概率統(tǒng)計(jì)第十五講

概率統(tǒng)計(jì)第十五講第一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日3.3協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)

一.協(xié)方差定義與性質(zhì)

1.協(xié)方差定義

(P129)若r.v.X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,則稱Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}.為X與Y的協(xié)方差,

易見Cov(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).當(dāng)Cov(X,Y)=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。？“X與Y獨(dú)立”和“X與Y不相關(guān)”有何關(guān)系？第二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例2

設(shè)(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服從均勻分布，求證：X與Y不相關(guān)，但不是相互獨(dú)立的。證:第三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日X與Y不相關(guān).而故,X與Y不獨(dú)立.第四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日2.協(xié)方差性質(zhì)

(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b為常數(shù)證:Cov(aX,bY)=E(aXbY)-E(aX)E(bY) =abE(XY)-aE(X)bE(Y) =ab[E(XY)-E(X)E(Y)] =abCov(X,Y)第五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日

(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);證:Cov(X+Y，Z)=E[(X+Y)Z]-E(X+Y)E(Z) =E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)(5)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).證:由方差性質(zhì)(3)的證明過程有注:D(X-Y)=D[X+(-Y)]=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)第六頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日方差與協(xié)方差的定義期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對(duì)比不相關(guān)與獨(dú)立切比雪夫不等式第七頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)對(duì)比期望方差協(xié)方差E(c)=CD(c)=0Cov(c,X)=0E(aX)=aE(X),D(aX)=a2D(X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)當(dāng)X與Y獨(dú)立時(shí)E(XY)=E(X)E(Y)第八頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日EX:設(shè)隨機(jī)變量XB（12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差第九頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日二.相關(guān)系數(shù)

1.定義若r.v.X，Y的方差和協(xié)方差均存在,且DX>0,DY>0，則稱為X與Y的相關(guān)系數(shù).

注：若記稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化，易知EX*=0，DX*=1.且第十頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

(1)|XY|1；

(2)|XY|=1存在常數(shù)a,b使P{Y=aX+b}=1；

(3)X與Y不相關(guān)XY=0;1.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)EXD1x=y解第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日D1第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日以上EX的結(jié)果說(shuō)明了什么？EX2解1)2)第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日可見，若（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立的充分必要條件是X與Y不相關(guān)。第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日4.4矩、協(xié)方差矩陣1.K階原點(diǎn)矩Ak=E(Xk),k=1,2,…而E(|X|k)稱為X的K階絕對(duì)原點(diǎn)矩；2.K階中心矩Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…而E|X-E(X)|k稱為X的K階絕對(duì)中心矩；3.K+l階混合原點(diǎn)矩E(XkYl),k,l=0,1,2,…；4.K+l階混合中心矩E{[XE(X)]k[YE(Y)]l},k,l=0,1,2,…；第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日5.協(xié)方差矩陣1.定義設(shè)X1，…,Xn為n個(gè)r.v.,記cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.則稱由cij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1，…,Xn的協(xié)方差矩陣C。即P94n維正態(tài)分布及性質(zhì)（看書?。┑谑?yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日 設(shè)(X,Y)服從N(1,0,32,