2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法學(xué)案理北師大版

第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法[考綱](教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù)．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第79頁(yè))[根底知識(shí)填充]1．?dāng)?shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值．(3)函數(shù)有三種表示示，它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法．2．?dāng)?shù)列的分類(lèi)分類(lèi)原那么類(lèi)型滿(mǎn)足條件按項(xiàng)數(shù)分類(lèi)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類(lèi)遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N＋遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an按其他標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|≤M擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列3.數(shù)列的兩種常用的表示方法(1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式．(2)遞推公式：如果數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式．[知識(shí)拓展]1．假設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，那么an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，項(xiàng)an最大，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))假設(shè)an最小，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．[根本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤．(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．()(2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的．()(3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．()(5)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，那么對(duì)任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－8n＋15，那么3()A．不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)B．只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)C．只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng)D．是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)D[令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)．]3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，那么a8的值為()A．15B．16C．49D．64A[當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋eq\f((－1)n,an－1)(n≥2)，那么a5等于()A．eq\f(3,2) B．eq\f(5,3)C．eq\f(8,5) D．eq\f(2,3)D[a2＝1＋eq\f((－1)2,a1)＝2，a3＝1＋eq\f((－1)3,a2)＝eq\f(1,2)，a4＝1＋eq\f((－1)4,a3)＝3，a5＝1＋eq\f((－1)5,a4)＝eq\f(2,3).]5．(教材改編)數(shù)列1，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，eq\f(4,7)，eq\f(5,9)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an是__________．eq\f(n,2n－1)[由得，數(shù)列可寫(xiě)成eq\f(1,1)，eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，故通項(xiàng)為eq\f(n,2n－1).](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第80頁(yè))由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，…；(2)－eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，－eq\f(1,3×4)，eq\f(1,4×5)，…；(3)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(4)5,55,555,5555，….[解](1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)n×eq\f(1,n(n＋1))，n∈N＋.(3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(n2,2).(4)將原數(shù)列改寫(xiě)為eq\f(5,9)×9，eq\f(5,9)×99，eq\f(5,9)×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝eq\f(5,9)(10n－1)．[規(guī)律方法]1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：1分式中分子、分母的特征.2相鄰項(xiàng)的變化特征.3拆項(xiàng)后變化的局部和不變的局部的特征.4各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想.2.假設(shè)關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將局部項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃危y(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來(lái).對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用－1n或－1n＋1來(lái)調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性.[跟蹤訓(xùn)練](1)n∈N＋，給出4個(gè)表達(dá)式：①an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n為奇數(shù)；,1，n為偶數(shù)；))②an＝eq\f(1＋(－1)n,2)；③an＝eq\f(1＋cosnπ,2)；④an＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(nπ,2))).其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的是()A．①②③ B．①②④C．②③④ D．①③④(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)是eq\f(3,2)，1，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，那么這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝__________.(1)A(2)eq\f(2n＋1,n2＋1)[(1)檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為eq\f(2×1＋1,12＋1)，eq\f(2×2＋1,22＋1)，eq\f(2×3＋1,32＋1)，eq\f(2×4＋1,42＋1)，故an＝eq\f(2n＋1,n2＋1).]由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.[解](1)a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式．當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式．∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1；當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋b，n＝1，,2·3n－1，n≥2.))[規(guī)律方法]Sn求an的三個(gè)步驟1先利用a1＝S1求出a1.2用n－1替換Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1n≥2便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式.3看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，那么可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；如果不符合，那么應(yīng)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式.易錯(cuò)警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易無(wú)視驗(yàn)證n＝1致誤.[跟蹤訓(xùn)練](1)(2023·石家莊質(zhì)檢(二))數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)Sn＝2an－4(n∈N＋)，那么an＝()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140166】A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2n－2(2)(2023·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，那么Sn＝________.(1)A(2)－eq\f(1,n)[(1)由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，那么an＝4×2n－1＝2n＋1，應(yīng)選A．(2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，即eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1.又eq\f(1,S1)＝－1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．∴eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－eq\f(1,n).]由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式分別求出滿(mǎn)足以下條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N＋)；(2)a1＝1，an＝eq\f(n,n－1)an－1(n≥2，n∈N＋)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)．[解](1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝eq\f(n(3n＋1),2)(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝eq\f(1,2)×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2).(2)當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)，an＝a1×eq\f(a2,a1)×eq\f(a3,a2)×…×eq\f(an,an－1)＝1×eq\f(2,1)×eq\f(3,2)×…×eq\f(n－2,n－3)×eq\f(n－1,n－2)×eq\f(n,n－1)＝n，當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n.(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.[規(guī)律方法]由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法1a1，且an－an－1＝fn，可用“累加法〞求an.2a1a1≠0，且eq\f(an,an－1)＝fn，可用“累乘法〞求an.3a1，且an＋1＝qan＋b，那么an＋1＋k＝qan＋k其中k可由待定系數(shù)法確定，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列.易錯(cuò)警示：此題1，2中常見(jiàn)的錯(cuò)誤是無(wú)視驗(yàn)證a1是否適合所求式.[跟蹤訓(xùn)練](1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋eq\f(1,n(n＋1))，求an.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140167】(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an.[解](1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－2)－\f(1,n－1)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs