（河北專版）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 專題拓展 8.3 幾何最值問(wèn)題（試卷部分）

§8.3幾何最值問(wèn)題中考數(shù)學(xué)

(河北專用)精選ppt一、利用“垂線段最短”求最值好題精練1.(2018秦皇島海港期末,7)直線y=

x-3與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),P是以C(0,1)為圓心,1為半徑的圓上的一動(dòng)點(diǎn),連接PA,PB,則△PAB面積最大值是

()

A.8

B.12

C.

D.

精選ppt答案

C當(dāng)x=0時(shí),y=-3,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-3);當(dāng)y=0時(shí),

x-3=0,x=4,∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).∴AB=

=5.過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D,延長(zhǎng)DC交☉C于點(diǎn)P,此時(shí)△PAB的面積取最大值.∵∠BDC=∠AOB=90°,∠ABO=∠CBD,∴△CBD∽△ABO,∴

=

,∴

=

,∴CD=

.∴S△PAB的最大值=

×5×

=

,故選C.精選ppt2.(2016山東東營(yíng),14,3分)如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,點(diǎn)D在BC上,以AC為對(duì)角

線的所有平行四邊形ADCE中,DE的最小值是

.

答案4解析∵四邊形ADCE是平行四邊形,∴AE∥DC.易知當(dāng)DE⊥BC時(shí),DE最短,此時(shí)DE=AB=4.精選ppt二、利用“軸對(duì)稱”求最值1.(2018天津,11,3分)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是

()

A.AB

B.DE

C.BD

D.AF精選ppt答案

D在正方形ABCD中,連接CE、PC.

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線BD對(duì)稱,∴AP=CP,∴AP+EP的最小值為EC.∵E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),∴DE=BF=

AD.∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE.故選D.思路分析

點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C,連接CE,AP+EP的最小值就是線段CE的長(zhǎng)度;通

過(guò)證明△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于線段AF的長(zhǎng).解后反思

本題考查軸對(duì)稱,正方形的性質(zhì),主要依據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”.只要作出點(diǎn)A(或

點(diǎn)E)關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C(或G),再連接EC(或AG),所得的線段長(zhǎng)為兩條線段和的最小值.精選ppt2.(2017天津,11,3分)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,P是AD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于BP+EP最小值的是

()

A.BC

B.CE

C.AD

D.AC答案

B如圖,連接PC,∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴PB=PC,∴PB+PE=PC+PE,∵PE+PC≥CE,∴當(dāng)P、C、E三點(diǎn)共線時(shí),PB+PE的值最小,最小

值為CE,故選B.

思路分析

連接PC,先證PB=PC,從而可得當(dāng)P、C、E三點(diǎn)共線時(shí),PB+PE的值最小,最小值為CE.精選ppt3.(2015遼寧營(yíng)口,10,3分)如圖,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn),OP=5cm,點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和

射線OB上的動(dòng)點(diǎn),△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,則∠AOB的度數(shù)是

()

A.25°

B.30°

C.35°

D.40°精選ppt答案

B分別作點(diǎn)P關(guān)于OA所在直線、OB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)D、C,連接CD,分別交OA、

OB于點(diǎn)M、N,連接OC、OD,此時(shí)△PMN的周長(zhǎng)最小,如圖所示:

∵點(diǎn)P關(guān)于OA所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為D,關(guān)于OB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為C,∴PM=DM,OP=OD,∠

DOA=∠POA,PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,∴OC=OP=OD,∠AOB=

∠COD,∵△PMN周長(zhǎng)的最小值是5cm,∴CD=5cm,∵OP=5cm,∴OC=OD=CD=5cm,即△OCD是等邊三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.故選B.精選ppt三、利用“隱形圓”求最值1.(2018秦皇島海港一模,13)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3

,點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn),現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊,使點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處,則點(diǎn)B到點(diǎn)C1的最短距離為

()

A.5

B.4

C.3

D.2答案

C將△PCD沿直線PD折疊,則DC=DC1,顯然點(diǎn)C1在以點(diǎn)D為圓心,CD長(zhǎng)為半徑的圓上,

連接BD交☉D于一點(diǎn),這個(gè)交點(diǎn)到點(diǎn)B的距離即為點(diǎn)B到點(diǎn)C1的最短距離,∵AB=CD=3,BC=3

,∴BD=

=

=6,∴點(diǎn)B到點(diǎn)C1的最短距離=6-3=3,故選C.精選ppt2.(2014四川成都,24,4分)如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD邊的中點(diǎn),N是AB邊

上一動(dòng)點(diǎn),將△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN,連接A'C,則A'C長(zhǎng)度的最小值是

.

答案

-1精選ppt解析過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD,交CD的延長(zhǎng)線于F.由題意可知MA、MA'是定值,A'C的長(zhǎng)度最小時(shí),A'在MC上(如圖).∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠A=

60°,M是AD的中點(diǎn),∴MD=MA=1,∠MDF=60°.∴MF=MDsin60°=

,DF=MDcos60°=

.∴CF=CD+DF=

.在Rt△MFC中,由勾股定理得MC=

=

.∵△AMN沿MN所在直線翻折得到△A'MN,∴MA'=MA=1.∴A'C=MC-MA'=

-1.

精選ppt3.(2015廣東梅州,23,10分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn).若等

腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到等腰Rt△AD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤180°),記直線BD1與CE

1的交點(diǎn)為P.(1)如圖1,當(dāng)α=90°時(shí),線段BD1的長(zhǎng)等于

,線段CE1的長(zhǎng)等于

;(直接填寫結(jié)果)(2)如圖2,當(dāng)α=135°時(shí),求證:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;(3)①設(shè)BC的中點(diǎn)為M,則線段PM的長(zhǎng)為

;②點(diǎn)P到AB所在直線的距離的最大值為

.(直接填寫結(jié)果)

精選ppt解析(1)2

;2

.

(2分)(2)證明:∵等腰Rt△AD1E1是由等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°得到的,∴AD1=AE1,∠D1AB

=∠E1AC=135°,

(3分)又AB=AC,∴△D1AB≌△E1AC.

(4分)∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA.

(5分)記直線BD1與AC交于點(diǎn)F,∴∠BFA=∠CFP,

(6分)∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.

(7分)(3)①2

;

(8分)②1+

.

(10分)(提示:①點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上,得PM=2

;②D1,E1在以A為圓心,AD為半徑的圓上,當(dāng)BD1所在直線與圓A相切時(shí),直線BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線AB的距離最大,此時(shí)四邊形AD1PE1是正

方形,PD1=2,PB=2+2

,作PG⊥AB,交AB所在直線于點(diǎn)G,則PG=1+

為所求)精選ppt四、數(shù)形結(jié)合法求最值1.(2015吉林長(zhǎng)春,14,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在拋物線y=x2-2x+2上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)A作AC

⊥x軸于點(diǎn)C,以AC為對(duì)角線作矩形ABCD,連接BD.則對(duì)角線BD的最小值為

.

答案1解析∵四邊形ABCD是矩形,∴AC=BD.當(dāng)A在拋物線的頂點(diǎn)處時(shí),AC最短,此時(shí)A(1,1),AC=1,∴BD=1.即對(duì)角線BD的最小值為1.精選ppt2.(2014湖北鄂州,16,3分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1,點(diǎn)M,N分別在BC,CD上,使得△CMN的

周長(zhǎng)為2,則△MAN的面積的最小值為

.

答案

-1精選ppt解析延長(zhǎng)CB至L,使BL=DN,則Rt△ABL≌Rt△ADN,故AL=AN,∵CM+CN+MN=2,CD+CB=CM+CN+DN+MB=1+1=2,∴MN=DN+MB,又DN=BL,∴MN=BL+BM=ML,在△AMN和△AML中,

∴△AMN≌△AML,∴∠MAN=∠MAL=45°,設(shè)CM=x,CN=y,MN=z,則x2+y2=z2,∵x+y+z=2,則x=2-y-z,∴(2-y-z)2+y2=z2,整理得2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0,∴Δ=4(z-2)2-32(1-z)≥0,即(z+2+2

)(z+2-2

)≥0,又∵z>0,∴z≥2

-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2-

時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)S△AMN=S△AML=

ML·AB=

z.因此,當(dāng)z=2

-2,x=y=2-

時(shí),S△AMN取到最小值

-1.精選ppt一、利用“垂線段最短”求最值(2014新疆烏魯木齊,10,4分)如圖,半徑為3的☉O內(nèi)有一點(diǎn)A,OA=

,點(diǎn)P在☉O上,當(dāng)∠OPA最大時(shí),PA的長(zhǎng)等于

()

A.

B.

C.3

D.2

教師專用題組答案

B∵OA、OP是定值,∴在△OPA中,當(dāng)∠OPA取最大值,即PA⊥OA時(shí),PA取最小值.在直角三角形OPA中,OA=

,OP=3,∴PA=

=

.故選B.精選ppt二、利用“軸對(duì)稱”求最值1.(2018新疆,9,5分)如圖,點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M,N分別是AB,

BC邊上的中點(diǎn),則MP+PN的最小值是

()A.

B.1

C.

D.2答案

B如圖,取AD的中點(diǎn)M',連接M'N,M'P,則有MP=M'P.MP+PN的最小值為線段M'N的長(zhǎng),

即菱形邊長(zhǎng)1.故選B.

思路分析

先確定M關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)M‘,再借助兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)確定線段和的最小值.解題關(guān)鍵

解決本題的關(guān)鍵是要借助軸對(duì)稱將MP+PN轉(zhuǎn)化為M'P+PN,進(jìn)而借助兩點(diǎn)之間線

段最短來(lái)解決.精選ppt2.(2017山東泰安,24,3分)如圖,∠BAC=30°,M為AC上一點(diǎn),AM=2,點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn),PQ⊥

AC,垂足為點(diǎn)Q,則PM+PQ的最小值為

.

答案

解析作點(diǎn)M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)N,過(guò)N作NQ⊥AC于Q,交AB于P,則NQ的長(zhǎng)即為PM+PQ的最小值,設(shè)MN與AB交于點(diǎn)D,則MD⊥AB,DM=DN,∵∠NPB=∠APQ,∴∠N=∠BAC=30°,∵∠BAC=30°,AM=2,∴MD=

AM=1,∴MN=2,∴NQ=MN·cos∠N=2×

=

.即PM+PQ的最小值為

.精選ppt3.(2014四川資陽(yáng),15,3分)如圖,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,E是AB邊上的一點(diǎn),且AE=3,點(diǎn)Q為

對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),則△BEQ周長(zhǎng)的最小值為

.

答案6解析連接BD,DE,∵四邊形ABCD是正方形,∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱,∴DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值,∵DE=BQ+QE=

=

=5,∴△BEQ周長(zhǎng)的最小值=DE+BE=5+1=6.精選ppt三、利用“隱形圓”求最值1.(2017四川德陽(yáng),17,3分)如圖,已知☉C的半徑為3,圓外一定點(diǎn)O滿足OC=5,點(diǎn)P為☉C上一動(dòng)

點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線l上有兩點(diǎn)A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,則AB的最小值為

.

答案4精選ppt解析如圖,連接OP,PC,OC,

∵OP+PC≥OC,∴當(dāng)點(diǎn)O,P,C三點(diǎn)共線時(shí),OP最短,如圖,∵OA=OB,∠APB=90°,

∴點(diǎn)P在以O(shè)為圓心,AB長(zhǎng)為直徑的圓上,∴☉O與☉C相切時(shí),OP最短,∵OC=5,CP=3,∴OP=5-3=2,∴AB=2OP=4.精選ppt2.(2015湖北武漢,10,3分)如圖,△ABC,△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC、EF的中

點(diǎn),直線AG、FC相交于點(diǎn)M.當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí),線段BM長(zhǎng)的最小值是

()

A.2-

B.

+1C.

D.

-1精選ppt答案

D取AC的中點(diǎn)O,連接AD、DG、BO、OM,如圖.

∵△ABC,△EFG均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC、EF的中點(diǎn),∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA

=DG,DC=DF,∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC,

=

,∴△DAG∽△DCF,∴∠DAG=∠DCF.∴A、D、C、M四點(diǎn)共圓.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得BO≤BM+OM,即BM≥BO-OM,當(dāng)M在線段BO與該圓的交點(diǎn)處時(shí),線段BM的長(zhǎng)最小,此時(shí),BO=

=

=

,OM=

AC=1,則BM=BO-OM=

-1.故選D.精選ppt四、數(shù)形結(jié)合法求最值1.(2017云南,23,12分)已知AB是☉O的直徑,PB是☉O的切線,C是☉O上的點(diǎn),AC∥OP,M是直徑

AB上的動(dòng)點(diǎn),A與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值為d,B與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值

為f.(1)求證:PC是☉O的切線;(2)設(shè)OP=

AC,求∠CPO的正弦值;(3)設(shè)AC=9,AB=15,求d+f的取值范圍.

精選ppt解析(1)證明:如圖1,連接OC,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∵AC∥OP,∴∠A=∠BOP,∠ACO=∠COP,∴∠COP=∠BOP,∵PB是☉O的切線,∴∠OBP=90°.在△POC與△POB中,

∴△COP≌△BOP,∴∠OCP=∠OBP=90°,∴PC是☉O的切線.(2)如圖1,過(guò)O作OD⊥AC于D,則∠ODC=∠OCP=90°,CD=

AC,∵AC∥OP,∴∠OCA=∠COP,∴△ODC∽△PCO,∴

=

,∴CD·OP=OC2,圖1精選ppt∵OP=

AC,∴OP=3CD,即CD=

OP,∴

OP·OP=OC2,∴

=

,∴sin∠CPO=

=

.(3)解法一:如圖1,連接BC,∵AB是☉O的直徑,∴AC⊥BC,∵AC=9,AB=15,∴BC=

=12,A與直線CM上的點(diǎn)連線距離的最小值即為點(diǎn)A到直線CM的垂線段的長(zhǎng),B與直線CM上的點(diǎn)連

線距離的最小值即為點(diǎn)B到直線CM的垂線段的長(zhǎng).當(dāng)M與A重合時(shí),d=0,f=BC=12,∴d+f=12,當(dāng)CM⊥AB時(shí),d=AM,f=BM,∴d+f=AB=15,當(dāng)M與B重合時(shí),d=9,f=0,∴d+f=9,∴d+f的取值范圍是9≤d+f≤15.解法二:如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥直線MC于點(diǎn)E