2012-2021高考真題數(shù)學(xué)匯編：數(shù)列（3）（教師版）

28/282012-2021高考真題數(shù)學(xué)匯編：數(shù)列（3）一．選擇題（共21小題）1．（2013?全國）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，，為常數(shù)，則A． B． C． D．2．（2013?安徽）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則A． B． C． D．23．（2013?遼寧）下列關(guān)于公差的等差數(shù)列的四個(gè)命題：：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列；：數(shù)列是遞增數(shù)列；其中真命題是A．， B．， C．， D．，4．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A． B． C． D．5．（2013?大綱版）已知數(shù)列滿足，，則的前10項(xiàng)和等于A． B． C． D．6．（2013?江西）等比數(shù)列，，，的第四項(xiàng)等于A． B．0 C．12 D．247．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)△的三邊長分別為，，，△的面積為，，2，若，，，，，則A．為遞減數(shù)列 B．為遞增數(shù)列 C．為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列 D．為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列8．（2013?新課標(biāo)Ⅱ）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則A． B． C． D．9．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則A．3 B．4 C．5 D．610．（2013?福建）已知等比數(shù)列的公比為，記，，，則以下結(jié)論一定正確的是A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列，公差為 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，公比為 C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，公比為 D．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，公比為11．（2012?全國）設(shè)，，成等差數(shù)列，若，，且，則A．2 B． C．1 D．12．（2012?大綱版）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則當(dāng)時(shí)，A． B． C． D．13．（2012?安徽）公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則A．4 B．2 C．1 D．814．（2012?浙江）設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A．若，則數(shù)列有最大項(xiàng) B．若數(shù)列有最大項(xiàng)，則 C．若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有15．（2012?遼寧）在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和A．58 B．88 C．143 D．17616．（2012?遼寧）在等差數(shù)列中，已知，則A．12 B．16 C．20 D．2417．（2012?重慶）在等差數(shù)列中，，，則的前5項(xiàng)和A．7 B．15 C．20 D．2518．（2012?福建）等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為A．1 B．2 C．3 D．419．（2012?北京）已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是A． B． C．若，則 D．若，則20．（2012?新課標(biāo)）已知為等比數(shù)列，，，則A．7 B．5 C． D．21．（2012?安徽）公比為的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則A．4 B．5 C．6 D．7二．填空題（共20小題）22．（2013?全國）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，則．23．（2013?上海）在等差數(shù)列中，若，則．24．（2013?江西）某班植樹小組今年春天計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植樹2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)等于．25．（2013?上海）若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23，前9項(xiàng)和為57，則數(shù)列的前項(xiàng)和．26．（2013?江蘇）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù)的值為．27．（2013?重慶）若2、、、、9成等差數(shù)列，則．28．（2013?遼寧）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，是的前項(xiàng)和．若，是方程的兩個(gè)根，則．29．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．30．（2013?北京）若等比數(shù)列滿足，，則公比；前項(xiàng)和．31．（2013?廣東）在等差數(shù)列中，已知，則．32．（2012?廣東）已知遞增的等差數(shù)列滿足，，則．33．（2012?廣東）若等比數(shù)列滿足，則．34．（2012?遼寧）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列．若，且，則數(shù)列的公比．35．（2012?遼寧）已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．36．（2012?江蘇）現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是．37．（2012?江西）設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，若，，則．38．（2012?新課標(biāo)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比．39．（2012?重慶）首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和．40．（2012?江西）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，公比不為1．若，且對任意的都有，則．41．（2012?北京）已知為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，，則，．三．解答題（共15小題）42．（2014?全國）在數(shù)列中，，，，2，3，，（Ⅰ）求，，．（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．43．（2014?大綱版）數(shù)列滿足，，．（Ⅰ）設(shè)，證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式．44．（2014?新課標(biāo)Ⅰ）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，其中為常數(shù)．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由．45．（2014?江西）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對任意的，都存在，使得，，成等比數(shù)列．46．（2014?上海）已知數(shù)列滿足，，．（1）若，，，求的取值范圍；（2）若是等比數(shù)列，且，求正整數(shù)的最小值，以及取最小值時(shí)相應(yīng)的公比；（3）若，，成等差數(shù)列，求數(shù)列，，的公差的取值范圍．47．（2014?廣東）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，且．（1）求，，的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．48．（2013?四川）在等差數(shù)列中，，且為和的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的首項(xiàng)、公差及前項(xiàng)和．49．（2013?上海）已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足，（1）若，求，，；（2）若，且，，成等比數(shù)列，求的值（3）是否存在，使得，，，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由．50．（2013?上海）給定常數(shù)，定義函數(shù)．?dāng)?shù)列，，，滿足，．（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得，，，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由．51．（2013?四川）在等比數(shù)列中，，且為和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的首項(xiàng)、公比及前項(xiàng)和．52．（2013?江蘇）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和．記，，其中為實(shí)數(shù)．（1）若，且，，成等比數(shù)列，證明：；（2）若是等差數(shù)列，證明：．53．（2013?湖北）已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說明理由．54．（2013?陜西）設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）若為等差數(shù)列，推導(dǎo)的計(jì)算公式；（Ⅱ）若，，且對所有正整數(shù)，有．判斷是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論．55．（2013?山東）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，，求的前項(xiàng)和．56．（2013?陜西）設(shè)是公比為的等比數(shù)列．（Ⅰ）試推導(dǎo)的前項(xiàng)和公式；（Ⅱ）設(shè)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列．

參考答案一．選擇題（共21小題）1．【分析】時(shí)，．時(shí)，．根據(jù)等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)即可得出．【解答】解：時(shí)，．時(shí)，．此數(shù)列為等比數(shù)列，可得：，解得，，，1，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的定義及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．2．【分析】利用等差數(shù)列有前項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出第9項(xiàng)．【解答】解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，，解得，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的第9項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．3．【分析】對于各個(gè)選項(xiàng)中的數(shù)列，計(jì)算第項(xiàng)與第項(xiàng)的差，看此差的符號，再根據(jù)遞增數(shù)列的定義得出結(jié)論．【解答】解：對于公差的等差數(shù)列，，命題：數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．對于數(shù)列，第項(xiàng)與第項(xiàng)的差等于，不一定是正實(shí)數(shù)，故不正確，是假命題．對于數(shù)列，第項(xiàng)與第項(xiàng)的差等于，不一定是正實(shí)數(shù)，故不正確，是假命題．對于數(shù)列，第項(xiàng)與第項(xiàng)的差等于，故命題：數(shù)列是遞增數(shù)列成立，是真命題．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的定義，增數(shù)列的含義，命題的真假的判斷，屬于中檔題．4．【分析】由題意可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得其求和公式，化簡可得要求的關(guān)系式．【解答】解：由題意可得，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的求和公式和通項(xiàng)公式，涉及指數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．5．【分析】由已知可知，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，結(jié)合已知可求，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列由等比數(shù)列的求和公式可得，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題6．【分析】由題意可得，解的值，可得此等比數(shù)列的前三項(xiàng)，從而求得此等比數(shù)列的公比，從而求得第四項(xiàng)．【解答】解：由于，，是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，故有，解，故此等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，故此等比數(shù)列的公比為2，故第四項(xiàng)為，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】由可知△的邊為定值，由及得，則在△中邊長為定值，另兩邊、的長度之和為定值，由此可知頂點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，根據(jù)，得，可知時(shí)，據(jù)此可判斷△的邊的高隨著的增大而增大，再由三角形面積公式可得到答案．【解答】解：且，，，，，又，，，，由題意，，，，，，，，由此可知頂點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，又由題意，，，，，，，單調(diào)遞增（可證當(dāng)時(shí)故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、三角形面積海倫公式，綜合考查學(xué)生分析解決問題的能力，有較高的思維抽象度，是本年度全國高考試題中的“亮點(diǎn)”之一．8．【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到，解出即可．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，，解得．．故選：．【點(diǎn)評】熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．9．【分析】由與的關(guān)系可求得與，進(jìn)而得到公差，由前項(xiàng)和公式及可求得，再由通項(xiàng)公式及可得值．【解答】解：，，所以公差，，，，因此不能為0，得，所以，解得，另解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，即有數(shù)列成等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列，可得，即有，解得．又一解：由等差數(shù)列的求和公式可得，，，可得，，解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)與的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．10．【分析】①，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)是常數(shù)列，可判斷，兩個(gè)選項(xiàng)②由于等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，得出即可判斷出，兩個(gè)選項(xiàng)．【解答】解：①，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)是常數(shù)列，選項(xiàng)不正確，選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，選項(xiàng)不正確，又，不是常數(shù)，故選項(xiàng)不正確，②等比數(shù)列的公比為，，，，故正確不正確．綜上可知：只有正確．故選：．【點(diǎn)評】熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．11．【分析】設(shè)此等差數(shù)列的公差為，由于，且，可得，，，即，化簡解出即可得出．【解答】解：設(shè)此等差數(shù)列的公差為，，且，，，，即，解得，．則．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12．【分析】利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：，得，即，由，所以．則．?dāng)?shù)列為以1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【解答】解：公比為2的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，且，解得，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的第5項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．14．【分析】由等差數(shù)列的求和公式可得，可看作關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．【解答】解：由等差數(shù)列的求和公式可得，選項(xiàng)，若，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得數(shù)列有最大項(xiàng)，故正確；選項(xiàng)，若數(shù)列有最大項(xiàng)，則對應(yīng)拋物線開口向下，則有，故正確；選項(xiàng)，若對任意，均有，對應(yīng)拋物線開口向上，，可得數(shù)列是遞增數(shù)列，故正確；選項(xiàng)，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對應(yīng)拋物線開口向上，但不一定有任意，均有，例如：是遞增數(shù)列，但，故錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)得，再由運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：在等差數(shù)列中，已知，，，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于中檔題．16．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，可求結(jié)果【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題17．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，再利用等差數(shù)列的求和公式，即可得到結(jié)論．【解答】解：等差數(shù)列中，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，熟練運(yùn)用性質(zhì)是關(guān)鍵．18．【分析】設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，，由此解得的值．【解答】解：設(shè)數(shù)列的公差為，則由，，可得，，解得，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】，當(dāng)，時(shí)，，故不正確；，所以；若，則，從而可知或；若，則，而，其正負(fù)由的符號確定，故可得結(jié)論．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，當(dāng)，時(shí)，，故不正確；，，故正確；若，則，，，或，故不正確；若，則，，其正負(fù)由的符號確定，故不正確故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題．20．【分析】由，及可求，，進(jìn)而可求公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)可求，，即可【解答】解：，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，或，當(dāng)，時(shí)，，，，當(dāng)，時(shí)，，則，綜上可得，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算的能力．21．【分析】由公比為的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，知，故，，由此能求出．【解答】解：公比為的等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．二．填空題（共20小題）22．【分析】運(yùn)用數(shù)列的遞推式：，時(shí)，，計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)．【解答】解：數(shù)列的前項(xiàng)和，可得，時(shí)，，上式對也成立，則，，故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列的遞推式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．23．【分析】根據(jù)給出的數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件可求．【解答】解：因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有：，由，所以，，則．故答案為：15．【點(diǎn)評】本題考查了等差中項(xiàng)概念，在等差數(shù)列中，若，，，，，且，則，此題是基礎(chǔ)題．24．【分析】由題意可得，第天種樹的棵數(shù)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出天中種樹的棵數(shù)滿足，解不等式可求【解答】解：由題意可得，第天種樹的棵數(shù)是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，即的最小值為6故答案為：6【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是等比數(shù)列模型的確定25．【分析】設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則由題意可得，解得、的值，即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和的解析式．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則由題意可得，解得，故數(shù)列的前項(xiàng)和，故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的結(jié)構(gòu)特征，用待定系數(shù)法函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．26．【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，由題意可得關(guān)于這兩個(gè)量的方程組，解之可得數(shù)列的通項(xiàng)公式和及的表達(dá)式，化簡可得關(guān)于的不等式，解之可得的范圍，取上限的整數(shù)部分即可得答案．【解答】解：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，由題意可得，解之可得：，，故其通項(xiàng)公式為．記，．由題意可得，即，化簡得：，即，因此只須，，即，解得，由于為正整數(shù)，因此最大為的整數(shù)部分，也就是12．故答案為：12【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的求和公式和一元二次不等式的解法，屬中檔題．27．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解之可得值，再由等差中項(xiàng)可得，的值，作差即可得答案．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，解得，又可得，解之可得，同理可得，解得，故故答案為：【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．28．【分析】通過解方程求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和第三項(xiàng)，然后求出公比，直接利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求前6項(xiàng)和．【解答】解：解方程，得，．因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，且，是方程的兩個(gè)根，所以，．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以．則．故答案為63．【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．29．【分析】把代入已知式子可得數(shù)列的首項(xiàng)，由時(shí)，，可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分段可得答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，解得當(dāng)時(shí)，，整理可得，即，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及等比數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．30．【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和已知即可得出，解出即可得到及，再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，①②①②兩個(gè)式子相除，可得到即等比數(shù)列的公比，將代入①中可求出則數(shù)列時(shí)首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為：．故答案為：2，．【點(diǎn)評】熟練掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解題的關(guān)鍵．31．【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得：．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得：，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題，準(zhǔn)確理解有關(guān)性質(zhì)是解決問題的根本．32．【分析】由題意，設(shè)公差為，代入，直接解出公式，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)即可得到答案【解答】解：由于等差數(shù)列滿足，，令公差為所以，解得又遞增的等差數(shù)列，可得所以故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是利用公式建立方程求出參數(shù)，需要熟練記憶公式．33．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再次利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)可得．【解答】解：等比數(shù)列滿足，則，故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．【分析】由為遞增數(shù)列且可知，由已知可得，可求【解答】解：為遞增數(shù)列且，故答案為：2【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的單調(diào)性及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題35．【分析】通過，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比的關(guān)系，通過求出公比，推出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可．【解答】解：，，，，，，，解得或（等比數(shù)列為遞增數(shù)列，舍去）．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題．36．【分析】先由題意寫出成等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為，然后找出小于8的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，代入古典概論的計(jì)算公式即可求解【解答】解：由題意成等比數(shù)列的10個(gè)數(shù)為：1，，，其中小于8的項(xiàng)有：1，，，，，共6個(gè)數(shù)這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及古典概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題37．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，根據(jù)，，可得．最后可得．【解答】解：數(shù)列，都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，設(shè)數(shù)列的公差為，，而，可得．故答案為：35【點(diǎn)評】本題給出兩個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)之和與第三項(xiàng)之和，欲求它們的第五項(xiàng)之和，著重考查了等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．38．【分析】由題意可得，，由，代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：由題意可得，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，解題中要注意公比是否為139．【分析】把已知的條件直接代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，運(yùn)算求得結(jié)果．【解答】解：首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和，故答案為15．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．40．【分析】由題意可得，即，解得，或（舍去），由此求得的值．【解答】解：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且對任意的都有，，即，解得，或（舍去）．，故答案為11．【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，求出公比，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．41．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求出公差，從而可求出第二項(xiàng)，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：根據(jù)為等差數(shù)列，；故答案為：1，【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的前項(xiàng)和，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于容易題．三．解答題（共15小題）42．【分析】（Ⅰ）由數(shù)列遞推式，賦值代入計(jì)算可得所求值；（Ⅱ）由遞推式可得，兩邊除以，可得，即為，由裂項(xiàng)相消求和，化簡可得所求通項(xiàng)．【解答】解：（Ⅰ）在數(shù)列中，，，，2，3，，可得，，；（Ⅱ），可得，兩邊除以，可得即為，則，則．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列法，以及數(shù)列的恒等式、裂項(xiàng)相消求和，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．43．【分析】（Ⅰ）將變形為：，再由條件得，根據(jù)條件求出，由等差數(shù)列的定義證明是等差數(shù)列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，代入并令從1開始取值，依次得個(gè)式子，然后相加，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出的通項(xiàng)公式．【解答】解：（Ⅰ）由得，，由得，，即，又，所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，由得，，則，，，，，所以，，又，所以的通項(xiàng)公式．【點(diǎn)評】本題考查了等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，及累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．44．【分析】（Ⅰ）利用，，相減即可得出；（Ⅱ）假設(shè)存在，使得為等差數(shù)列，設(shè)公差為．可得，．得到，根據(jù)為等差數(shù)列的充要條件是，解得即可．【解答】（Ⅰ）證明：，，，．（Ⅱ）解：假設(shè)存在，使得為等差數(shù)列，設(shè)公差為．則，．，，，根據(jù)為等差數(shù)列的充要條件是，解得．此時(shí)可得，．因此存在，使得為等差數(shù)列．也可以先考慮前3項(xiàng)成等差數(shù)列，得出，再進(jìn)一步驗(yàn)證即可．【點(diǎn)評】本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法，屬于難題．45．【分析】（1）利用“當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，”即可得出；（2）對任意的，假設(shè)都存在，使得，，成等比數(shù)列．利用等比數(shù)列的定義可得，即，解出為正整數(shù)即可．【解答】（1）解：，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．因此當(dāng)時(shí)，也成立．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式．（2）證明：對任意的，假設(shè)都存在，使得，，成等比數(shù)列．則，，化為，，，因此對任意的，都存在，使得，，成等比數(shù)列．【點(diǎn)評】本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了反證法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．46．【分析】（1）由題意可得：，，代入解出即可；（2）設(shè)公比為，由已知可得，，由于，可得．而，可得，再利用對數(shù)的運(yùn)算法則和性質(zhì)即可得出．（3）設(shè)公差為，由已知可得，其中，即，解出即可．【解答】解；（1）由題意可得：，；又，．綜上可得：．（2）設(shè)公比為，由已知可得，，又，．因此，，．的最小值是8，因此，．（3）設(shè)公差為，由已知可得即，令，得．當(dāng)時(shí)，不等式即，．．綜上可得：公差的取值范圍是．【點(diǎn)評】本題綜合考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．47．【分析】（1）在數(shù)列遞推式中取得一關(guān)系式，再把變?yōu)榈昧硪魂P(guān)系式，聯(lián)立可求，然后把遞推式中取1，再結(jié)合聯(lián)立方程組求得，；（2）由（1）中求得的，，的值猜測出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明．【解答】解：（1）由，，得：①又②聯(lián)立①②解得：．再在中取，得：③又④聯(lián)立③④得：，．，，的值分別為3，5，7；（2），，．由此猜測．下面由數(shù)學(xué)歸納法證明：1、當(dāng)時(shí)，成立．2、假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，即．那么，當(dāng)時(shí)，由，得，，兩式作差得：．．綜上，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立．．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，考查了學(xué)生的靈活應(yīng)變能力和計(jì)算能力，是中檔題．48．【分析】設(shè)該數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．由已知求出首項(xiàng)與公差，然后求解通項(xiàng)公式．【解答】解：設(shè)該數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為．由已知可得，，所以，，解得，或，，即數(shù)列的首項(xiàng)為4，公差為0，或首項(xiàng)為1，公差為3．所以數(shù)列的前項(xiàng)和或．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和公式以及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．49．【分析】（1）由題意代入式子計(jì)算即可；（2）把，表示為的式子，通過對的范圍進(jìn)行討論去掉絕對值符號，根據(jù)，，成等比數(shù)列可得關(guān)于的方程，解出即可；（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，則，，成等差數(shù)列，即，亦即，分情況①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí)③當(dāng)時(shí)討論，由式可求得進(jìn)行判斷；③當(dāng)時(shí)，由公差可得矛盾；【解答】解：（1）由題意，代入計(jì)算得，，；（2），，①當(dāng)時(shí)，，所以，得；②當(dāng)時(shí)，，所以，得（舍去）或．綜合①②得或．（3）假設(shè)這樣的等差數(shù)列存在，那么，，由得，以下分情況討論：①當(dāng)時(shí)，由得，與矛盾；②當(dāng)時(shí)，由得，從而，2，，所以是一個(gè)等差數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，則公差，因此存在使得，此時(shí)，矛盾．綜合①②③可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，，，成等差數(shù)列．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的函數(shù)特性、等差關(guān)系等比關(guān)系的確定，考查分類討論思想，考查學(xué)生邏輯推理能力、分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度較大．50．【分析】（1）對于分別取，2，，．去掉絕對值符合即可得出；（2）由已知可得，分三種情況討論即可證明；（3）由（2）及，得，即為無窮遞增數(shù)列．分以下三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．即可得出的取值范圍．【解答】解：（1），（2）．（2）由已知可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．對任意，；（3）假設(shè)存在，使得，，，，成等差數(shù)列．由（2）及，得，即為無窮遞增數(shù)列．又為等差數(shù)列，所以存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)，，從而，由于為等差數(shù)列，因此公差．①當(dāng)時(shí)，則，又，故，即，從而，當(dāng)時(shí)，由于為遞增數(shù)列，故，，而，故當(dāng)時(shí)，為無窮等差數(shù)列，符合要求；②若，則，又，，得，應(yīng)舍去；③若，則由得到，從而為無窮等差數(shù)列，符合要求．綜上可知：的取值范圍為，．【點(diǎn)評】本題綜合考查了分類討論的思方法、如何絕對值符號、遞增數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識與方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．51．【分析】等比數(shù)列的公比為，由已知可得，，，解方程可求，，然后代入等比數(shù)列的求和公式可求【解答】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知可得，，聯(lián)立可得，，或（舍去）【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解的能力52．【分析】（1）寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，由，，成等比數(shù)列得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系，代入前項(xiàng)和公式得到，在前項(xiàng)和公式中取可證結(jié)論；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，則，代入，結(jié)合的表達(dá)式，整理得，對于所