2021年高考理數(shù) 概率

概率核心考點解—概率考綱解讀里的I，III.()隨機事件的概率I）古典概型（II）幾何概型（I）離散型隨機變量及其分布II）離散型隨機變量的均值與方差II）條件概率及兩個事件相互獨立的概念I

）

次獨立重復試驗及二項分布（II）正態(tài)分布（I）從考查型來看，涉及本知識點的題目若在選擇題、填空題中出現(xiàn)，則主考查古典概型、幾何概型、條件概率的計算；若在解答題中出現(xiàn)，則主要考查離散型隨機變量及其分布、期望與方從考查容來看，主要考查在古典概型或幾何概型下求隨機事件的概率，條件概率，通過互斥事件、對立事件考查等可能性事件的概率取值問題，利用正態(tài)曲線的對稱性求概率，確定離散型隨機變量的分布狀況，并利用其分布列求該隨機變量的期望與方差，體現(xiàn)了概率問題的實際應用狀.從考查點來看，概率求值是高考命題的熱點，以古典概型或幾何概型為線，考查隨機事件的概率解題中常與統(tǒng)計知識相結合考查離散型隨機變量的分布列與期望，需注意知識的靈活運用隨機事的概率(1)概率與頻率：理解概率與頻率關知道頻率是指在n次復試驗下，某事件A出現(xiàn)的次數(shù)與試驗次數(shù)的比值，其隨著試驗次數(shù)的改變而改變.概率是指對于給定的隨機事件，隨著試驗次數(shù)的增加，事件發(fā)生的率穩(wěn)定在某一個常數(shù)附近，這個常數(shù)稱為事件A發(fā)的.率值隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率值則是一個常數(shù)當試驗次數(shù)越多時頻率值越接近于概率值此時可以把頻率近似地看做概率精品Word可改歡下載

互事件與對立事件：由對立事件的定義可知，對立事件首先是互斥事件，即兩個事件是對立事件，則它們肯定是互斥事件，反過來，當兩個事件是互斥事件時，這兩個事件不一定是對立事(3)隨機事件的概率的性質及其求方法性質：p

若件的概率為1，則該事件是必然事件；若事的概率為0，則該事件是不可能事件；若事件的概率為0p

，則該事件是隨機事隨機事件概率的求法：(i)將所求事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和件，利用概率的加法公式求解概率；(ii)若將一個較復雜的事件轉化為幾互斥事件的和事件時，需要分類太多，而其對立面的分類較少可慮利用對立事件的概率公式用正則”的思古典概與幾何概型古概型：(i)試中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(ii)個基本事件出現(xiàn)的可能性相.古典概型的概率計算公式：

()

A包含的基本事件的個數(shù)基本事件的總數(shù)

幾概型：每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例.特點：(i)一實驗的基本事件數(shù)是無限的；(ii)每個基本事件發(fā)生的可能性是相等的.幾何概型的概率計算公式：()

構成事件的區(qū)域長度（面積或體積）試驗的全部結果構成的區(qū)域長度（面積或體積）異點：共同點是基本事件的發(fā)生是等可能的，不同點是古典概型有有限個基本事件，幾何概型有無限個基本事離散型機變量及其分布求散型隨機變量的分布列的一般步驟：首先明確隨機變量的所有可能取值，其次利用概率的有關知識，求出隨機變量每個取值的概率，最后按規(guī)范寫出分布列，并用分布列的性質驗

x1

x2

…

xi

…

xn精品Word可改歡下載

P

p1

p

2

…

i

…

p

n(2)常見的離散型隨機變量的概率布模型：兩點分布、超幾何分布、二項分離散型機變量的均值與方差(1)均值（或數(shù)學期望映離散隨機變量取值的平均水.計算方法：

x112

ppii

n

性質：E(aaE(

(2)方差：刻畫了隨機變量

與其期望

)

的平均偏離程度計算方法：

n

(i

2

i

i性質：

D(a

2

D，

)

2

(3)若隨機變量

服從二項分布，即

(n)

則事件恰發(fā)生

次的概率為)kpp)

，k0,1,2,

其期望為E(

)

；其方差為(

)np

(4)若隨機變量服正態(tài)分布，則表示為

X

N

正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)：P(

；(

0.954

；P(

0.997

條件概與相互獨立事件的概率(1)條件概率：設A,B為個事件，且()

，稱

(B|)

()()

為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)的條件概率.(2)事件的相互獨立性：設A,兩個事件，若P(AB()(B)事件相互獨立.

，則稱事件A與若事件與B相獨立，則A與B

，A

與，

與

也相互獨立.．2021考課Ⅰ理）圖，正方形內圖形來自中國古代的太極正方形內切圓中的黑色部精品Word可改歡下載

分和白色部分關于正方形的中心成中心對.正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是AC．

πD．4

B．

π2.(2021高考課I理某公司的班車在，8:00，發(fā)，小明在7:50至8:30之到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過分的概率是AB．C．

3D．4（高考課標I理）籃測試中，每人投，至少投中2次能通過測試.知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨，則該同學通過測試的概率為AC．

BD．．（高考課Ⅲ理某超市計劃按月訂購一種酸奶，每進貨量相同，進貨成本每瓶元，售價每瓶6元未售出的酸降價處理，以每瓶2元價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位）有如果最高氣溫不低于25，需求量為瓶如最高氣溫位區(qū)[2025），需求量為瓶如果最高氣溫低于，需求量為200瓶為了確定六月份的訂計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)

[10，）

[15，）

[20，）

[25）

[30，35

[35，）以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概（1求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（位元.六月份這種酸奶一天的進貨量n單位：瓶）為多少時，的學期望達到最大值？．2021考新標I，）為監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布

N(

)

．（）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表一天內抽取的16個件中其尺寸在

(

之外的零件數(shù)，求P(

及X的學期望；精品Word可改歡下載

ii（2一天內抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在ii

(

之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．（?。┱f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）面是檢驗員在一天內抽取的個件的尺寸：10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得

i

i

11(xx)1616ii

為抽取的第i個i零件的尺寸，

i1,2,

．用樣本平均數(shù)

作為估值用樣本標準差作的估計值

，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除

(

之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計（確到）．附：若隨機變量服正態(tài)分布

N(

，則

P(

4

，40.9592，0.0080.096.(2021高新標I，某公司計劃購買2臺器，該種機器使用三年后即被淘機器有一易損零件，在購進機器時可額外購買這種零作為備件個200元在器使用期間果件不足再購買每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了臺這種機器在三年使用期內更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率表2臺機器三年內共需更換的易損零件數(shù)，

表示購買2臺器的同時購買的損零件.（I求

X

的分布列；（II）若要求

P()

，確定

的最小值；（III以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在n19與n20之選其一，應選用哪個？7.(2021高新標II理18)某險種的基本保為（單位：元續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)

保

費

a

1.5a

a

a精品Word可改歡下載

設該險種一續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下：一年內出險次數(shù)

概

率

05（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出6的概率；（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比．景區(qū)在開放時間內，每個整點時會有一趟觀光從景區(qū)入口發(fā)車，某人上午到達景區(qū)入口，準備乘坐觀光車，則他等待時間不多于10分的概率為AC．

1B．1061D．5．裝有大小、材質完全相同的個球和個球的不透明口袋中，隨機摸出兩個小球，則兩個小球同色的概率為AB．C．D．．

△ABC

中，

在段

上任取一點，PAB

的面積小于

的概率是AB．C．D．．2022年昌冬季奧運會于月9日~2月25日行了奧運會五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積和的比例P，某學生設計了下的計算機模擬，通過計算機模擬長為8寬為5的長方形內隨機取了N個，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)及其內部的點數(shù)為，圓半徑為，如圖，則比值的近似值為AC．

nnBπN5D．π．年，共享單車日漸火爆起來，逐漸融入大家的日常生活中，某市針歲到80歲間的不同年齡精品Word可改歡下載

段的城市市民使用共享單車情況進行了抽樣調查，結果如下表所示：（1）采用分層抽樣的方式從年齡在

內的人中抽取

人，求其中男性、女性的使用人數(shù)各為多少？（2）在（）中選出

人中隨機抽取4人求中恰有人是女性的概率；（3）用樣本估計總體，在全市18歲80歲市民中抽人中男性使用的人數(shù)記為，求的分布．在區(qū)間

內隨機取出一個數(shù)，使得

的概率為A

B．C．D．2.袋中著標有數(shù)字，2，，4，的副羽毛球拍，現(xiàn)從袋中任取支拍，每支球拍被取出的可能性都相等.（1）求取出的4支球拍上的數(shù)字互不相同的概率；（2）用表取出的4支球拍上的最大數(shù)字求隨機變量的率分布列和數(shù)學期真題回顧：1.B解析】設正方形邊長為，圓的半徑為，方形的面積為

πa2，圓的面積為4

由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是

πa2π，選B．28秒殺解析題可知點自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個面積的比例可知其概率滿足

1p2

，故選B2.B3.A解析】根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為C

0.6

0.4

，故選（）由題意知，X所可能取值為，表格數(shù)據(jù)知精品Word可改歡下載

P

X200

25，PX300，90

0.4.因此的布列為

2000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求至多500至少為200因此只需考慮200≤500當300≤n≤時若最高氣溫不低于

，則

nn

；若最高氣溫位于區(qū)間

20,25

，則Yn

；

若

最

高

氣

溫

低

于

，

則Y200n

；

因

此0.4n

當200300時若最高氣溫不低于，

nn

；若最高氣溫低2，則

Y200n

因此

n

所以=300時Y的學期望達到最大值，最大值為520元（取一個零件的尺寸在(

之內的概率為而件的尺寸在(

之外的概率為0.0026，故XB因此P

0.0408

X

的數(shù)學期望為

EX

0.00260.0416

（）果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(

之外的概率只有，一天內抽取的個零件中出現(xiàn)尺寸在(

之外的零件的概率只有發(fā)的概率很小因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理（ii）由x9.97,0.212

，得估值為

，的估計值為

0.212

，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(

)

之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢.剔除(

)

之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

9.22)10.02

，因此

的估計值為16

x2i

2

2

1591.134

，剔除(

)

之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣方i差為

9.2222)

，因此

的估計值為

6.（I）柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機器在三年內需更換的易損件數(shù)為，911概率分別精品Word可改歡下載

為，0.4，，，從而

16)

；

(0.20.16

；(0.4；0.20.2

；X(0.20.04所以的分布列為

；

(0.20.08

；

（II）由（I）知

0.040.240.240.04P0.44P19)0.68，故n的小值為19.（III記

表示機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元當19

時，

EY200500)0.2200500)0.082000.044040

當n

時，EY200500)2000.04

080

可知當n

時所需費用的期望值小于n20

時所需費用的期望值，故應選n19

（Ⅰ）A示事件：一續(xù)保人本年度的保費高于基本?！保瑒t事件A發(fā)當僅當一年內出險次數(shù)大于，故()0.20.05（Ⅱ設B表事件一保人本年度的保費比基本保費高出6”則事件B發(fā)當且僅當一年內出險次數(shù)大于3，故P)0.05又()P()，(|)

P(AB)(B)3.P()()11因此所求概率為

311

（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費為X，X的布列為XP

aa1.75a0.200.10

aEX0.300.15aaaa因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值.23【名師點睛】條件概率的求法：(1)定義法：先求PA和PAB，再由PBA＝

(AB()

，求出(BA；(2)基本事件法當本事件適合限性和等可能性時可借助古典概型概率公式先事件A包的基本精品Word可改歡下載

事件數(shù)(A)，再在事件發(fā)的條件下求事件B包的基本事件數(shù)n()，得(B|A＝

n(AB)n(A

求離散型隨機變量均值的步驟理解隨機變量X的義，寫出可能取得的全部值(2)求取個值時的概率；(3)出的布列；(4)均值定義求出EX．名校預測案】B【解析】由題意此人在分整點之間的10分鐘內到達，等待時間不多于10分，所以概率P

10160

.故選.答案】【解析】記個球分別為

，個球分別為，隨機取出兩個小球共有

種可能：，其中兩個小球同色共有種能：

，根據(jù)古典概型的概率計算公式可得所求概率為

，故選．案】C解析】由

得則

eq\o\ac(△,)

ABsin，∴△的面積小于

的概率為

．故