2023年高考數(shù)學(xué)命題角度5.6圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練理

命題角度5.6：圓錐曲線的探究、存在性問題1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線不過原點(diǎn)，且與橢圓有兩個不同的公共點(diǎn).〔Ⅰ〕求實數(shù)取值所組成的集合；〔Ⅱ〕是否存在定點(diǎn)使得任意的，都有直線的傾斜角互補(bǔ).假設(shè)存在，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔I〕；〔II〕或.【解析】試題分析：〔1〕聯(lián)立直線與橢圓的方程運(yùn)用二次方程的判別式建立不等式進(jìn)行求解；〔2〕充分利用題設(shè)條件建立方程，借助坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證：〔II〕假設(shè)存在定點(diǎn)使得任意的,都有直線的傾斜角互補(bǔ)，即，令,所以，整理得：，經(jīng)檢驗，滿足題意，所以存在定點(diǎn)使得任意的,都有直線的傾斜角互補(bǔ)，坐標(biāo)為或.點(diǎn)睛：橢圓是典型的圓錐曲線代表之一，也高考必考的重要考點(diǎn)之一。此題的設(shè)置旨在考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等根底知識和根本技能，同時檢測轉(zhuǎn)化化歸能力、運(yùn)算求解能力及數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)方程思想等數(shù)學(xué)思想和方法。求解第一問的思路是聯(lián)立直線與橢圓的位置關(guān)系的方程運(yùn)用二次方程的判別式建立不等式進(jìn)行求解；第二問的求解過程那么充分利用題設(shè)條件進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證從而使得問題獲證。2.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，上、下頂點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形的面積為，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為．〔Ⅰ〕求橢圓的方程;〔Ⅱ〕假設(shè)、是橢圓上的兩個不同的動點(diǎn)，直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由.【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕.【解析】試題分析：(1)利用題意求得，，那么橢圓的方程為：；(2)分別考查斜率存在和斜率不存在兩種情況，求得的面積為定值.〔Ⅱ〕假設(shè)直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，由得：直線與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)，得：③由韋達(dá)定理：直線的斜率之積等于，滿足③又到直線的距離為,所以的面積假設(shè)直線的斜率不存在，關(guān)于軸對稱設(shè)，，那么，又在橢圓上，，所以的面積綜上可知，的面積為定值.3.動圓經(jīng)過點(diǎn)，并且與圓相切.〔1〕求點(diǎn)的軌跡的方程；〔2〕設(shè)為軌跡內(nèi)的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交軌跡于兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時？是與無關(guān)的定值，并求出該值定值.【答案】〔1〕；〔2〕見解析.【解析】試題分析：〔1〕由橢圓定義易知軌跡為橢圓，確定，即可；〔2〕設(shè)，直線，與橢圓聯(lián)立得，進(jìn)而通過韋達(dá)定理建立根與系數(shù)的關(guān)系，，由，代入化簡即可求定值.試題解析：〔1〕由題設(shè)得：，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓方程為.〔2〕設(shè)，直線，由得，..的值與無關(guān)，，解得.此時.〔方法：①當(dāng)時，…；②當(dāng)時，設(shè)直線，…；可以減少計算量.〕4.在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．〔1〕求動點(diǎn)的軌跡的方程；〔2〕設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于兩點(diǎn)〔且在之間或同時在之外〕．問：是否存在定值，對于滿足條件的任意實數(shù)，都有的面積與的面積相等，假設(shè)存在，求的值；假設(shè)不存在，說明理由．【答案】〔1〕；〔2〕存在，．試題解析：〔1〕設(shè)，那么，整理得，∴軌跡的方程為〔2〕聯(lián)立消去得，，由得．設(shè)，那么，由題意，不妨設(shè)，的面積與的面積總相等恒成立線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合∴，解得，即存在定值，對于滿足條件，且〔據(jù)〔*〕的任意實數(shù)，都有的面積與的面積相等．考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與橢圓的位置關(guān)系．【方法點(diǎn)晴】此題主要考查了直線與圓錐曲線問題，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，此題解答中利用直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題．5.橢圓：〔〕的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓與直線相切.〔Ⅰ〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔Ⅱ〕點(diǎn)為動直線與橢圓的兩個交點(diǎn)，問:在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？假設(shè)存在，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；假設(shè)不存在,請說明理由.【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕.【解析】試題分析：〔1〕由，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的長半軸為半徑與直線相切，求出的值，由此可求出橢圓的方程；〔2〕由得，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合條件能求出在軸上存在點(diǎn)，使為定值，定點(diǎn)為?！并颉秤傻?，且設(shè)，那么，根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn)，使得為定值，那么有要使上式為定值，即與無關(guān)，那么應(yīng)，即，此時為定值，定點(diǎn)為.點(diǎn)睛：此題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，此題的解答中把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵。6.如圖，橢圓經(jīng)過不同的三點(diǎn)在第三象限〕，線段的中點(diǎn)在直線上．〔Ⅰ〕求橢圓的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)〔異于點(diǎn)且直線分別交直線于兩點(diǎn)，問是否為定值？假設(shè)是，求出定值；假設(shè)不是，請說明理由．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】試題分析：〔1〕點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程就可求得方程，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)條件可得點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，BC中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的方程，兩方程聯(lián)立可求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，同理用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示。再求為定值，所以。試題解析：〔Ⅰ〕由點(diǎn)在橢圓上，得解得所以橢圓的方程為………3分由，求得直線的方程為從而〔1〕又點(diǎn)在橢圓上，故〔2〕由〔1〕〔2〕解得〔舍去〕或從而所以點(diǎn)的坐標(biāo)為………6分〔Ⅱ〕設(shè)因三點(diǎn)共線，故整理得因三點(diǎn)共線，故整理得……………10分因點(diǎn)在橢圓上，故，即從而所以為定值．………15分【點(diǎn)睛】1.求點(diǎn)的坐標(biāo)可由條件得關(guān)于坐標(biāo)的兩個關(guān)系式，解方程組即可；2.因為兩點(diǎn)，在直線上，設(shè)所以，再由條件找兩點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可求為定值。7.橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，恰為橢圓的上頂點(diǎn)，此時的面積為6.〔1〕求橢圓的方程；〔2〕設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，直線與直線分別相交于點(diǎn)，問當(dāng)變化時，以線段為直徑的圓被軸截得的弦長是否為定值？假設(shè)是，求出這個定值，假設(shè)不是，說明理由.【答案】〔1〕；〔2〕弦長為定值6．【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)時，直線的傾斜角為，又的周長為6，即可求得橢圓方程；〔2〕利用特殊位置猜測結(jié)論：當(dāng)時，直線的方程為：，求得以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6，猜測當(dāng)變化時，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6，再進(jìn)行證明即可.試題解析：〔1〕當(dāng)時，直線的傾斜角為，所以：解得：，所以橢圓方程是：；〔2〕當(dāng)時，直線：，此時，，，又點(diǎn)坐標(biāo)是，據(jù)此可得，，故以為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為6．由此猜測當(dāng)變化時，以為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6．證明如下：設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，那么直線的方程是：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，同理，點(diǎn)的坐標(biāo)是，由方程組得到：，所以：，從而：=0，所以：以為直徑的圓一定過右焦點(diǎn)，被軸截得的弦長為定值6．【方法點(diǎn)睛】此題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、圓錐曲線的定值問題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.8.，，曲線上的任意一點(diǎn)滿足：.〔1〕求點(diǎn)的軌跡方程；〔2〕過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)，，試問是否為定值？如果是定值，請求出這個定值，如果不是定值，請說明理由.【答案】〔1〕;〔2〕.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕求出向量的坐標(biāo)，利用條件化簡，即可求點(diǎn)的軌跡方程；〔Ⅱ〕分類討論，利用，，結(jié)合韋達(dá)定理，即可得出結(jié)論．試題解析：〔1〕設(shè)，那么，，，∵，∴，化簡得，為所求點(diǎn)的軌跡方程.〔2〕設(shè)，.①當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線的方程為，那么，從而，，由得，，，同理由得，∴.①由，得.∴，，代入①式得，∴.②當(dāng)直線與軸重合時，，，.由，，得，，∴，綜上，為定值.點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)〞是什么、“定值〞是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).9.橢圓：〔〕的左焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的離心率為半徑的圓相切．〔Ⅰ〕求該橢圓的方程；〔Ⅱ〕過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，的垂直平分線與軸和軸分別交于，兩點(diǎn)．記的面積為，的面積為．問：是否存在直線，使得，假設(shè)存在，求直線的方程，假設(shè)不存在，說明理由．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕見解析.試題解析：〔Ⅰ〕由題意，得，，即，∴，∴所求橢圓的方程為．〔Ⅱ〕假設(shè)存在直線使，顯然直線不能與，軸垂直．∴直線的斜率存在，設(shè)其方程為〔〕，將其代入整理得，設(shè)，，，，∴，∵，∴，解得，即，∵，∴，∴，即，又∵，∴，∴，整理得因為此方程無解，故不存在直線滿足．10.橢圓，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且.〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假設(shè)，，是否存在以為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？假設(shè)存在，請求出共有幾個？假設(shè)不存在，請說明理由.【答案】〔I〕；〔II〕存在個，理由見解析．【解析】試題分析：〔Ⅰ〕根據(jù)橢圓定義及性質(zhì)知，，在焦點(diǎn)三角形中，由余弦定理得：，得：，再有，得：；〔Ⅱ〕先分析特殊情況，當(dāng)中一個斜率為零，一個斜率不存在顯然不符合題意，設(shè)，不妨設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓，利用直線和橢圓的位置關(guān)系得，從而，根據(jù),可得：，化簡求解，故存在個．〔Ⅱ〕當(dāng)中一個斜率為零，一個斜率不存在顯然不符合題意，設(shè)，不妨設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程得，解得兩根為，所以，由，得把中的換成，可得由的，結(jié)合化簡得，整理得