2023年重慶西南大學高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數(shù)z滿足i(3+z)=l+i,貝!|z的虛部為()

A.-iB.iC.-1D.1

2.我國古代數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術”，用現(xiàn)代式子表示即為：在AABC中，角A,B,C所

1,2人22、2

對的邊分別為。涉,C,則A48C的面積S=2.根據(jù)此公式，若

H-(ah)-I"2一、川

acosB+僅+3c)cos4=0,且/一方2—02=2，則AABC的面積為()

A.V2B.272C.RD.2G

3.已知i是虛數(shù)單位，若三=i,則|z|=()

A.y/2B.2c.百D.3

7T

4.將函數(shù)/(x)=sin(3x+/)的圖像向右平移，雙，〃>0)個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱

6

坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像，若g(x)為奇函數(shù)，則的最小值為()

712〃一萬71

A.B.—C.—D.

91824

5.已知向量。=(1,2),b=(42,-1)>且a_L。，則4=()

]_1

A.B.-C.1D.2

24

a>b1,,g(x)=c?2，則函數(shù)R(X)=/(X)?g(X)的最小值

6.定義a?b=v「已知函數(shù)/(X)

b1,a<b2-sin,-x2-cosx

為()

24

A.B.1C.-D.2

33

7.已知函數(shù)/（x）=Asin?x+°）（其中A＞0,。＞0,0＜e〈萬）的圖象關于點M,0）成中心對稱，且與

點M相鄰的一個最低點為N（F，—3）,則對于下列判斷：

①直線是函數(shù)“X）圖象的一條對稱軸；

②點是函數(shù)“X）的一個對稱中心；

Ijr）2）71?

③函數(shù)y=i與y=/（x）［—五＜%＜曾）的圖象的所有交點的橫坐標之和為7萬.

其中正確的判斷是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.某校在高一年級進行了數(shù)學競賽（總分100分），下表為高一?一班40名同學的數(shù)學競賽成績:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如圖的算法框圖中輸入的《為上表中的學生的數(shù)學競賽成績，運行相應的程序，輸出加，〃的值，則加-〃=（）

?

/編入5皿…皿/

Ii=i+l|

/人國肛〃/

［結束］

B.8C.10D.12

x>Q,y>Q

9.已知x,)'滿足條件,(左為常數(shù))，若目標函數(shù)z=3x+y的最大值為9,貝()

2x+y+k,<0

,,,2727

A.-16B.—6C.-----D.—

44

10.命題“\/》@(0,1),0-*>111彳”的否定是()

x

A.Vxe(0,1),e~<InxB.3x()e(0,1),>Inx()

x

C.3x0G(0,1),e~^<Inx0D.3x0e(0,1),e~0<In/

11.已知正四面體A-8CO外接球的體積為8g，則這個四面體的表面積為()

A.18后B.16y5C.14百D.12百

12.《普通高中數(shù)學課程標準(2017版)》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素

養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖(如圖，每項指標值滿分為5分，分值

高者為優(yōu))，則下面敘述正確的是()

直觀想斂

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙

B.甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)

C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差

D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/

盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x

元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%.

①當x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則X的最大值為.

22

14.已知橢圓二+乙=1的左焦點為尸，點P在橢圓上且在x軸的上方，若線段尸產(chǎn)的中點在以原點。為圓心，|。耳

9511

為半徑的圓上，則直線PE的斜率是.

15.已知函數(shù)/（x）=2?（lnx-x）+x2（a>0）有兩個極值點再、9（玉<9）,則/（與）+/（々）的取值范圍為

16.如圖，在矩形中，E為邊山的中點，AB=1，BC=2,分別以A、O為圓心，I為半徑作圓弧￡B、

EC（E在線段AO上）.由兩圓弧￡8、EC及邊3C所圍成的平面圖形繞直線Q旋轉一周，則所形成的幾何體的體

積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）某藝術品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側面用

于藝術裝飾，如圖1.為了便于設計，可將該禮品看成是由圓。及其內(nèi)接等腰三角形A8C繞底邊上的高所在直線

AO旋轉180。而成，如圖2.已知圓。的半徑為10cm,設/840=，,0<0<耳，圓錐的側面積為Sc，W.

（1）求S關于。的函數(shù)關系式；

（2）為了達到最佳觀賞效果，要求圓錐的側面積S最大.求S取得最大值時腰AB的長度.

18.（12分）已知數(shù)列｛?！埃凉M足4=5,an+i+2=2an.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若勿="（2為一4）,求數(shù)列也,｝的前〃項和S“.

19.（12分）對于非負整數(shù)集合S（非空），若對任意x,yeS,或者x+yeS,或者卜一y|eS,則稱S為一個好集

合.以下記同為S的元素個數(shù).

（1）給出所有的元素均小于3的好集合.（給出結論即可）

（2）求出所有滿足|5|=4的好集合.（同時說明理由）

（3）若好集合S滿足|5|=2019,求證：S中存在元素，”，使得S中所有元素均為根的整數(shù)倍.

20.（12分）在平面直角坐標系xOy中，有一個微型智能機器人（大小不計）只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進，

且每一步只能行進1個單位長度,例如：該機器人在點（1,0）處時，下一步可行進到（2,0）、（0,0）、（1,1,）、這四

個點中的任一位置.記該機器人從坐標原點。出發(fā)、行進“步后落在）’軸上的不同走法的種數(shù)為L（〃）.

（D分別求”1）、，⑵、"3）的值;

（2）求的表達式.

21.（12分）如圖，四棱錐P—ABCZ）中，底面ABC。，ABVAD,點￡在線段上，旦CEHAB.

(1)求證：CE_L平面PAO；

(2)若B4=A3=1,AD=3,CD=C，NCD4=45°,求二面角P-CE-B的正弦值.

22.（10分）設函數(shù)/（X）=B+1|+|2XT|.

（1）求不等式/（x）N3的解集；

⑵若/（x）的最小值為。，且x+y+z=a,求f+（y+l）2+（z+2）2的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

利用復數(shù)的四則運算可得z=-2-i,即可得答案.

【詳解】

?.”(3+z)=l+i,：.3+z=-=\-i,

i

...z=—2—i,...復數(shù)二的虛部為一1.

故選：C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題.

2.A

【解析】

根據(jù)acosB+[b+3c)cosA=0,利用正弦定理邊化為角得sinAcosB+cosAsin3+3sinCcosA=0,整理為

sinC(l+3cosA)=0,根據(jù)sinCwO,得cosA=—g,再由余弦定理得歷=3,又a1-及一d=2,代入公式

J%\2(，+/一。21]

S=—(be)-------------求解*

何I2J]

【詳解】

由acos8+(Z?+3c)cosA=0得sinAcosB+cosAsinB+3sinCeosA=0,

即sin(A+B)+3sinCcosA=0,即sinC(l+3cosA)=0,

因為sinCxO,所以cosA=-J,

3

2

由余弦定理片-b--c23--2hccosA=-Z?c=2,所以bc=3,

3

?/2i22、

由AABC的面積公式得S=-(be)2-0f

rLl2J

故選:A

【點睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類比推理，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

3.A

【解析】

直接將三=，?兩邊同時乘以1-i求出復數(shù)二，再求其模即可.

1-1

【詳解】

解：將二=，兩邊同時乘以1-i，得

1-Z

z=i(l—i)=l+i

|z|=V2

故選：A

【點睛】

考查復數(shù)的運算及其模的求法，是基礎題.

4.C

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出g(x),根據(jù)g(x)是奇函數(shù)，可得〃?的取值，再求其最小值.

【詳解】

jrJT

解：由題意知，將函數(shù)/(x)=sin(3x+7)的圖像向右平移，M〃>0)個單位長度，W.y=sin3(x-/n)+-,再將

6L6

TT

y=sin3x-3m+-圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)g(x)的圖像，

_6_

171

：.g(x)=sin(—+,

26

因為g(x)是奇函數(shù)，

jrjrKTT

所以-3m+J=Z4/wZ,解得機——-,keZ,

6183

T[

因為/n>0,所以"的最小值為3.

1o

故選：c

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質，屬于基礎題.

5.A

【解析】

根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程，解方程求得2的值.

【詳解】

由于向量2=(1,2),石=(4人—1),且￡_1人所以lx4/l+2x(-l)=0解得4=].

故選：A

【點睛】

本小題主要考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.

6.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義得F(x)>/(x),F(x)>g(x),則2F(x)>f(x)+g(x)，再根據(jù)基本不等式構造出相應的所需的

形式，可求得函數(shù)的最小值.

【詳解】

依題意得F(X)?/(X),F(x)>g(x),貝!J2F(xR/(x)+g(x),

11111,,

/⑴+g⑴=++爪2-sWx)+(2-cosx)]

2-cos2x2-sin2x)>|(2+2.2-cos2%2-sin?x)4(當且僅當2-cos?x_2-sin2x

(2+--------21---------5-,即

42-sim2-cosx2-sin2x2-COS2X32-sin2x2-cos2x

sin?x=cos?x時"=”成立.此時,/(x)=g(x)=g，,2F(x)>j,F(x)的最小值為j,

故選：A.

【點睛】

本題考查求分段函數(shù)的最值，關鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出2f'(%)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，屬

于中檔題.

7.C

【解析】

分析：根據(jù)最低點，判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為

/(x)=3sin[2x+?,依次判斷各選項的正確與否.

稱,。]為對稱中心，且最低點為N

詳解：因為MT'-3

所以A=3,且T=4x=71

由。上至=2

T7T

所以f(x)=3sin(2x+0),將N帶入得

71

所以/(x)=3sin[2x+W

TT357r7t

由此可得①錯誤，②正確，③當--4x4=時，0?2x+二46%,所以與y=l有6個交點，設各個交點坐標

12126

依次為3,%2，%，%,彳5，X6，則X+々+%3+Z+%+%6=7?，所以③正確

所以選C

點睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質，屬于中檔題.

8.D

【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出”,，篦的意義，由此求得〃2,〃的值，進而求得"L”的值.

【詳解】

由題意可得”的取值為成績大于等于90的人數(shù)，機的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù)，故機=24,〃=12,

所以〃?一“=24-12=12.

故選：D

【點睛】

本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學應用意識.

9.B

【解析】

x廊,y0

由目標函數(shù)z=3x+），的最大值為9,我們可以畫出滿足條件件以匯僅為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標函數(shù)

2x+y+k?0

的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點的坐標，然后根據(jù)分析列出一個含參數(shù)Z的方程組，消參后即可得到人的取值.

【詳解】

x廊,y0

畫出x,）‘滿足的＜/為常數(shù)）可行域如下圖：

2x+y+k?0

由于目標函數(shù)z=3x+y的最大值為9,

可得直線y=0與直線9=3x+y的交點5(3,0),

使目標函數(shù)z=x+3)，取得最大值，

將x=3,y=0代入2x+y+I得：k=-6.

故選：B.

【點睛】

如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫出不含參數(shù)的幾個不等式對應的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的

交點，然后得到一個含有參數(shù)的方程(組)，代入另一條直線方程，消去X,)‘后，即可求出參數(shù)的值.

10.D

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，對命題進行改寫即可.

【詳解】

全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“心￡(0,1),0-"〉111%”的否定是：3xos(O,l),e^Wln/.

故選D.

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，難度容易.

11.B

【解析】

設正四面體ABCD的外接球的半徑R,將該正四面體放入一個正方體內(nèi)，使得每條棱恰好為正方體的面對角線，根據(jù)

正方體和正四面體的外接球為同一個球計算出正方體的棱長，從而得出正四面體的棱長，最后可求出正四面體的表面

積.

【詳解】

將正四面體ABCD放在一個正方體內(nèi)，設正方體的棱長為a,如圖所示,

設正四面體ABCD的外接球的半徑為R,則坦￡=8指萬，得R二巫.因為正四面體ABCD的外接球和正方體的

3

外接球是同一個球，貝!I有底=2R=2#,；.a=2夜.而正四面體ABCD的每條棱長均為正方體的面對角線長，

所以，正四面體ABCD的棱長為0a=20x0=4,因此，這個正四面體的表面積為4x避《=16后.

4

故選：B.

【點睛】

本題考查球的內(nèi)接多面體，解決這類問題就是找出合適的模型將球體的半徑與幾何體的一些幾何量聯(lián)系起來，考查計

算能力，屬于中檔題.

12.D

【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.

【詳解】

對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析3分，乙的數(shù)據(jù)分析5分，甲低于乙，故A選項錯誤.

對于B選項，甲的建模素養(yǎng)3分，乙的建模素養(yǎng)4分，甲低于乙，故B選項錯誤.

對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理5分，不是最差，故C選項錯誤.

對于D選項，甲的總得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的總得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素養(yǎng)整

體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.

故選：D

【點睛】

本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.130.15.

【解析】

由題意可得顧客需要支付的費用，然后分類討論，將原問題轉化為不等式恒成立的問題可得X的最大值.

【詳解】

⑴尤=10,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒，需要支付（60+80）-1（）=130元.

⑵設顧客一次購買水果的促銷前總價為>元，

y<120元時，李明得到的金額為yx80%，符合要求.

丁2120元時,有（y一力*80%2〉*70%恒成立,即86—力27乂%42,即*4（看］=15元.

8I87min

所以X的最大值為15.

【點睛】

本題主要考查不等式的概念與性質、數(shù)學的應用意識、數(shù)學式子變形與運算求解能力,以實際生活為背景，創(chuàng)設問題情

境，考查學生身邊的數(shù)學，考查學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

14.V15

【解析】

結合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用

焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.

【詳解】

方法1：由題意可知|OF|=|QM|=c=2,

由中位線定理可得|尸制=21OM|=4,設P（x,y）可得（x-2>+尸=16,

22

聯(lián)立方程工+匯=1

95

321

可解得x=-二,x=一（舍），點P在橢圓上且在x軸的上方,

22

z姮

求得P'所以'kpF==

2

y

方法2：焦半徑公式應用

解析1：由題意可知|0F|=|0M|=c=2,

由中位線定理可得|「制=21|=4,即。—3,=4n4=—萬

zc岳

求得P-1,丫廠，所以號＞「=3-=屏?

k7—

2

【點睛】

本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系，利用數(shù)形結合思想，是解答解析幾何問題的

重要途徑.

15.（-oo,161n2-24）

【解析】

確定函數(shù)y=/（x）的定義域，求導函數(shù)，利用極值的定義，建立方程，結合韋達定理，即可求/（%）+/（々）的取值

范圍.

【詳解】

函數(shù)/（%）=2。（111%-力+%2的定義域為（0,+8）,尸3=2噌—11+2尸2x=?x+2a,

依題意，方程2/-20￥+2〃=0有兩個不等的正根西、/（其中王〈々），

則△=4〃—16。＞0=々＞4,由韋達定理得％+x2=a＞09西/=〃＞0,

所以

/（%）+/（/）=2aln（M無2）+（工；+工；）-2。（玉+/）

222

2aIn(x,x2)+[(%+x2-2xtx2-2a(x,+x2)2aIna+a-2a-2a=2a\na-a-2a,

令〃(a)=2alna-q2-2a(q>4),則〃[a)=21na-2a,=2一2="~,

aa

當a>4時，h\a)<0,則函數(shù)y="(a)在(4,e)上單調(diào)遞減,則//(a)<>(4)=41n2-8<0,

所以，函數(shù)y=〃(a)在(4,轉)上單調(diào)遞減，所以，〃(a)<〃(4)=161n2—24.

因此，./■(%)+,的取值范圍是(f,161n2-241

故答案為：(f/61n2-24).

【點睛】

本題考查了函數(shù)極值點問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值，將/(%)+/(.)的取值范圍轉化為以。為自變量的函數(shù)

的值域問題是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.

“2乃

16.----

3

【解析】

由題意，可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1,母線長為2；體積為

<=朽2力=2冗；兩個半球的半徑都為1,則兩個半球的體積為匕=：/3=學；則所求幾何體的體積為

考點：旋轉體的組合體.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)S=400兀sinOcos?。，(0<。(工)(2)側面積S取得最大值時，等腰三角形的腰A3的長度為竺遮cm

23

【解析】

試題分析：(1)由條件，AB=20cos6?,80=20cos夕sin。，所以S=400萬isngcos)。，(0<^<-)；(2)

2

5=400%5足仇:(?2。=400不卜由6-41?6),令*=5由6,所以得/(x)=x—1，通過求導分析，得/1(%)在.乂=3

時取得極大值，也是最大值.

試題解析：

(1)設Bi交BC于點D,過G作垂足為E,

在AAOE中，AE=lOcos0>AB=2AE=20cos^,

在AAB￡)中，BD=AB-s\n0=2Ocos0-sin0,

JI

所以S=400%sin8cos2。，(O<0<—)

2

(2)要使側面積最大，由(1)得：

S=400乃sinGcos?。=400〃卜后夕一sin'。)

☆x=sin。，所以得/(x)=x—丁，

由/'(耳=1-3f=0得：%=￥

時，/'(x)>0,當xe時，/'(“<0

所以“X)在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以/(%)在》=乎時取得極大值，也是最大值;

所以當sin。=立時，側面積S取得最大值,

3

20^6

此時等腰三角形的腰長AB=20cos。=20Vl-sin26)=20

3

答：側面積S取得最大值時，等腰三角形的腰AB的長度為也5cm.

3

18.(1)??=2+3x2"''；(2)S?=3(n-l)x2n+1+6

【解析】

(1)根據(jù)遞推公式，用配湊法構造等比數(shù)列{4-2},求其通項公式，進而求出{凡}的通項公式；

(2)求出數(shù)列{2}的通項公式，利用錯位相減法求數(shù)列{2}的前〃項和S,,.

【詳解】

解：(1)+2=2%_|,

2=2(%-2),4-2=3

???{4-2}是首項為3,公比為2的等比數(shù)列.

所以4—2=3x2"-'.?.a,=2+3x2"T.

(2)2=(4+3x2"-4)〃=3〃x2"

S“=3x(1x21+2x22+3x23+…+〃x2")

25?=3x(lx22+2x23+3x24+.--+nx2,,+l)

-S?=3x(2l+22+23+---+2,,-nx2,,+1)=3x2X^-2^-3HX2),+I

S?=3(?-l)x2n+I+6.

【點睛】

本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項公式，錯位相減法求數(shù)列的前〃項和的問題，屬于中檔題.

19.(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2)[Q,b,c,b+c]-證明見解析.(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結果；

(2)設5={。,。,。,〃},其中由OGS知。=0；由0<d-ceS可知4-。=。或4-。=匕，分別討論

兩種情況可的結果；

⑶記〃=1009,則同=2〃+1,設5={(),%,%,???,馬,},由歸納推理可求得內(nèi)=加(1〈注〃)，從而得到

M=2xn=2nm,從而得到S,可知存在元素加滿足題意.

【詳解】

(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.

(2)設5={。,8,。,1},其中a<b<c<d,

則由題意：d+d史S,故OeS,即a=O,

考慮c,d,可知：Gvd—cwS,:.d—c=c'^Ld—c=b,

若d-c=c,則考慮),c,

?：c<h+c<2c-d,：.c—b&S,則。一人=力，

:.S={a,b,2h,4b},但此時3。，5b生S,不滿足題意；

若d—c=b,此時S={O,A,c力+〉},滿足題意，

.-.S={Q,b,c,b+c),其中4c為相異正整數(shù).

(3)記”=1009,則同=2"+1,

首先，OeS,設3={0,和和其中。<玉=加<工2<…<%2〃=M,

分別考慮"和其他任一元素士，由題意可得：M-玉也在S中，

而0<M-x2n_]<M-x2n_2<-,<M-x}<M,=x2n_/(l</<?),

M

對于考慮》2,1，X2n-j，其和大于M,故其差X2“T-X2，T=XJ-X"S,

特別的，々―X|CS,/.x2=2x,=2m,

由工3—X]WS,且X]VX3-X]<%3,/.X3=X2+Xj=3m,

以此類推：x,=zm(l</</!),

M=2xn=2nm,此時S=1O,n,2m,-??,nm,^n+1)加,…,2/wz},

故S中存在元素m,使得s中所有元素均為〃?的整數(shù)倍.

【點睛】

本題考查集合中的新定義問題的求解，關鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進行推理說

明，對于學生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.

20.(1)L(l)=2,￡(2)=6,￡(3)=20,(2)L(〃)=G.

【解析】

(1)根據(jù)機器人的進行規(guī)律可確定“I)、”2)、L(3)的值；

(2)首先根據(jù)機器人行進規(guī)則知機器人沿x軸行進加步,必須沿x軸負方向行進相同的步數(shù)，而余下的每一步行進方向

都有兩個選擇（向上或向下），由此結合組合知識確定機器人的每一種走法關于加，〃的表達式，并得到L（〃）的表達式，然

后結合二項式定理及展開式的通項公式進行求解.

【詳解】

解：⑴"1)=2

〃2)=6,

"3）=2（）,

（2）設加為沿x軸正方向走的步數(shù)（每一步長度為1），則反方向也需要走，"步才能回到）'軸上，所以

m=0,1,2，……（其中為不超過1的最大整數(shù)）

總共走〃步，首先任選加步沿X軸正方向走，再在剩下的〃一加步中選加步沿X軸負方向走,最后剩下的每一步都有兩種

選擇（向上或向下），即C：2n-2m

%=0

ZGVCLJ2f，〃為奇數(shù)

〃-1

ni=0

~T

=0

ZG"d2f,〃為偶數(shù)

n

、2

等價于求（x+1戶中含x"項的系數(shù)，為C；.

(x+l)2,，=(/+2x+l)"=[(2工+1)+12]".(2x+l廠

r=0

其中含x"項的系數(shù)為

「=0

ZC：?：二"2"-2rm為奇數(shù)

n-l

r=0

Zee"-"~2~

r=0

ZC>c%,2滋偶數(shù)

n

.2

r=0

ZC>CL-2"Q,〃為奇數(shù)

匕！r=0

;。=zc；.cm=Q-(〃)

〃為偶數(shù)目

n

2

故“〃)=q.

【點睛】

本題考查組合數(shù)、二項式定理，考查學生的邏輯推理能力，推理論證能力以及分類討論的思想.

21.(1)證明見解析(2)且

5

【解析】

(1)要證明CE_L平面P4O,只需證明CELB4,CE1AD,即可求得答案；

(2)先根據(jù)已知證明四邊形A8CE為矩形，以A為原點，AB為x軸，為)'軸，AP為z軸，建立坐標系A-型，