Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程

Matlab-PDE工具箱有限元法求解偏微分方程在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中，有很多問題都可以歸結(jié)為偏微分方程問題。在物理專業(yè)的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、近代物理課程中都可遇見偏微分方程。偏微分方程，再加上邊界條件、初始條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，只有在很特殊情況下才可求得解析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，采用數(shù)值計(jì)算方法，可以得到其數(shù)值解。偏微分方程基本形式1.橢圓型—V-(cVu)+an=/.拋物型d-V-+=/初始條件F"仆=取(〃).雙曲型d--%-V(cVu)+au=f日廣初始條件工譚。=界(如*8=?'(%)4-本征值方程-V-(eVu}+au-zdu而以上的偏微分方程都能利用PDE工具箱求解。PDE工具箱

PDE工具箱的使用步驟體現(xiàn)的基本思路，包括如下基耳1）建立幾何模型2）定義邊界條件3）定義PDE類型和PDE系4）三角形網(wǎng)格劃分5）有限元求解6）解的圖形表達(dá)以上步驟充分體現(xiàn)在PDE□具欄順序上，如下

如下首先需要選擇應(yīng)用模式，工坦川74日攵擊中：

Setf&rmiGerte^ie￥2》1占『Genitric'Syftem目mrpQii"Wagnrtostatic5心算1的心xiPDEToolbox-[Untiled]DrawB9u-ndar7POtMtsfiSolve-PlotWindowHeSp/\XK=/極口1SKisrit!Scalar或者直接在工具欄上選擇，如下口.田O①I》啕哂|△!電=|4Setf&rmiGerte^ie￥2》1占『Genitric'Syftem目mrpQii"Wagnrtostatic5心算1的心xiPDEToolbox-[Untiled]DrawB9u-ndar7POtMtsfiSolve-PlotWindowHeSp/\XK=/極口1SKisrit!Scalar或者直接在工具欄上選擇，如下口.田O①I》啕哂|△!電=|4；氣［國(guó)會(huì)EditQo^cfflE豌~wm基oumdLavyPjJEMl&gk^okwJ^rdowH』p列表框中各應(yīng)用模式的意義為:TurnoffTi>&lbarHdppOiMfte5^n4m*1KWr*aMl*r24ACs^we^EHe￥K^riegn4?eiCanduzWtHecMCCH舊腌方,g事WDfffusc^一般標(biāo)量模式（為默認(rèn)選AxesLimiu...AxesEqum；Stf-u:ctLiralMe-chanic?,PlaneStrcs;55tructuralMecti^nic5.F!aneStrainACPowerE/ckann自[eetit弓CandiurtiveMediaDCHe占也TV*rH『+rDi^u5ior-①GenericScalar：項(xiàng)）。ApphcadorRefneth②GenericSystem：一般系統(tǒng)模式。③StructuralMech.，PlaneStress：結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)力。StructuralMech.,PlaneStrain：結(jié)構(gòu)力學(xué)平面應(yīng)變。Electrostatics：靜電學(xué)。Magnetostatics：電磁學(xué)。AcPowerElectromagnetics：交流電電磁學(xué)。⑧ConductiveMediaDC：直流導(dǎo)電介質(zhì)。HeatTranfer：熱傳導(dǎo)。Diffusion：擴(kuò)散?？梢愿鶕?jù)自己的具體問題做相應(yīng)的選擇，這里要求解偏微分方程，故使用默認(rèn)值。此外，對(duì)于其他具體的工程應(yīng)用模式，此工具箱已經(jīng)發(fā)展到了ComsolMultiphysics軟件，它提供了更強(qiáng)大的建模、求解功能。另外，可以在菜單Options下做一些全局的設(shè)置，如下OptionsDrawBoundary[d]GridGridSpacing...《SnapAxesLimits...Axes.EqualTurnoffToolbarHelpZoomApplication卜RefreshlGrid：顯示網(wǎng)格lGridSpacing…：控制網(wǎng)格的顯示位置lSnap：建模時(shí)捕捉網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，建模時(shí)可以打開lAxesLimits…：設(shè)置坐標(biāo)系范圍lAxesEqual：同Matlab的命令axesequal命令建立幾何模型使用菜單Draw的命令或使用工具箱命令可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單幾何模型的建立，如下E田由岡各項(xiàng)代表的意義分別為l繪制矩形或方形；l繪制同心矩形或方形；l繪制橢圓或圓；l繪制同心橢圓或圓；

l繪制多義線。這里只繪制一個(gè)圓如下定義邊界條件選擇Boundary菜單下的SpecifyBoundaryConditions…，如下定義PDE類型和PDE系數(shù)選擇PDE菜單下的PDESpecifications…，如下三角形網(wǎng)格劃分選擇Mesh菜單下的InitializeMesh初始化三角形網(wǎng)格，再選擇RefineMesh改進(jìn)初始網(wǎng)格并細(xì)化網(wǎng)格，如下初始化網(wǎng)格

細(xì)化網(wǎng)格

另外還可以進(jìn)一步選擇JiggleMesh微調(diào)網(wǎng)格。最后可以選擇DisplayTriangleQuality顯示三角形網(wǎng)格的質(zhì)量圖，其中1表示質(zhì)量最好，0表示最差，如下有