概述第三節(jié)數(shù)學(xué)的魅力

概述第三節(jié)數(shù)學(xué)的魅力1第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日你可能喜歡音樂(lè)，因?yàn)樗袃?yōu)美和諧的旋律；你可能喜歡圖畫(huà)，因?yàn)樗鼜囊曈X(jué)上反映人和自然的美；那么，你應(yīng)該更喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樗褚魳?lè)一樣和諧，像圖畫(huà)一樣美麗，而且它在更深的層次上，揭示自然界和人類(lèi)社會(huì)內(nèi)在的規(guī)律，用簡(jiǎn)潔的、漂亮的定理和公式描述世界的本質(zhì)。數(shù)學(xué)，有無(wú)窮的魅力！

2第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一、漁網(wǎng)的幾何規(guī)律

用數(shù)學(xué)方法可以證明，無(wú)論你用什么繩索織一片網(wǎng)，無(wú)論你織一片多大的網(wǎng)，它的結(jié)點(diǎn)數(shù)(V)，網(wǎng)眼數(shù)(F)，邊數(shù)(E)都必定適合下面的公式：

V+F–E=13第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日多面體的歐拉公式

V+F–E=24第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

數(shù)學(xué)就有這樣的本領(lǐng)，能夠把看起來(lái)復(fù)雜的事物變得簡(jiǎn)明，把看起來(lái)混亂的事物理出規(guī)律。5第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二、天津市南開(kāi)區(qū)

至少有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多“存在性命題”：天津市南開(kāi)區(qū)中一定存在兩個(gè)頭發(fā)根數(shù)一樣多的人。對(duì)于存在性命題，通常有兩類(lèi)證明方法：一類(lèi)是構(gòu)造性的證明方法，即把需要證明存在的事物構(gòu)造出來(lái)，便完成了證明；一類(lèi)是純存在性證明，并不具體給出存在的事物，而是完全依靠邏輯的力量，證明事物的存在。

6第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例如“任意兩個(gè)正整數(shù)都存在最大公約數(shù)”這個(gè)存在性命題，我們可以用“輾轉(zhuǎn)相除法”給出構(gòu)造性的證明，在證明最大公約數(shù)存在的同時(shí)，也給出了求最大公約數(shù)的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“連續(xù)函數(shù)如果在兩個(gè)端點(diǎn)反號(hào)，則中間一定存在零點(diǎn)”這個(gè)存在性命題，我們?cè)诮滩闹锌吹降暮驮谡n堂上聽(tīng)到的，往往是純存在性證明，證明了零點(diǎn)的存在，但并不給出找到零點(diǎn)的方法。7第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日天津市南開(kāi)區(qū)

至少有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多構(gòu)造性證明：

一個(gè)一個(gè)地去數(shù)天津市南開(kāi)區(qū)中所有人的頭發(fā)根數(shù)，一定可以找到兩個(gè)具體的人，不妨稱(chēng)之為張三和李四，他們的頭發(fā)根數(shù)一樣多，便完成了證明。8第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日天津市南開(kāi)區(qū)

至少有兩個(gè)人頭發(fā)根數(shù)一樣多純存在性證明

：“抽屜原理”

證明“367個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日是相同的”

證明“天津市南開(kāi)區(qū)中一定存在兩個(gè)頭發(fā)根數(shù)一樣多的人”

9第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于這個(gè)命題，純存在性證明的方法，比用構(gòu)造性證明的方法更可靠。10第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三、圓的魅力

車(chē)輪，是歷史上最偉大的發(fā)明之一圓，是平面圖形中對(duì)稱(chēng)性最強(qiáng)的圖形周長(zhǎng)與直徑之比是一個(gè)常數(shù)這個(gè)常數(shù)是無(wú)理數(shù)、超越數(shù)面積相等的圖形中圓的周長(zhǎng)最短規(guī)尺作圖化圓為方不可做11第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四、“三角形三內(nèi)角之和等于180度，

這個(gè)命題不好”

這句話(huà)是1978年數(shù)學(xué)大師陳省身先生在北京大學(xué)的一次演講中說(shuō)的，后來(lái)又多次說(shuō)過(guò)。所以，這不是隨便說(shuō)的一句話(huà)。陳先生并沒(méi)有說(shuō)“三角形三內(nèi)角之和等于180度，這個(gè)命題不對(duì)”，而是說(shuō)“這個(gè)命題不好”。

12第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三角形三內(nèi)角之和=180度

n邊形n內(nèi)角之和=？

n邊形n內(nèi)角之和=180度×(n–2)

13第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日n邊形n外角之和=360度不變量曲邊形（向量組的秩；矩陣的秩）

14第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日高斯－博內(nèi)公式當(dāng)積分區(qū)域是整個(gè)閉曲面M時(shí)，有

=2πχ（M）

其中k是高斯曲率，χ（M）是M的歐拉示性數(shù)。這一高斯－博內(nèi)公式的左面是一個(gè)由局部性質(zhì)（曲率）表示的量，但是，公式的右面卻只和曲面整體的拓?fù)洳蛔兞?。高斯－博?nèi)公式的重要意義在于：它用曲面的局部不變量刻畫(huà)了整體性質(zhì)。15第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日五、四色問(wèn)題

四色問(wèn)題也稱(chēng)“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英國(guó)大學(xué)生F．古色利提出。他在為一張英國(guó)地圖著色時(shí)發(fā)現(xiàn),為了使任意兩個(gè)具有公共邊界的區(qū)域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫(xiě)信告訴他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉(zhuǎn)而請(qǐng)教他的數(shù)學(xué)老師,杰出的英國(guó)數(shù)學(xué)家德·摩根，希望幫助給出證明。16第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

德?摩根很容易地證明了三種顏色是不夠的,至少要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。

17第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日但德·摩根未能解決這個(gè)問(wèn)題,就又把這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)給了其他數(shù)學(xué)家,其中包括著名數(shù)學(xué)家哈密頓。但這個(gè)問(wèn)題當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起數(shù)學(xué)家的重視。直到1878年,英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了一番思考后，認(rèn)為這不是一個(gè)可以輕易解決的問(wèn)題，并于當(dāng)年在《倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)文集》上發(fā)表了一篇《論地圖著色》的文章,才引起了更大的注意。18第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日1879年，一位英國(guó)律師肯泊在《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，宣布證明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年輕人指出，肯泊的證明中有嚴(yán)重錯(cuò)誤。

19第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)看來(lái)簡(jiǎn)單，且似乎容易說(shuō)清楚的問(wèn)題，居然如此困難，這引起了許多數(shù)學(xué)家的興趣，體現(xiàn)了該問(wèn)題的魅力。實(shí)際上，對(duì)于地圖著色來(lái)說(shuō),各個(gè)地區(qū)的形狀和大小并不重要,重要的是它們的相互位置。下圖中的三個(gè)地圖對(duì)地圖著色來(lái)說(shuō)都是等價(jià)的。從數(shù)學(xué)上看,問(wèn)題的實(shí)質(zhì)在于地圖的“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”。

20第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日一百多年來(lái)許多數(shù)學(xué)家對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行了大量的研究,獲得了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了,對(duì)于不超過(guò)25個(gè)國(guó)家的地圖,四色猜想是正確的。1926年雷諾茲將國(guó)家的數(shù)目提高到27個(gè)。1936年弗蘭克林將國(guó)家的數(shù)目提高到31個(gè)。1968年挪威數(shù)學(xué)家?jiàn)W雷證明了,不超過(guò)40個(gè)國(guó)家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒(méi)有最終證明“四色猜想”。

21第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四色問(wèn)題的解決直到1972年，美國(guó)依利諾大學(xué)的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎(chǔ)上，開(kāi)始用計(jì)算機(jī)進(jìn)行證明。到1976年6月,他們終于獲得成功。他們使用了3臺(tái)IBM360型超高速電子計(jì)算機(jī),耗時(shí)1200小時(shí),終于證明了四色猜想。22第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日這是一個(gè)驚人之舉。當(dāng)這項(xiàng)成果在1977年發(fā)表時(shí),當(dāng)?shù)剜]局特地制作了紀(jì)念郵戳"四色足夠"(FOURCOLORSSUFFICE)，加蓋在當(dāng)時(shí)的信件上。

23第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日拓展了人們對(duì)“證明”的理解由于這是第一次用計(jì)算機(jī)證明數(shù)學(xué)定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個(gè)難題，而且從根本上拓展了人們對(duì)“證明”的理解，引發(fā)了數(shù)學(xué)家從數(shù)學(xué)及哲學(xué)方面對(duì)“證明”的思考。24第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日六、素?cái)?shù)的奧秘自然數(shù)是整個(gè)數(shù)學(xué)最重要的元素。自然數(shù)中有一種特別基本又特別重要的數(shù)，稱(chēng)為“素?cái)?shù)”。素?cái)?shù)是大于1的自然數(shù)中，只能被自己和1整除的數(shù)；大于1的自然數(shù)中不是素?cái)?shù)的都稱(chēng)為“合數(shù)”；1則既不是素?cái)?shù)也不是合數(shù)。25第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日由于在大于1的自然數(shù)中，素?cái)?shù)的因子最少，所以素?cái)?shù)是特別簡(jiǎn)單的數(shù)。又由于一切大于1的自然數(shù)都能夠從素?cái)?shù)通過(guò)乘法得到，所以素?cái)?shù)又是特別基本的數(shù)。素?cái)?shù)很早就被古希臘的數(shù)學(xué)家所研究。2300多年前歐幾里得的幾何《原本》第9卷的定理20，就給出了“素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)”的漂亮證明。26第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日但是，素?cái)?shù)的有些規(guī)律，表述出來(lái)很容易聽(tīng)懂，研究起來(lái)卻出人意料地困難。（當(dāng)然，素?cái)?shù)的有些規(guī)律表述出來(lái)也是相當(dāng)復(fù)雜的。）關(guān)于素?cái)?shù)的規(guī)律，人類(lèi)有許多的“猜想”。至今還有不少關(guān)于素?cái)?shù)的重要猜想，既沒(méi)有被證明，也沒(méi)有被否定。有的猜想的解決，現(xiàn)在看來(lái)可能會(huì)十分遙遠(yuǎn)。有人甚至預(yù)言，“人類(lèi)探尋素?cái)?shù)規(guī)律的歷史，將等同于人類(lèi)的整個(gè)文明史”。27第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日三個(gè)關(guān)于素?cái)?shù)規(guī)律的問(wèn)題

從加法的角度研究素?cái)?shù)從乘法的角度研究素?cái)?shù)找一個(gè)公式來(lái)表示素?cái)?shù)

28第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日從加法的角度研究素?cái)?shù)兩個(gè)猜想：每個(gè)足夠大的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)的和；每個(gè)足夠大的奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)的和。后一個(gè)猜想現(xiàn)在已被證明；前一個(gè)猜想至今卻既沒(méi)有人舉出反例，也沒(méi)有人給出證明。前者就是著名的“哥德巴赫猜想”。29第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日從乘法的角度研究素?cái)?shù)算術(shù)基本定理：任一個(gè)大于1的自然數(shù)，都可以被表示為有限個(gè)素?cái)?shù)（可以重復(fù)）的乘積，并且如果不計(jì)次序的話(huà)，表法是唯一的。算術(shù)基本定理早已被證明，但不是采用“構(gòu)造性”的證明。未解之謎：這個(gè)問(wèn)題是：對(duì)任一個(gè)大于1的自然數(shù)，試給出一個(gè)一般的方法，以便較快地找到有限個(gè)素?cái)?shù)（可以重復(fù)），使它們的乘積等于那個(gè)預(yù)先寫(xiě)出的大于1的自然數(shù)。30第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日下面用“構(gòu)造性”證明的思路，來(lái)試圖找到解決的辦法，同時(shí)也體會(huì)它的困難所在。31第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解決問(wèn)題的困難不嚴(yán)格的地方，或者說(shuō)“跳步”的地方，就在最前面的兩步。即，如何較快地判斷“a是否素?cái)?shù)”；及當(dāng)判斷出a不是素?cái)?shù)后如何較快地找到b，得到a=b×c。解決問(wèn)題的本質(zhì)困難，也在這兩個(gè)步驟。雖然現(xiàn)在有了高速計(jì)算機(jī)，但是對(duì)于很大的數(shù)a，例如200位的數(shù)a，這兩步的計(jì)算仍然很費(fèi)時(shí)日，以至于實(shí)際上是不可能解決問(wèn)題的32第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日這樣的困難，反倒給密碼通訊提供了思路

a=b×c（b、c是兩個(gè)很大的素?cái)?shù)，比如都是100位的大素?cái)?shù)

）在造密碼時(shí)，你可以把a(bǔ)公開(kāi)，但b、c對(duì)外保密，只有“我方”了解。必須知道b、c才能破譯密碼。“敵方”只知道a和密文，就無(wú)法了解密文的意思。要想破譯密文，首先需要把a(bǔ)分解為b×c。但是因?yàn)閍這個(gè)數(shù)很大，以及上面提到的本質(zhì)困難，把a(bǔ)分解為b×c是很費(fèi)時(shí)日的。

33第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日找一個(gè)公式來(lái)表示素?cái)?shù)費(fèi)馬素?cái)?shù)(1640年)Fn=2

∧

2n

+1梅森素?cái)?shù)(1644年)Mn=2n–1

（n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257

）“梅森數(shù)中是否有無(wú)窮個(gè)素?cái)?shù)”的問(wèn)題，也是未解之謎。34第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)于費(fèi)馬素?cái)?shù)，n=5時(shí)，

Fn=4294967297=641×6700417梅森的判斷中有五個(gè)錯(cuò)誤：

n=67、257時(shí)Mn不是素?cái)?shù)；而n=61、89、107時(shí)Mn是素?cái)?shù)。

35第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日科爾：《大數(shù)的因子分解》1903年10月267—1193707721×761838257287267—1=193707721×761838257287科爾一言未發(fā)；會(huì)場(chǎng)上爆發(fā)了熱烈的掌聲。36第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日七、“蒲豐投針”的故事

37第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日八、“化歸”的方法

“化歸”，是把未知的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題；把待解決的問(wèn)題，歸結(jié)為已解決的問(wèn)題，從而解決問(wèn)題的過(guò)程。

波利亞：關(guān)于“燒水”的例子

38第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日九、體會(huì)公式中的數(shù)學(xué)美

可以從公式中，令=推出來(lái)。公式，用“等號(hào)”連接了數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的常數(shù)，反映了數(shù)學(xué)的“統(tǒng)一美”。39第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

M．克萊因（FelixKlein,1849－1925）：

音樂(lè)能激發(fā)或撫慰人的感情，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人聰慧，科學(xué)可以改善生活，而數(shù)學(xué)能做到所有這一切。40第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日【思考題】

請(qǐng)你舉一個(gè)例子，展示數(shù)學(xué)的魅力。41第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日42第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日抓三堆：

有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰(shuí)抓到最后一把誰(shuí)贏。問(wèn)：甲應(yīng)該如何抓？為什么？43第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日提示：

二進(jìn)制44第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日“抓三堆”的二進(jìn)制解法

用二進(jìn)制表示這三堆谷粒數(shù)，寫(xiě)成三行，并上下對(duì)齊，各列相加，列的加法定義為這就是模2加法。（只要是2的倍數(shù)，就記為0）關(guān)于模2加法，可以推廣；比如推廣為模7加法：

例1：如果1號(hào)是星期一，問(wèn)27號(hào)是星期幾？解答：27號(hào)與1號(hào)相差26天，因?yàn)?，說(shuō)明過(guò)去3個(gè)7天之后，再過(guò)5天，這樣27號(hào)這天就是星期一再加上5天，即星期六。（事實(shí)上，這里只要是有7的倍數(shù)，就都可以記為0。）

例2：如果1號(hào)是星期三，問(wèn)27號(hào)是星期幾？（答：星期一）

45第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日[思]：如果9月號(hào)是星期，問(wèn)9月號(hào)是星期幾？46第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日

我們斷言：把三堆谷粒數(shù)均表為二進(jìn)制，寫(xiě)成三行，將位數(shù)對(duì)齊，各列模