2021年豐臺(tái)高三二模數(shù)學(xué)試題

心有多大，舞臺(tái)就有多大年數(shù)

學(xué)

2021.04本試卷滿分共150分考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前考生務(wù)必先將答題卡的學(xué)校級(jí)級(jí)姓名考證號(hào)用黑色字跡簽字筆填寫清，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)姓名，在題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好形碼。2.本次考試所有答題均在答題上完成。選擇題必須使用2鉛筆以正確填涂方式將各題對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦除干后再選涂其它選項(xiàng)。非選擇題必須使用標(biāo)準(zhǔn)黑色字跡簽字筆寫，要求字體工整、字跡清楚。3.請(qǐng)嚴(yán)格按照答題卡上題號(hào)在相答題區(qū)內(nèi)作答出答題區(qū)域書寫的答案無效在試卷草稿上答題無效。4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要訂、不要折疊、不要破損。分（

共分）一、單項(xiàng)選擇:認(rèn)真審題，仔細(xì)想一想，然后選出唯一正確答案。10小題，每小題4分，共40分.（1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)

i

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）第一象限（）第三象限

（）第二象限（）第四象限（2下列函數(shù)中，在區(qū)間

(

上單調(diào)遞增的是（）)

（）y

（）

（）

（）知向量ab)，若a

b

，則（）

（）

12（）

12

（）4（）在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，角

以O(shè)x

為始邊，它的終邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓的交點(diǎn)為2P,y)，30（A（）

23

（B（）

23

心有多大，舞臺(tái)就有多大（）知

是三個(gè)不同的平面，b

是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）若

,

，則

（）若

a

，則‖b（）若

a

b

，則‖b

（）若

a

a

，則

（）“是直線x與線相互垂直”的（）充分而不必要條件（）充分必要條件

（）必要而不充分條件（）既不充分也不必要條件（）知雙曲線

22

2的漸近線與圓x

相切，則（）

（）（）

33

（）

13（）函數(shù)log(22)的象向下平移單位長度，再向右平移個(gè)位長度得到函數(shù)(x)的圖象，則(（）log(2x（）log

（）x（）logx（）中學(xué)舉行“十八而志,青萬歲”成人禮，現(xiàn)在需要從個(gè)言類節(jié)目和6個(gè)唱類節(jié)目中各選個(gè)節(jié)目進(jìn)行展演，則語言類節(jié)目A和唱類節(jié)目至有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是（）（）60（）如，半橢

（）45（）22x2x與半橢圓0)組成的曲線稱為“果圓”，其中2b22,b

．AA1

和B,B1

分別是“果圓”與x軸

y

軸的交點(diǎn)．給出下列三個(gè)結(jié)論：①

c2b

；②若|AAB2

，則:b:；③若“果圓”右側(cè)部分上存在點(diǎn)

P

，使得PA12

，則

152a2

.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）①②（）②③

（）①③（）①②③

第二部分

心有多大，舞臺(tái)就有多大）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.（）函數(shù)

fx)

的值域?yàn)椋ǎ蛘f明“若

,,

均為正數(shù)，則

bbaa

”是假命題的一組整數(shù),的依為_____（）知點(diǎn)

P(x,y)0

為拋物線:x

上的點(diǎn)，且點(diǎn)

到拋物線C焦點(diǎn)的距離為，則

||0

_____．（）趙爽是我國古代數(shù)家，大約在公元222年他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“趙弦圖”——由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．類比“趙弦圖”，可構(gòu)造如圖2所的圖形它是由3全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形．在△中，若2

，則AB_____圖1

圖2（）函數(shù)()是義域?yàn)镽的奇數(shù)，滿足f())2

，且當(dāng)[0,時(shí)f()

sinx

，給出下列四個(gè)結(jié)論：①

f(；②是函數(shù)()的期；③函數(shù)f()在間(上單調(diào)遞增；④函數(shù)g(x)f(x)x所有零點(diǎn)之和為其中，正確結(jié)論的序號(hào)是____

心有多大，舞臺(tái)就有多大三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（小13分）已知數(shù)列

{}n

中，a

，且滿足.（Ⅰ）數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列{}n

的前項(xiàng)

.從①a

a(N

)②

nN

)

2(N

)這個(gè)條件中選擇一個(gè)充在上面的問題中并作.

心有多大，舞臺(tái)就有多大（小14分）某公司開發(fā)了一款手機(jī)應(yīng)用軟件，為了解用戶對(duì)這款軟件的滿意度，推出該軟件3個(gè)后，從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽查了1000名將所得的滿意度的分?jǐn)?shù)分成7組：，[40,50)，，理得到如下頻率分布直方圖．根據(jù)所得的滿意度的分?jǐn)?shù)，將用戶的滿意度分為兩個(gè)等級(jí)：滿意度的分?jǐn)?shù)滿意度的等級(jí)

[30,60)不滿意

滿意（Ⅰ）從使用該軟件的用戶中隨機(jī)抽取1人估計(jì)其滿意度的等級(jí)為“滿意”的概率；（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，從使用該軟件的所有用戶中隨機(jī)抽取2人以表示這2人中滿意度的等級(jí)為“滿意”的人數(shù)，求的布列和數(shù)學(xué)期望

心有多大，舞臺(tái)就有多大（小14分）如圖多面體ABCDEF中形和都直角梯形ABCDABEFDEADCEDC

2

M

為棱

上一點(diǎn)

與棱

交于點(diǎn)

．（Ⅰ）求證：面；（Ⅱ）求證：

；（Ⅲ）若平面與面所成銳二面的余弦值為，求3FC

的值．（小15分）已知函數(shù)()2ax)lnx

12

ax(a．（Ⅰ）若a

，求f的小值；（Ⅱ）求函數(shù)f

的單調(diào)區(qū)間．

心有多大，舞臺(tái)就有多大（小15分）已知橢圓C:y，點(diǎn)(1,0)的線l交圓C于點(diǎn)A,．（Ⅰ）當(dāng)直線lx軸直時(shí)，求|

；（Ⅱ）在x軸上是否存在定點(diǎn)P，為值？若存在，求點(diǎn)P的標(biāo)及的；若不存在，說明理由．

（小14分）設(shè)數(shù)集S滿任x,有

≥

心有多大，舞臺(tái)就有多大②任意,有或x稱數(shù)集具性質(zhì).（Ⅰ）斷數(shù)集是具有性質(zhì)P，說明理由；（Ⅱ）若數(shù)集B{,,}

且a(i,nii

具有性質(zhì).(當(dāng)2021時(shí)，求證：a,1

,n

是等差數(shù)列；(當(dāng),1

,n

不是等差數(shù)列時(shí)，寫出n的大值.（結(jié)論不需要證明（考生務(wù)必將答案答答題卡上，在試卷上作答無效）豐區(qū)

年三級(jí)二期合習(xí)二數(shù)學(xué)

答案2021.04一選題共10題每題4，40分題號(hào)

123456

7

8

9

10答案

BDAA

A

C

D

C

D二填題共5小題每題5，25分[2]14．13

121,2案不唯一）15①③④

13

n*n*n*n心有多大n*n*n*n三解題共6小題共85分）16.本小題13解：選①（Ⅰ）因?yàn)?n)n所以數(shù){}以1首項(xiàng)2公比的等比數(shù).所以.n所以數(shù){}通項(xiàng)公式為an

n

(n).（Ⅱ）a

,所以數(shù){}2項(xiàng)2比的等比數(shù).n所以n

n

)

nn

………………13選②（Ⅰ）因?yàn)?,nn所以數(shù){}以1首項(xiàng)2公差的等差數(shù).所以ann所以數(shù){}通項(xiàng)公式為anN)n（Ⅱ）n

n

n

,所以S(1)

(1(11

n

)

2

…13選③（Ⅰ）因?yàn)?(n),n所以anN.nn兩式相減得aNn

)

,即(nn).n又因?yàn)樗詳?shù){}常數(shù).所以數(shù){}通項(xiàng)公式為n

)

.（Ⅱ）an

n

,所以n

n

)

n

………………13分17.本小題14分）解據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本[60,100]的率為：(0.0300.0100.005)0.6所以從使用該軟件的用戶中隨機(jī)取1其滿意度的等級(jí)為“意”概率約.6.（Ⅱ）用頻率估計(jì)概率，“”的概率為，“滿”概率為X可能取值為P(X0)0()()2；5

.

心有多大，舞臺(tái)就有多大3PX()()5

；39P(X2)(()05所以X的分布列為

12P

數(shù)學(xué)期望

412X252525

………14分（1814（Ⅰ）證明：因?yàn)?/p>

ADEEDC

2

，所以ADED因?yàn)锳DDCDC平面所以EDABCD………………4（Ⅱ）證明：因?yàn)镃DCDEF所以EF.因?yàn)锳B，所以四邊形是平行四邊.所以AEBF.因?yàn)锽CF，BCF所以AE平面因?yàn)锳E面AEM平面AEM平面BCF，所以MN

．………………8（Ⅲ）解：EDADEDADDC所以圖建立空間直角坐標(biāo)系由ABDC可知DA(2,0,0)，(2,1,0)(0,2,0)(0,0,2)F(0,1,2)AE2,0,2)FC,FM設(shè)1)FC

zEFM則EMEF(0,1設(shè)m(,,z)是面向量，0,則即(10,

A

DNB

所以

因?yàn)閚(1,0,0)平

的法向量，

心有多大，舞臺(tái)就有多大所以

,

mmn(1+

2

2

2

.1.因?yàn)?，?所以平面

所成銳二面角的余弦值為時(shí)，3

FM．FC………………14（1915解數(shù)f()的義域若a

，則

f(x)2ln

12

，f')lnx令f'(，得，隨的變化，f'()f(x況如下表所示xf'(f(

(0,1)-單調(diào)遞減

1極小值f

(1,+單調(diào)遞增所以f()小值為f(1)（Ⅱ）因?yàn)閒')x)ln(，

12

．………6當(dāng)a

時(shí)，

，令f'(，lnx以，f(x間遞增，令f'(，得lnx以0x

，f(區(qū)上單調(diào)遞減．當(dāng)0

時(shí)，令f'(x)，得，隨的變化，f'()

，f()變化情況如下表所示(0,)a(a,1)

1

(1,f'(x)

+

-

+f(

單調(diào)遞增f()

單調(diào)遞減f遞增所以f(x)在)遞增，在區(qū)(a,1)上調(diào)遞減，在區(qū)間遞增．當(dāng)

時(shí)，因?yàn)閒'(x)2(，當(dāng)且僅當(dāng)x，f'(所以f(x)在間遞增．當(dāng)a

時(shí)，令f'(x)0得或隨x的變化，f'()f(x化情況如下表所示

(0,1)

1

aa(,f'(x)

+

0

-

0

+f(

單調(diào)遞增f

單調(diào)遞減f()

單調(diào)遞增所以f(x)在上單調(diào)遞增，在區(qū)(1,a)上調(diào)遞減，在區(qū)間(遞增．綜上所述，當(dāng)

時(shí)，f(x)單調(diào)增區(qū)間遞減區(qū)間當(dāng)0

時(shí)，f(x)單調(diào)增區(qū)間(0,a，遞減區(qū)間(a,1)當(dāng)

時(shí)，f(x)的調(diào)遞增區(qū)間無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)

時(shí)，f(x)單調(diào)增區(qū)間，(a,遞減區(qū)間(1,．

x112心有多大，舞臺(tái)就有多大x112…………1520.本小題15分）解直線l斜不存在時(shí)，其方程為xxy由633

.所|AB

23

（Ⅱ）假設(shè)存在Pm,0)

，使PA為定.①當(dāng)直線l設(shè)直線l

斜率存在時(shí)，的方程為：y(x

，AyB(y由(

得)xk2k則xx22

所以PAy))12x)y121(x)121

2

2

(1)(x1(x)121

2

2

12

2

()1

2k2)2112

(k2)(2)(k1)(3k22k2)k2k21

(3

2

2

2

若為常數(shù)，只需

3m252解得，此時(shí)3

5所以存在點(diǎn)(使3

2為定值9②當(dāng)直線l與

軸垂直時(shí)，6不妨設(shè)((355646當(dāng)點(diǎn)(,0)),)3952綜上，存在點(diǎn)(,0)使PA值………15分3921.本小題14分）解為4所以數(shù)集有性質(zhì)P……

心有多大，舞臺(tái)就有多大（Ⅱ

a

a

，所以a

.所以，a.因?yàn)閍(i,2020)ii所以.所以(i.i所以aB(i2,3,.i因?yàn)?a，所以a(i2,3,.i所以.因?yàn)椋詀(i.i所以a(i.i因?yàn)?a，所以.否則a(