2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過(guò)專題47兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理理

專題47兩個(gè)根本計(jì)數(shù)原理〔1〕理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.〔2〕會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理?xiàng)l件完成一件事有兩類方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有種不同的方法完成這件事共有種不同的方法【注意】區(qū)分分類與分步的依據(jù)在于“一次性〞完成．假設(shè)能“一次性〞完成，那么不需分步，只需分類；否那么就分步處理．2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都是對(duì)完成一件事的方法種數(shù)而言區(qū)別一每類方法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏考向一分類加法計(jì)數(shù)原理〔1〕分類加法計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)：①根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合于它的分類標(biāo)準(zhǔn)．②完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類．〔2〕使用分類加法計(jì)數(shù)原理遵循的原那么：有時(shí)分類的劃分標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，但不管是以哪一個(gè)為標(biāo)準(zhǔn)，都應(yīng)遵循“標(biāo)準(zhǔn)要明確，不重不漏〞的原那么．〔3〕應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理要注意的問(wèn)題：①明確題目中所指的“完成一件事〞是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎樣才算是完成這件事．②完成這件事的n類方法是相互獨(dú)立的，無(wú)論哪種方案中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事，而不需要再用到其他的方法．③確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確地對(duì)“這件事〞進(jìn)行分類，要求每一種方法必屬于某一類方案，不同類方案的任意兩種方法是不同的方法，也就是分類時(shí)必須既不重復(fù)也不遺漏．典例1在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物，每種作物種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，那么不同的選壟方法有A．10種 B．11種C．12種 D．13種【答案】C由分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有3＋2＋1＋1＋2＋3=12種不同的方法．應(yīng)選C.1．將甲、乙、丙等六人分配到高中三個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)2人．要求甲必須在高一年級(jí)，乙和丙均不在高三年級(jí)，那么不同的安排種數(shù)為A．18 B．15C．12 D．9考向二分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理要注意的問(wèn)題：①明確題目中所指的“完成一件事〞是什么事，單獨(dú)用題目中所給的某一步驟的某種方法是不能完成這件事的，也就是說(shuō)必須要經(jīng)過(guò)幾步才能完成這件事．②完成這件事需要分成假設(shè)干個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事，缺少哪一步驟，這件事都不可能完成．③根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏．典例2某商場(chǎng)共有4個(gè)門，購(gòu)物者假設(shè)從一個(gè)門進(jìn)，那么必須從另一個(gè)門出，那么不同走法的種數(shù)是A．8 B．7C．11 D．12【答案】D2．將字母排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，那么不同的排列方法共有A．12種 B．18種C．24種 D．36種考向三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用〔1〕利用兩個(gè)原理解決涂色問(wèn)題解決著色問(wèn)題主要有兩種思路：一是按位置考慮，關(guān)鍵是處理好相交線端點(diǎn)的顏色問(wèn)題；二是按使用顏色的種數(shù)考慮，關(guān)鍵是正確判斷顏色的種數(shù)．解決此類應(yīng)用題，一般優(yōu)先完成彼此相鄰的三局部或兩局部，再分類完成其余局部．要切實(shí)做到合理分類，正確分步，才能正確地解決問(wèn)題．〔2〕利用兩個(gè)原理解決集合問(wèn)題解決集合問(wèn)題時(shí)，常以有特殊要求的集合為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，常用的結(jié)論有的子集有個(gè)，真子集有個(gè)．典例3一個(gè)三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既小于百位上的數(shù)字也小于個(gè)位上的數(shù)字(如735,414等)，那么，這樣的三位數(shù)共有A．240個(gè) B．249個(gè)C．285個(gè) D．330個(gè)【答案】C當(dāng)十位數(shù)字是6時(shí)有3×3=9種結(jié)果，當(dāng)十位數(shù)字是7時(shí)有2×2=4種結(jié)果，當(dāng)十位數(shù)字是8時(shí)有1種結(jié)果，所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285種結(jié)果．【名師點(diǎn)睛】與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理有關(guān)問(wèn)題的常見類型及解題策略：(1)與數(shù)字有關(guān)的問(wèn)題．可分類解決，每類中又可分步完成，也可以直接分步解決．(2)與幾何有關(guān)的問(wèn)題．可先分類，再分步解決．(3)涂色問(wèn)題．可按顏色的種數(shù)分類完成，也可以按不同的區(qū)域分步完成．3．將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，那么不同的涂色方法有種.1．設(shè)某班有男生30名，女生24名．現(xiàn)要從中選出男、女生各一名代表班級(jí)參加比賽，那么不同的選法共有A．24種 B．30種C．54種 D．720種2．在填寫高考志愿時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下表所示：A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個(gè)專業(yè)，那么這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇有A．4種 B．5種C．9種 D．20種3．從正方體的6個(gè)面中選取3個(gè)面，其中有2個(gè)面不相鄰的選法共有A．8種 B．12種C．16種 D．20種4．某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂(lè)器，其中7人會(huì)鋼琴，3人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，那么不同的選法有A．8種 B．12種C．16種 D．20種5．如下圖，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，那么在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是A．6 B．10C．12 D．246．從這九個(gè)數(shù)字中，任意抽取兩個(gè)相加所得的和為奇數(shù)的不同代數(shù)式的種數(shù)是A．6 B．9C．20 D．257．某商店現(xiàn)有甲種型號(hào)電視機(jī)10臺(tái)，乙種型號(hào)電視機(jī)8臺(tái)，丙種型號(hào)電視機(jī)12臺(tái)，從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選一臺(tái)檢驗(yàn)，那么不同的選法有A．30種 B．80種C．96種 D．960種8．某公共汽車上有10名乘客，要求在沿途的5個(gè)車站全部下完，乘客下車的可能方式有A．510種 B．105種C．50種 D．以上都不對(duì)9．集合，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作點(diǎn)的坐標(biāo)，那么在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．18 B．16C．14 D．1010．如圖是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，現(xiàn)在用四種顏色給這四個(gè)直角三角形區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，那么不同的涂色方法有A．24種 B．72種C．84種 D．120種11．a(chǎn)∈{3,4,5}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，那么方程(x－a)2＋(y－b)2=r2可表示不同圓的個(gè)數(shù)為______個(gè)．12．大小不等的兩個(gè)正方體玩具，分別在各面上標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，那么向上的面標(biāo)著的兩個(gè)數(shù)字之積不小于20的積的結(jié)果有____________種．13．如下圖的幾何體由一個(gè)正三棱錐P－ABC與正三棱柱組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的外表染色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，那么不同的染色方案共有________種．14．將3個(gè)不同的小球放入編號(hào)分別為1,2,3,4的盒子內(nèi)，那么4號(hào)盒子中至少有一個(gè)球的放法有________種．15．為舉辦校園文化節(jié)，某班推薦2名男生、3名女生參加文藝技能培訓(xùn)，培訓(xùn)工程及人數(shù)分別為：樂(lè)器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只參加一個(gè)工程，并且舞蹈和演唱工程必須有女生參加，那么不同的推薦方案的種數(shù)為________．(用數(shù)字作答)1．(2023年高考新課標(biāo)Ⅱ卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，那么小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為A．24 B．18C．12 D．92．(2023年高考新課標(biāo)Ⅲ卷)定義“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).假設(shè)m=4，那么不同的“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞共有A．18個(gè) B．16個(gè)C．14個(gè) D．12個(gè)3．(2023年高考福建卷)滿足a，b∈{?1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)為A．14 B．13C．12 D．104．(2023年高考山東卷)用0，1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A．243 B．252C．261 D．2795．(2023年高考安徽卷)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有A．24對(duì) B．30對(duì)C．48對(duì) D．60對(duì)變式拓展變式拓展1．【答案】D【解析】假設(shè)甲、乙在高一年級(jí)，那么丙一定在高二年級(jí)，此時(shí)不同的安排種數(shù)為3種；假設(shè)甲、丙在高一年級(jí)，那么乙一定在高二年級(jí)，此時(shí)不同的安排種數(shù)為3種；假設(shè)甲在高一年級(jí)，乙、丙在高二年級(jí)，此時(shí)不同的安排種數(shù)為3種，所以共有3+3+3=9種不同的安排種數(shù)．2．【答案】A3．【答案】72【解析】給五個(gè)區(qū)域標(biāo)記號(hào)A、B、C、D、E(如下圖)，那么A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與D所涂的顏色，如果B與D顏色相同有2種涂色方法，不相同，那么只有一種．因此應(yīng)先分類后分步．(1)當(dāng)B與D同色時(shí)，有4×3×2×1×2=48種．(2)當(dāng)B與D不同色時(shí)，有4×3×2×1×1=24種．故共有48＋24=72種不同的涂色方法．【名師點(diǎn)睛】涂色問(wèn)題大致有兩種方案：〔1〕選擇正確的涂色順序，按步驟逐一涂色，這時(shí)用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.〔2〕首先根據(jù)涂色時(shí)所用色數(shù)的多少，進(jìn)行分類處理，然后在每一類的涂色方案的計(jì)算上需要用到分步乘法計(jì)數(shù)原理．最后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理對(duì)每一類的涂色方法數(shù)求和即得到最終涂色方法數(shù)．考點(diǎn)沖關(guān)考點(diǎn)沖關(guān)1．【答案】D2．【答案】C【解析】這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)的一所，在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法，又由于沒(méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有5＋4=9(種)．【名師點(diǎn)睛】使用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)．3．【答案】B【解析】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，選取3個(gè)面有2個(gè)不相鄰，那么必選相對(duì)的2個(gè)面，所以分3類．假設(shè)選ABCD和A1B1C1D1兩個(gè)面，另一個(gè)面可以是ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和4．【答案】D【解析】由題意知，在藝術(shù)小組9人中，有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(稱為“多面手〞)，只會(huì)鋼琴的有6人，只會(huì)小號(hào)的有2人．按“多面手〞的選法分為兩類：(1)“多面手〞入選，那么有6＋2=8(種)選法；(2)“多面手〞不入選，那么有6×2=12(種)選法．因此選法共有8＋12=20(種)．5．【答案】B故共有6+4=10種情況.6．【答案】C【解析】有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，所以要使和為奇數(shù)必取一奇一偶，即有種，選C.7．【答案】D【解析】完成從這三種型號(hào)的電視機(jī)中各選一臺(tái)檢驗(yàn)可分三步完成：第一步：從甲種型號(hào)中選一臺(tái)，有10種不同的方法；第二步：從乙種型號(hào)中選一臺(tái)，有8種不同的方法；第三步：從丙種型號(hào)中選一臺(tái)，有12種不同的方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得10×8×12=960(種)．因此共有960種不同的方法．【名師點(diǎn)睛】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)，首先要確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)，其次，還要注意完成這件事情必須且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟后，這件事情才算圓滿完成．8．【答案】A【解析】任何一個(gè)乘客可以在任一車站下車，且相互獨(dú)立，所以每一個(gè)乘客下車的方法都有5種，由分步計(jì)數(shù)原理知N=510.應(yīng)選A.9．【答案】C4×2=8(個(gè))．綜合上面兩類，利用分類計(jì)數(shù)原理，共有6＋8=14(個(gè))．應(yīng)選C.10．【答案】C【解析】如圖，設(shè)四個(gè)直角三角形順次為A，B，C，D，按A→B→C→D順序涂色，下面分兩種情況：(1)A，C不同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2=48(種)．(2)A，C同色(注意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3=36(種)．共有84種．11．【答案】24【解析】確定圓的方程可分三步：確定a有3種方法，確定b有4種方法，確定r有2種方法，由分步計(jì)數(shù)原理知N=3×4×2=24(個(gè))．12．【答案】8【解析】第1個(gè)正方體向上的面標(biāo)有的數(shù)字必大于等于4.如果是3，那么3與第二個(gè)正方體面上標(biāo)有數(shù)字最大者6的積3×6=18＜20，4×5=5×4=20，4×6=6×4=24，5×5=25，5×6=6×5=30，6×6=36，以上積的結(jié)果分別為20,24,25,30,36，共8種．13．【答案】12【解析】先涂三棱錐P－ABC的三個(gè)側(cè)面，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，共有3×2×1×2=12種．14．【答案】3715．【答案】24【解析】假設(shè)參加樂(lè)器培訓(xùn)的是女生，那么各有1名男生及1名女生分別參加舞蹈和演唱培訓(xùn)，共有3×2×2=12(種)方案；假設(shè)參加樂(lè)器培訓(xùn)的是男生，那么各有1名男生、1名女生及2名女生分別參加舞蹈和演唱培訓(xùn)，共有2×3×2=12(種)方案，所以共有2