答】解：連接BF，∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，則BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故選：D．【點評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．5．（2023?海南）如圖，矩形ABCD的頂點A、C分別在直線a、b上，且a∥b，∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】首先過點D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度數(shù)，易得∠ADC=∠2+∠3，繼而求得答案．【解答】解：過點D作DE∥a，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故選C．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．6．（2023?宜賓）如圖，點P是矩形ABCD的邊AD上的一動點，矩形的兩條邊AB、BC的長分別是6和8，則點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是（）A． B．5 C．6 D．【分析】首先連接OP，由矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，可求得OA=OD=5，△AOD的面積，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF求得答案．【解答】解：連接OP，∵矩形的兩條邊AB、BC的長分別為6和8，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD=S矩形ABCD=24，∴S△AOD=S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=．故選：A．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法以及掌握整體數(shù)學(xué)思想的運用是解題的關(guān)鍵．7．（2023?資陽）如圖，矩形ABCD與菱形EFGH的對角線均交于點O，且EG∥BC，將矩形折疊，使點C與點O重合，折痕MN恰好過點G若AB=，EF=2，∠H=120°，則DN的長為（）A． B． C．﹣ D．2﹣【分析】延長EG交DC于P點，連接GC、FH，則△GCP為直角三角形，證明四邊形OGCM為菱形，則可證CG=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位線定理CM+DN=2GP，即可得出答案．【解答】解：延長EG交DC于P點，連接GC、FH；如圖所示：則CP=DP=CD=，△GCP為直角三角形，∵四邊形EFGH是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，∴OG=GH?sin60°=2×=，由折疊的性質(zhì)得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG，∴PG==，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM∥CG，∴四邊形OGCM為平行四邊形，∵OM=CM，∴四邊形OGCM為菱形，∴CM=OG=，根據(jù)題意得：PG是梯形MCDN的中位線，∴DN+CM=2PG=，∴DN=﹣；故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、梯形中位線定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握菱形和矩形的性質(zhì)，由梯形中位線定理得出結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．8．（2023?眉山）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB、CD交于點E、F，連結(jié)BF交AC于點M，連結(jié)DE、BO．若∠COB=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】①利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理可得結(jié)論；②在△EOB和△CMB中，對應(yīng)直角邊不相等；③可證明∠CDE=∠DFE；④可通過面積轉(zhuǎn)化進(jìn)行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD中，O為AC中點，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等邊三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故①正確；②∵△BOC為等邊三角形，F(xiàn)O=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，但BO≠BM，故②錯誤；③易知△ADE≌△CBF，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE，∴DE=EF，故③正確；④易知△AOE≌△COF，∴S△AOE=S△COF，∵S△COF=2S△CMF，∴S△AOE：S△BCM=2S△CMF：S△BCM=，∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM，∴=，∴S△AOE：S△BCM=2：3，故④正確；所以其中正確結(jié)論的個數(shù)為3個；故選B【點評】本題綜合性比較強，既考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，又考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，及線段垂直平分線的性質(zhì)，內(nèi)容雖多，但不復(fù)雜；看似一個選擇題，其實相當(dāng)于四個證明題，屬于?？碱}型．9．（2023?雅安）如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，點P、Q分別在BD，AD上，則AP+PQ的最小值為（）A．2 B． C．2 D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的長，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點A′，連接A′D，可證明△ADA′為等邊三角形，當(dāng)PQ⊥AD時，則PQ最小，所以當(dāng)A′Q⊥AD時AP+PQ最小，從而可求得AP+PQ的最小值等于DE的長，可得出答案..【解答】解：設(shè)BE=x，則DE=3x，∵四邊形ABCD為矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE?DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如圖，設(shè)A點關(guān)于BD的對稱點為A′，連接A′D，PA′，則A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等邊三角形，∵PA=PA′，∴當(dāng)A′、P、Q三點在一條線上時，A′P+PQ最小，又垂線段最短可知當(dāng)PQ⊥AD時，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故選D．【點評】本題主要考查軸對稱的應(yīng)用，利用最小值的常規(guī)解法確定出A的對稱點，從而確定出AP+PQ的最小值的位置是解題的關(guān)鍵，利用條件證明△A′DA是等邊三角形，借助幾何圖形的性質(zhì)可以減少復(fù)雜的計算．10．（2023?南寧）有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（）A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系，然后進(jìn)行計算即可得出答案．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為x，根據(jù)圖形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故選D．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，用到的知識點是正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系．11．（2023?畢節(jié)市）如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)折疊可得DH=EH，在直角△CEH中，設(shè)CH=x，則DH=EH=9﹣x，根據(jù)BE：EC=2：1可得CE=3，可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而解出CH的長．【解答】解：設(shè)CH=x，則DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故選（B）．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及翻折變換，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱變換．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023?徐州）如圖是由三個邊長分別為6、9、x的正方形所組成的圖形，若直線AB將它分成面積相等的兩部分，則x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6【分析】根據(jù)題意列方程，即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，∵若直線AB將它分成面積相等的兩部分，∴（6+9+x）×9﹣x?（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故選D．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形的面積的計算，準(zhǔn)確分識別圖形是解題的關(guān)鍵．13．（2023?陜西）如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若M、N是邊AD上的兩點，連接MO、NO，并分別延長交邊BC于兩點M′、N′，則圖中的全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【分析】可以判斷△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′．由此即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可證△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4對．故選C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．14．（2023?臺灣）如圖，有一平行四邊形ABCD與一正方形CEFG，其中E點在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，則∠B的度數(shù)為何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【分析】由平角的定義求出∠CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求出∠D的度數(shù)，再由平行四邊形的對角相等即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠B=∠D=70°（平行四邊形對角相等）．故選C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握平行四邊形和正方形的性質(zhì)，由三角形內(nèi)角和定理求出∠D的度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．15．（2023?呼和浩特）如圖，面積為24的正方形ABCD中，有一個小正方形EFGH，其中E、F、G分別在AB、BC、FD上．若BF=，則小正方形的周長為（）A． B． C． D．【分析】先利用勾股定理求出DF，再根據(jù)△BEF∽△CFD，得=求出EF即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，面積為24，∴BC=CD=2，∠B=∠C=90°，∵四邊形EFGH是正方形，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∴=，∵BF=，CF=，DF==，∴=，∴EF=，∴正方形EFGH的周長為．故選C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考?？碱}型．16．（2023?昆明）如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F(xiàn)，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，則3S△EDH=13S△DHC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】①根據(jù)題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS證明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②證明△EHF≌△DHC即可；④若=，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG為等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正確；②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．二．填空題（共14小題）17．（2023?內(nèi)江）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足為點E，則OE=．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理計算出BC=5，然后利用面積法計算OE的長．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE?BC=OB?OC，∴OE==．故答案為．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．也考查了勾股定理和三角形面積公式．18．（2023?揚州）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E為AD的中點，若OE=3，則菱形ABCD的周長為24．【分析】由菱形的性質(zhì)可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AD的長，結(jié)合菱形的周長公式即可得出結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD為直角三角形．∵OE=3，且點E為線段AD的中點，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案為：24．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出AD=6．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)菱形的性質(zhì)找出對角線互相垂直，再通過直角三角形的性質(zhì)找出菱形的一條變成是關(guān)鍵．19．（2023?鹽城）如圖，已知菱形ABCD的邊長2，∠A=60°，點E、F分別在邊AB、AD上，若將△AEF沿直線EF折疊，使得點A恰好落在CD邊的中點G處，則EF=．【分析】延長CD，過點F作FM⊥CD于點M，連接GB、BD，作FH⊥AE交于點H，由菱形的性質(zhì)和已知條件得出∠MFD=30°，設(shè)MD=x，則DF=2x，F(xiàn)M=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=，AF=，求出AH=AF=，F(xiàn)H=，證明△DCB是等邊三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，設(shè)BE=y，則GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．【解答】解：延長CD，過點F作FM⊥CD于點M，連接GB、BD，作FH⊥AE交于點H，如圖所示：∵∠A=60°，四邊形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，設(shè)MD=x，則DF=2x，F(xiàn)M=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=，∴DF=，AF=，∴AH=AF=，F(xiàn)H=AF?sin∠A=×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等邊三角形，∵G是CD的中點，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，設(shè)BE=y，則GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=，∴AE=，∴EH=AE﹣AH=﹣=，∴EF===．故答案為：．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，難度較大，運用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵．20．（2023?哈爾濱）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，點E、F分別在邊AB、BC上，△BEF與△GEF關(guān)于直線EF對稱，點B的對稱點是點G，且點G在邊AD上．若EG⊥AC，AB=6，則FG的長為3．【分析】首先證明△ABC，△ADC都是等邊三角形，再證明FG是菱形的高，根據(jù)2?S△ABC=BC?FG即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等邊三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，∴2?S△ABC=BC?FG，∴2××（6）2=6?FG，∴FG=3．故答案為3．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、翻折變換、菱形的面積等知識，記住菱形的面積=底×高=對角線乘積的一半，屬于中考?？碱}型．21．（2023?巴中）如圖，延長矩形ABCD的邊BC至點E，使CE=BD，連結(jié)AE，如果∠ADB=30°，則∠E=15度．【分析】連接AC，由矩形性質(zhì)可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度數(shù)．【解答】解：連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案為：15．【點評】本題主要考查矩形性質(zhì)，熟練掌握矩形對角線相等且互相平分、對邊平行是解題關(guān)鍵．22．（2023?包頭）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點A作AE⊥BD，垂足為點E，若∠EAC=2∠CAD，則∠BAE=度．【分析】首先證明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=°．故答案為°．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)△AEO是等腰直角三角形這個突破口，屬于中考?？碱}型．23．（2023?黃岡）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊CD、BC上，且DC=3DE=3a．將矩形沿直線EF折疊，使點C恰好落在AD邊上的點P處，則FP=2a．【分析】作FM⊥AD于M，則MF=DC=3a，由矩形的性質(zhì)得出∠C=∠D=90°．由折疊的性質(zhì)得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函數(shù)求出FP即可．【解答】解：作FM⊥AD于M，如圖所示：則MF=DC=3a，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折疊的性質(zhì)得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===2a；故答案為：2a．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識；熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，求出∠DPE=30°是解決問題的關(guān)鍵．24．（2023?湖北襄陽）如圖，正方形ABCD的邊長為2，對角線AC、BD相交于點O，E是OC的中點，連接BE，過點A作AM⊥BE于點M，交BD于點F，則FM的長為．【分析】先根據(jù)ASA判定△AFO≌△BEO，并根據(jù)勾股定理求得BE的長，再判定△BFM∽△BEO，最后根據(jù)對應(yīng)邊成比例，列出比例式求解即可．【解答】解：∵正方形ABCD∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM∴∠FAO=∠EBO在△AFO和△BEO中∴△AFO≌△BEO（ASA）∴FO=EO∵正方形ABCD的邊長為2，E是OC的中點∴FO=EO=1=BF，BO=2∴直角三角形BOE中，BE==由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO∴，即∴FM=故答案為：【點評】本題主要考查了正方形，解決問題的關(guān)鍵的掌握全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)．解題時注意：正方形的對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形．25．（2023?南京）如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為13c【分析】根據(jù)正方形的面積可用對角線進(jìn)行計算解答即可．【解答】解：因為正方形AECF的面積為50cm2，所以AC=cm，因為菱形ABCD的面積為120cm2，所以BD=cm，所以菱形的邊長=cm．故答案為：13．【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和菱形的面積進(jìn)行解答．26．（2023?聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…、則正方形OB2023B2016C2023的頂點B2023【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)的之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計算出點B2023的坐標(biāo)．【解答】解：∵正方形OA1B1C1∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的對角線OB∴OB2=2，∴B2點坐標(biāo)為（0，2），同理可知OB3=2，∴B3點坐標(biāo)為（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4點坐標(biāo)為（﹣4，0），B5點坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），B6點坐標(biāo)為（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?023÷8=252∴B2023的縱橫坐標(biāo)符號與點B8的相同，橫坐標(biāo)為正值，縱坐標(biāo)是0，∴B2023的坐標(biāo)為（21008，0）．故答案為：（21008，0）．【點評】本題主要考查正