初中數(shù)學(xué)教材例題與習(xí)題“二次開發(fā)”的策略研究

初中數(shù)學(xué)教材例題與習(xí)題“二次開發(fā)”的策略研究一、問題的提出現(xiàn)實教學(xué)過程中，教師對教材例題與習(xí)題的處理都是簡單的、表面的，對教材例題與習(xí)題“二次開發(fā)”的意識不強，在備課中不能對例題、習(xí)題進行深層次的挖掘、拓展、再創(chuàng)造，在授課時也往往出現(xiàn)一筆帶過、草草了事的教學(xué)現(xiàn)狀。而教材例題與習(xí)題的“二次開發(fā)”能促使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式由“重結(jié)論輕過程”向“過程與結(jié)果”并重的方向發(fā)展，使學(xué)生挖掘隱含問題的本質(zhì)屬性，從而達到“做一題，通一類，會一片”的解題境界。正如數(shù)學(xué)教育家波利亞指出的：“一個有責(zé)任心的教師窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如適當(dāng)選擇某些有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個方面，在指導(dǎo)學(xué)生的解題過程中，提高他們的才智和解題能力?！倍⒑诵母拍罱缍ń滩睦}與習(xí)題的“二次開發(fā)”：主要是指教師和學(xué)生在課程實施過程中依據(jù)課程標準對教材中的例題與習(xí)題的背景、條件和結(jié)論、解法以及題目中的基本圖形進行再度發(fā)展和創(chuàng)新，從而使之更好地適應(yīng)具體的教育教學(xué)情景和學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。它以既有教材為依托，基于教材，又超越教材，可以從三個向度上展開：一是對既有教材例題與習(xí)題靈活地、創(chuàng)造性地、個性化地運用;二是對其它教學(xué)素材資源的選擇、整合和優(yōu)化;三是自主開發(fā)其它新的教學(xué)資源。三、理論依據(jù)1.再創(chuàng)造理論荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認為：數(shù)學(xué)知識既不是教出來的，也不是學(xué)出來的，而是研究出來的。他強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個經(jīng)驗、理解和反思的過程，強調(diào)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)活動對學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要性，強調(diào)激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的重要性，并認為做數(shù)學(xué)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)的重要條件。弗賴登塔爾說的“再創(chuàng)造”，其核心是數(shù)學(xué)過程再現(xiàn)，是通過教師精心設(shè)計、創(chuàng)設(shè)問題情景，通過學(xué)生自己動手實驗研究、合作商討，來探索問題的結(jié)果并進行組織的學(xué)習(xí)方式。2.波利亞解題思想美國著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞認為：學(xué)習(xí)任何東西的最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。為了有效地學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)在給定的條件下，盡量多地自己發(fā)現(xiàn)要學(xué)習(xí)的材料。波利亞強調(diào)，要成為一個好的解題者，如果“頭腦不活動起來，是很難學(xué)到什么東西的，也肯定學(xué)不到更多的東西”，“學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它”，最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去探索、去“發(fā)現(xiàn)”。只有學(xué)習(xí)者自己的思維活動起來了，他在學(xué)習(xí)中才會尋求到歡樂。有了成功的體驗，他對數(shù)學(xué)知識本身才可能產(chǎn)生內(nèi)在的興趣。四、開發(fā)策略筆者認為，教材例題與習(xí)題的“二次開發(fā)”可以重點對例題與習(xí)題的題目背景、題目條件與結(jié)論、題目的解法、題目中的基本圖形進行“二次開發(fā)”。教師結(jié)合案例分析，幫助學(xué)生圍繞新課程標準進行探究，以期促進學(xué)生學(xué)會從多層次、廣視角、全方位的認識并研究問題，從而提高課堂教學(xué)的有效性。（一）情境創(chuàng)設(shè)生活化《初中數(shù)學(xué)新課程標準》指出：教師應(yīng)該充分利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到生活、生產(chǎn)實踐的現(xiàn)實生活中，以幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值。教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，從他們的生活實際出發(fā)，對題目背景進行“二次開發(fā)”，在數(shù)學(xué)與生活中架起橋梁，使學(xué)生在解題時感到有趣，有更多的機會接觸生活與生產(chǎn)實踐中的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識去分析、解決生活中遇到的困難，達到數(shù)學(xué)教育的目的。【案例】如圖，D、E分別是中AB、AC上的點，∽。已知：AD:DB1:2,BC9cm,求DE。（浙教版《數(shù)學(xué)》九（上）P104頁例題2）對題目背景的“二次開發(fā)”：如圖，小亮欲測量一電線桿AB的高度，他站在該電線桿的影子上前后移動，直到他身體影子的頂端正好與電線桿影子的頂端重疊，此時同伴測出小亮與電線桿距離BE12m，小亮的影子長CE4m。已知小亮的身高DE1.7m，（1）圖中△CDE和△CAB是否相似？請說明理由;（2）求電線桿AB的高度。（浙教版九年級上冊4．4-2作業(yè)本29頁第3題）1.改變遮擋物（1）遮擋物為豎直的平面小亮和他的同學(xué)利用影長測量旗桿高度如圖，1m長的直立竹竿的影長為1.5m。測量旗桿落在地上的影子為21m，落在墻上的影長為2m（2）遮擋物為斜坡小亮在下午實踐活動課時,測量西教學(xué)樓的旗桿高度．如圖,當(dāng)太陽從西照射過來時,旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的斜坡E處,測得在地面上的影長BD20米,DE2米,坡面與水平地面的夾角為30°。同一時刻一根長為1米的直立竹竿的影長為2．6米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（結(jié)果保留兩個有效數(shù)）（3）遮擋物的面數(shù)增加小亮在下午實踐活動課后,測量西教學(xué)樓的旗桿高度。如圖,當(dāng)太陽從西照射過來時,旗桿AB的頂端A的影子落在教學(xué)樓前的平地C處,測得在平地上EC2米,地面上的影長BD20米,DE4米,坡面與水平地面的夾角為30°。同一時刻一根長為1米的直立竹竿的影長為3．2米，根據(jù)這些數(shù)據(jù)求旗桿AB的高度（結(jié)果保留兩個有效數(shù)）（4）無遮擋物小亮在下午實踐活動課,測量東教學(xué)樓前水杉樹的高度。如圖,當(dāng)太陽從西照射過來時,小樹AB的頂端A的影子落在司令臺的斜坡處,測得在地面上的影長BD2米,坡面上影長DE4米;同一時刻一根長為1米的直立竹竿的在平地上影長為2．6米，在坡面上影長3米為根據(jù)這些數(shù)據(jù)求樹的高度。（精確到0．1米）2．移動參照物（1）參照物的移動（A）晚上，小亮晚自修結(jié)束回寢室途中，走到C處時，發(fā)現(xiàn)在點B上方的路燈A照得自己的影子CD的長為2米；繼續(xù)往前走4米到達E處時，這時自己的影子EF長為4米,已知小亮的身高為1.（2）參照物的移動（B）小亮探究影子長度的變化規(guī)律，當(dāng)他走到離路燈2米處時，其影子的頂點標記為H1，此時影長為米；當(dāng)他繼續(xù)走到H1時，其影子的頂點標記為H2，此時影長為米；當(dāng)他繼續(xù)走到H2時，其影子的頂點標記為H3，此時影長為米；按這樣的規(guī)律繼續(xù)走當(dāng)他走到Hn,其影子的頂點標記為Hn+1,此時影長為米。（二）解題思路多元化在長期的教學(xué)實踐中使我們體會到：“練不在多，而在于精”。恰當(dāng)且適量地采用“一題多解”的教學(xué)，進行多角度的解題思路分析，探討解題規(guī)律和解題方法與技巧，對學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識形成知識網(wǎng)絡(luò)，提高解題技能，發(fā)展邏輯思維，提高分析問題解決問題的能力十分有益?！景咐吭囶}來源（浙教版九年級上冊練習(xí)題）已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且ABBC,E為弧BC上的一點，求AEBE+CE。（1）利用截長的方法解題解析：在AE上取點F，使得AFBE,證明≌(SAS)，得到CFCE，說明是等邊三角形，得到EFEC，即可得，AEBE+CE（2）利用補短的方法解題解析：延長EB至點F,使BFEC,證明≌(SAS)，得到，AEAF，然后說明是等邊三角形，得到AEEFBE+BF，即AEBE+CE（3）利用旋轉(zhuǎn)的方法解題解析：將順時針旋轉(zhuǎn)，則≌，得到是等邊三角形，，可得到，即點F、B、E三點共線，則AEEB+BF即：AEEB+EC（4）利用平行的方法解題解析：過點C作AE的平行線CF交圓于點F，連接AF。說明四邊形CEGF是平行四邊形，得到和是等邊三角形，BEEGBG,AFGFAG,AFEC得到AEEB+EC（5）利用托勒密定理解題解析：利用托勒密定理可得，是等邊三角形∴ABACBC∴BE+ECAE圖圖（1）圖（5）圖圖（4）圖圖（2）（3）（三）典型題目變式化數(shù)學(xué)教育家華東師范大學(xué)張奠宙教授指出：變式教學(xué)是我國具有特色的教學(xué)方法，應(yīng)該發(fā)揚光大。數(shù)學(xué)教學(xué)方法在不斷改進、創(chuàng)新，但變式教學(xué)理應(yīng)得到進一步的重視。數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，應(yīng)該是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三，應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段。所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化?！景咐吭囶}來源（浙教版九年級上冊練習(xí)題）已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且ABBC,E為弧BC上的一點，求證AEBE+CE?！痉治觥勘绢}知識點（1）等邊三角形和全等的相關(guān)知識；（2）利用截長補短的解題方法。變式1：已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且ABBC,E為圓上不同于A、B、C的任意一點，求證AEBE+CE。變式2：已知如圖，是等邊三角形，,求證AEBE+CE變式3：已知如圖，是等邊三角形，，A,B,E,C四點共圓嗎？變式4變式4變式3變式5變式4：已知在圓O中，A為優(yōu)弧BC的中點，且ABBC,E為圓上不同于A、B、C的任意一點，請你寫出AE、BE、CE之間的數(shù)量關(guān)系？變式5變式5：已知在圓O中，四邊形ABCD是正方形，E是不同于A、B、C、D的任意一點，，請你寫出AE、BE、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系？解析：連結(jié)AC,,，同理可得所以,而d等于正方形邊長的倍，即為定值。變式6：由變式4、變式5你能得出一個什么結(jié)論？結(jié)論：圓內(nèi)接正多邊形各頂點到圓上任意一點的距離的平方和為定值．（四）基本圖形離析化任何一個復(fù)雜的幾何圖形都是由若干個基本圖形組合而成的，將一個復(fù)雜的圖形中的基本圖形“離析”出來，是解決問題所必備的重要方法之一，而這種“離析”在真正理解基本圖形的基礎(chǔ)上才能進行，對條件進行“弱化”處理也不失為幫助學(xué)生理解圖形本質(zhì)的一種有效方法。1．重視基本圖形（1）基本圖形的識別與性質(zhì)【案例】試題來源（浙教版《數(shù)學(xué)》九（上）P118頁4．4相似三角形的性質(zhì)）有一塊三角形余料ABC，它的邊長BC120mm，高AD80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，問加工成的正方形零件的邊長為多少mm？（2）基本圖形在純數(shù)學(xué)題中應(yīng)用如圖，在Rt△ABC中，,AC4,BC3。（1）如圖1，四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接正方形，求正方形的邊長。（2）如圖2，三角形內(nèi)有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長。(3)如圖3，三角形內(nèi)有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長。(4)如圖4，三角形內(nèi)有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內(nèi)接于△ABC，求正方形的邊長。圖1圖4圖3圖2圖1圖4圖3圖2（3）基本圖形的在生活題中應(yīng)用小明在出墻報時，需要長48cm、寬4cm的彩色紙條鑲邊，現(xiàn)有如圖一張三角形彩色紙零件，其中BC25cm,BC邊上的高為20cm，給出一種裁紙方法：將AB、AC分為五等分，然后如圖連接兩邊的對應(yīng)的點，并以這些連接線為一邊作矩形，剪出這些小矩形紙條，用來為墻報鑲邊，問：這種方法能滿足鑲邊需要嗎？請說明理由。2．重視對基本圖形的“二次開發(fā)”【案例】已知：如圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，ACCE,點D在邊BC的延長線上，且∠ACE∠B∠D90°。求證：△CAB≌△ECD．（選自七年級下1．5全等三角形（3）作業(yè)題）（1）弱化線段條件弱化條件：刪掉ACCE（線段相等）……結(jié)論由三角形全等弱化為三角形相似。如圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點D在邊BC的延長線上，且∠ACE∠B∠D90°。求證：△CAB∽△ECD。解析：∴△CAB∽△ECD（2）弱化角度條件弱化條件：刪掉“直角”條件。如圖：在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，ACCE,∠ACE∠B∠D,則△ABC≌△CDE。解析：∴△ABC≌△CDE∴△BDF≌△CED∴BFCD,BDCE（3）弱化線段和角度條件同時弱化條件：刪掉“線段相等”，“直角”去掉。如圖，在△ABC和△CDE中，點D在邊BC的延長線上，∠ACE∠B∠D，則△ABC∽△CDE。解析：∴△ABC∽△CDE五、幾點思考對數(shù)學(xué)教材例題與習(xí)題的“二次開發(fā)”，一