智能矩陣超級(jí)學(xué)習(xí)系統(tǒng)配套與習(xí)題集3數(shù)三線性代數(shù)

第二篇線性代 第一章行列 知識(shí)模塊46：行列式的概念和基本性質(zhì)<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊47：行列式的展開定理<標(biāo)準(zhǔn)文本 第二章矩 知識(shí)模塊48：矩陣的概念和運(yùn)算<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊49：伴隨矩陣<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊50：可逆矩陣<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊51：初等變換和初等矩陣<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊52：矩陣的秩<標(biāo)準(zhǔn)文本 第三章向 知識(shí)模塊53：向量的線性組合與線性表示、向量組等價(jià)<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊54：向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊55：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組的秩<標(biāo)準(zhǔn)文本 第四章線性方程 知識(shí)模塊56:齊次線性方程組<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊57:非齊次線性方程組<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊58:公共解、同解<標(biāo)準(zhǔn)文本 第五章矩陣的特征值和特征向 知識(shí)模塊59：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊60：相似矩陣及矩陣可相似對(duì)角化的充要條件<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊61：實(shí)對(duì)稱矩陣<標(biāo)準(zhǔn)文本 第六章二次 知識(shí)模塊62：二次型的基本概念<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊63：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形<標(biāo)準(zhǔn)文本 知識(shí)模塊64：正定二次型<標(biāo)準(zhǔn)文本 第二性代第一知識(shí)模塊46：行列式的概念和基<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)行列式的定D a12a aa2

11 12D3

a11a22a33a12a23a31a11a23a32a12a21a33a13a22a31nj

(1)(j1 jn)11

1 ( in) a.(二)常用的特殊行列0000000a000

ii

a a

11 00000000(三)行列式的

an1

an. anaiaajaaajaaianan行列式中某一行(列)元素有公因子k，可把kkaiaiainanan即 ai1 ai2 ainain

ain aiai ajkai1 kai2ajkainananxaaaaxaaaxa aaax 【解析】Dn 1a[x(n1)a]a x 00x000

100 x[x(n1)a](xa)n1知識(shí)模塊46：行列式的概念和基<基本習(xí)題組D

2D14

a31

2

1

1

1

(aini

(a11)(a21)...(anx xyz

y x

0的充分必要條件是 xyzC.xy,z

xyzD.yz,x1123112322x2323152319x

0實(shí)根的個(gè)數(shù)為 A. B. C. D. = A.2nana2n B. C.2nan-a2n D.1.【答案】

知識(shí)模塊46：行列式的概念和基<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析D1

2(3)D12C.2.【答案】

11 2Dn1ai 2

1 1 i

3.【答案】x

n ai

y x

(xyz)1

=xyzxzyzyxyz04.【答案】

x y x

2223213500123190004

3 4(23x2)(4x2令(23x24x20x2或x2B.Dn

2

3

1000100021000100000000 = (n=

(n

n 知識(shí)模塊47：行列式的<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)44二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)式和代數(shù) 在n階行列式D a2n中去掉元素a所在的第i行第j列全部元素后， a1,ja1,jai1,jai1,jai1,jai1,j aij an,j an,j稱(1)ijM為元素a的代數(shù)式，記為A，即A(1)ijM (二)行列式的展開定nDnai1Ai1ai2Ai2 ainAinaijAij,(i1, ,n)jnDna1jA1ja2jA2j anjAnjakjAkj(j1, ,n)k

【解析】按第一列展開

Da(1)11 ab aa a b 1

n1【評(píng)注】?jī)删€一星的

，

ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn0(i a1iA1ja2iA2j aniAnj0(i

j)j)【趁熱打鐵D4

10

j1,2,3,4)D44 列元素的代 式，則A412A42A44 【解析A4ja4j的取值無關(guān)(j1,2,3,4)，A412A42A44A412A420A43 10

1000200020981201 29

2 2(724)62(三)常用的特殊行列x x

(x2x1)(x3x1)(x4 (xn(x3x2)(x4x2 (xnx2(xn

(xixj)AOACAOAB A A A(1)mnAB 知識(shí)模塊47：行列式的369246369246812035643D22A42 B.C.D.

,A4j(j1,2,3,4)為D中第4行第j列元素的代 a100b100a100b100c100d B.(ab1)(cd1)adC.abcd D.abcdxy0000xy003Dn000xy)y000xxnC.xn(1)n

xn(1)n1D.xn若四階行列式的第四行元素依次為1,11,6,1，第二行元素的代數(shù) 式依次為6,x,x2,x3，那么x( C. D. 已知n階矩陣A 1,則A的所有元素的代 式之和等于 知識(shí)模塊47：行列式的<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析1.【答案】A412A423A441A412A420A43336924369246812031203A.2.【答案】a1a100b100c100dB.3.【答案】

a 1(1)21(1) a(bcddb)cdabcdadabcdab(cd1)adcd(ab1)(cd1)xy0xy000y00000xy00xy000Dx0xy00000xyy000x000xynxx(n1)y(1)(n1)xn(1)n1B.1(6)11x(6)x21x3解之x11x22x35.【答案】A11A12 A1nA21A22 A2n An1An,2 (A11A12 A1n)(A21A22 A2n) (An1An,2 An,n 1 1 1 0

1 第二知識(shí)模塊48：矩陣的概<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)二、考點(diǎn)提由mn個(gè)數(shù)aij(i1, ,m;j1, a1n 2n mn所有元素都是0的矩陣稱為零矩陣，記為O若兩個(gè)矩陣Aaij)mnBbij)mn是同型矩陣，且各對(duì)應(yīng)元素也相等，即aijbij(i1, m;j1, nABAB(二)矩陣的線性運(yùn)AB(aijbij)mnkA(kaij)mn(三)矩陣的乘 a1n bA 2n，B 2s

mn n nsABAB(記作Ccij)是一個(gè)msncijai1b1jai2b2j ainbnjk即矩陣CAB的第ijcijA的第inBjn個(gè)元素分結(jié)合律AB)CA(BCkABkA)BA(kBk左分配律CA+B)CACB右分配律AB)CAC矩陣的乘法不滿換律：ABBA推出BC．a(chǎn)1a2 anB bn，計(jì)ABBA【解析aa

1 2 n a a a AB2 b2 2 2n a a a abn n na1

nn BA ba2abab ab n 1 2 na anAn階矩陣kA的連乘積稱為A的k次冪，記作Ak，即AkkA0E a1Aa a aba b a2 3 3 33 33Anln1A，其中l(wèi)TTabababab1 2 3 i【趁熱打鐵】已知1 3,

1AT,其中T是33 An 【解析】An(T)(T (T)T(T)(T (T 1 3n1T3n1 2 3313 313 AP1PAnP1nP若diag(, ,)為對(duì)角陣，則ndiag(n,n ,n) AaEB，則

An(aEB)nC0B0(aE)nC1B(aE)n1 CnBn(aE O O若A ，則An C(四)矩陣的轉(zhuǎn)

CnAaij)mATaji)nnm(AB)TAT(AB)TBT AT

(kA)TkATk為任意實(shí)數(shù)(AT)T若A ，則AT 3 A4 AT (五)方陣的行列(1)An (2)ABA (3)AT知識(shí)模塊48：矩陣的概<基本習(xí)題組設(shè)A和B均為nn矩陣,則必有 ABA B.ABAB

AB1A11 設(shè)n維行向量2, , ,矩陣AE,BE2,其中E為n階單位 D.E 0設(shè)A 0，BP1AP，其中P為三階可逆矩陣，則B20042A2 0 0 0

0

3 0

0 設(shè)A(1,2,3),B(1,1,1)，則(ATB)2010 1 122010

22009

3 3 1

3 2 D.22009 3 3 設(shè)A和B都是n階方陣,下列正確的是 (AB)2A22AB若AB0,則A0或B B.(A+B)1A1(AB)TAT知識(shí)模塊48：矩陣的概<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【答案】AB【答案】

ABBABAT12【答案】

ABETE2TET2T2TET2TTEBP1AP,B2004P1A2004P 0又因?yàn)锳2004(A2)1002E,所以B20042A2E2A2 0 A.4.【答案】故

(ATB)2ATBATBAT(BAT)B=2ATB(ATB)201022009AT22009

1 1 2【答案】

3

0,故0

AB

AB

A0B0知識(shí)模塊49：伴<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)444444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)伴隨矩陣的定

A A

n1A(A)T

A A n nn nn(二)伴隨矩陣的性n階方A與它的伴隨矩陣A*之間有如下的關(guān)系:AAAA|A|EAAn1(kA)kn1A(AB)BA(AT)(A)T(A)An2A b 若A ，則

a

0【趁熱打鐵ABABA2BA8EAA為的伴隨矩陣，求|B|【解析ABA2BA8EAAAABAA2ABAA8AAABA2ABA8AEA2，則上式化簡(jiǎn)得AE)B4E，兩邊取行列式AEB43

1

EA

04 B16知識(shí)知識(shí)模塊49：伴<基本習(xí)題組設(shè)A是n階可逆矩陣，則(A)等于 A. B. C.(1)n D.(1)n1設(shè)A是n階可逆矩陣，且A2，則(A)等于 A.2n2 B.2n1 C.2n AAB均為2階矩陣，A的伴隨矩陣為

分別為A,B的伴隨矩陣.若A2,B3則分塊矩陣 3B* 2B*2 3A* 2A* 設(shè)A(a 滿足A*AT，a,a,a為3個(gè)相等的正數(shù)，則它們?yōu)?ij 3 33

3A是3Aa

22

a 0

32

0000

a00

0aa

a<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析1.【答案】

AEAA1A故選D.

A1

A(1)n1A1

(1)n1A

A1

A

A1

An1 AAAA聯(lián)立①②兩式可得A)A)1故選A.

An2A

AB236 A A A 31B 2BO O 61 O O故選B. a31【解析】由于AAT，即 A a

Aijaij(i,j1,2,3)

33 33AATAn1

A1；(A0).A 列式的降階定理可知，Aa2a2a2，而題意告訴我們a a05.【答案】

333

AE a13 A a a a23 Aa 33

a12 a12 因此，有

Aa

a 12 22 22 aaaA133232 從而有A a，故選22 a 032 知識(shí)模塊50：可<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)44444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)可逆矩陣的定A1(二)可逆矩陣的充要條nA可逆的充分必要條件是其行列式|A|0AA1|A

A* 【趁熱打鐵】設(shè)矩陣A ，判定矩陣A 【解析A

1 1A1 A* 1|A 1 2（三）可逆矩陣的A為可逆矩陣，則A1)1也可逆，且A1)1A A為可逆矩陣，數(shù)0，則A可逆，且(

AA為可逆矩陣，則AT也可逆，且AT)1A1)T1A可逆A也可逆，且A1

A|AAO

O A B1 B B1， O

O 0 0【趁熱打鐵】設(shè)A ，E為四階單位矩陣， 0 B(EA)1(EA)則(EB)1 【解析】先求出(ΕB)1BEA)1(EA，所 (EB)1E(EA)1(E (EA)1(EA)(EA)1(E 2(EA)1－１1(E 0 01 0 02 0 0 4 知識(shí)模塊50：可<基本習(xí)題組設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，滿足A30，則 EA不可逆，EA不可逆 B.EA不可逆，EA可逆C.EA可逆，EA可逆 D.EA可逆，EA不可逆na0,0,a)Ta0,En階單位矩陣,矩陣AETBE1T,其中A的逆矩陣為B,則 a3 32

C. D.3 03AB

BA6ABAA

1/ 1/

，則B 0

0 1 0 0 3 1 0 0 0

1 0 0 2 設(shè)矩陣A ，且滿足B(EA)1(EA)，則(EB)1 0 0 0

0 0 0 0 000000000

0 0 0 X

1

2AAnn,n11 1 k 1 陣，1,2為1n矩陣，則實(shí)數(shù)k的值等于 A. B. 11 1 1 11A1 【答案】

知識(shí)模塊50：可<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析(EA)(EAA2)EA3E(EA)(EAA2EA3E；由逆矩陣的定義可知，EAEA可逆.故選C.ABE，且T2a2ABET)(E1T)ET1T2aT

1

TO，從而有

12a a0，所以a3.【答案】 0A1BA6ABAA1A1B6EB；于是，有A1E 0B6(A1E)1

0

0 故選A.

6 EBEEA)1(E(EA)1(EA)(EA)1(EA)(EA)12E

(AE) 0 故選22

XX1 1

0

1 k 1 1 1AAE,A1 11 A1 由上式的第二個(gè)等式，有2kA1 k11(A1A)1kA11 11 k1A11

1 知識(shí)模塊51：初等變換和初等<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)44444444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)矩陣初等變換的定把矩陣某一行所有元素的k倍加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去.(二)初等矩Eij是由單位矩陣第i,jEi(c是由單位矩陣第i行(或列)乘cc0初等倍加矩陣EijEij(c是由單位矩陣第i行乘cjj列乘c加到第iEij1，Ei(c)c，Eij(c)E1E，E1(c)

1，E1(c)E(c)

i(c iiEijTEij，ET(c)E(c)，EijT(c)Eji(c)ii ,Es，使A Es 1 1 【趁熱打鐵】設(shè) 0A 0 6，求矩陣A 0 1 3【解析B

9

EAE(1)B 9

2AE1BE(1)1EBE(1)

E(1)

2 (三)用初等變換求矩陣的對(duì)矩陣AEAE，則AEEAA1.這是因 A1[A|E][E|(四)矩陣的等知識(shí)模塊51：初等變換和初等<基本習(xí)題組a13a12011.Aaa，B a，P10 23 21 a a a 0 33 31 02P 0，則必有 2 1C.B

B.BD.BAP2 已知A 2，則

1 4 1 6 2 6 2 1

4

41 1 6 2 6 A是3A的第1列與第2BB的第2列加到第3列得CAQC的可逆矩陣Q為

C. 0 1 1 0 0 101 001 1 .100 001 a14 1 a a 0已知A 24,B 21,P a a 0 34 31 a44 a41 00001001000012

A可逆，則

等于 1A. B.P C.PP D.P1 1 設(shè)A為n(n2)階可逆矩陣，交換矩陣A的第1行與第2行得B，A,B分別為A，B的伴隨 A在第1列與第2列得到A在第1行與第2行得到A在第1列與第2列得到A在第1行與第2行得到1.【答案】

知識(shí)模塊51：初等變換和初等<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析陣，由“行左列右”性質(zhì)，可知D是正確的.D.2.【答案】 1 0 0【解析】(A:E) 0 0 1 1 0 0 0 1 1

1 1 2 1A1

1 3 3 C.B的第2列加到第3列得C，BE321)C，AQC， QEE(1)

E

0 1 1 21 1 0 1【解析】因交換A2,3兩列并交換A第1,4兩列后可行到B，由初等方陣的作用知BAPPB1APP)1P1P1A1PPA12 2 1C.5.【答案】(EA)BBA(E) B 所以相當(dāng)于交換A的第1列與第2列得到知識(shí)模塊52：矩<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)4二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)k階子ij矩陣A(a 的任意k個(gè)行和任意k個(gè)列的交點(diǎn)上的k2個(gè)元素按原順序排成kijai ai aiaaa1 1 1aaai i i2 2 2

ai

ai

aik k k(二)矩陣的記為r(A)r，即非零子式的最高階數(shù). 【趁熱打鐵】設(shè)A 3，已知r(A)=1，求k 【解析】因?yàn)閞(A)=1，由定義知A的所有2階子式全為零，于是

0 3 所以k1，將k1代入得到A 3，經(jīng)驗(yàn)證A的所有2階子式全為零， 3 1k1.r(A)r(AT)AnrAnr(kA)r(A)，k0r(AB)r(A)r(B)

A0Ar(AB)r(A),r(AB)r(B)) r(A)

r(A)r(A)nr(A)nr(ATA)r(A)知識(shí)知識(shí)模塊52：矩<基本習(xí)題組T設(shè)(1,0,1,2),(0,1,0,2)，A，則r(A) T 1已知A

,r(A)3,則a,b的取值為 b2 a4,bC.a4,b

a4,bD.a4,b設(shè)A為n階矩陣，且A2A，E為n階單位矩陣，若r(A)r，則r(AE) C.n D.n設(shè)A為mn,B為nm矩陣,E為m階單位矩陣,若ABE,則 r(A)m,r(B)C.r(A)n,r(B)

r(A)m,r(B)D.r(A)n,r(B)設(shè)A為mn矩陣，C是n階可逆矩陣，r(A)r，ACB，且r(B)r1，則 rC.r

r<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【答案】

2

2【解析】A0 2 0 0 0 2 4 r(A)B.

1

1【解析】A b

a b a4 arA3,所以

b ,即bD.3.【答案】A2A,AAEO又因?yàn)閞ArAE)EEAA,nr(E)r(EAA)rAErrArAE)n,rAE)nC.4.【答案】ABE,rAB)r(E)rABrA)mrAB)r(B)A.5.【答案】【解析】由于C是nrArACB,rr(A)r(AC)r(B)第三知識(shí)模 53：向量的線性組合與線性表示、向量組等<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)4二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)n個(gè)數(shù)a1,a2 ,an構(gòu)成的有序數(shù)組，稱為一個(gè)n元向量(也稱n維向量)，記作a1a2 an)，其中ai稱為的第i個(gè)分量.向量寫成上述形式稱為行向量，寫成列的形a1a2 (a,a ,a

n

(二)向量(三)向量組的線性組給定向量組1,2 ,m，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)k1,k2 ,kmmkiik11k22 kmm稱為向量組1,2 ,m的一個(gè)線性組合，k1,k2 ,km稱i(四)向量的線性表給定向量組1,2 ,m和向量，如果存在一組數(shù)k1,k2 ,km，k11k22 則稱向量能由向量組1,2, ,m線性表示．能由1,2 ,m線性表存在k1,k2 ,km，使得k11k22 kmm成方程組(1,2 ,m)x有矩陣A(1,2 ,m)的秩等于矩陣B(1,2 ,m,)的秩【趁熱打鐵】設(shè)11,2,0)T,21,a2,3a)T,3(1,b2,a2b)T,1,3,3)T.試討ab為何值，能由1,2,3線性表示．【解析B,,)

1 a b a 1 1 a 1 1 1 a 0 a0b為任意值時(shí)，矩陣A1,2,3的秩都等于矩陣B1,2,3的秩，此能由1,2,3線性表示．a(chǎn)0，b為任意值A(chǔ)(1,2,3的秩都不等于矩陣B(1,2,3的秩此時(shí)不能由1,2,3線性表示(五)向量組等設(shè)有兩個(gè)向量組(I)：1,2, ,m及(II)：1,2, 知識(shí)模 53：向量的線性組合與線性表示、向量組等<基本習(xí)題組設(shè)向量組(1,2,3)T1,1,1)T(1,3t)Tkk,使kk1立,則t

D.

1 2 可以由1,2,3線性表示，但表示法不唯不可以由1,2,3線性表可以由1,2,3線性表示，且表示法唯不能確定是否能由1,2,3設(shè)向量可由向量組1,2, ,m線性表示，但不能由向量組(I)1,2, 向量(II)1,2, ,m1,，則（ am不能由(I)線性表示，也不能由(II)am不能由(I)線性表示，但能由(II)am可由(I)線性表示，也可由(II)am可由(I)線性表示，但不能由(II)1(1,0,1)T20,1,1)T3(1,3,5)T11,1,1)T21,2,3)T3(3,4,a)T線性表示，則a A,B,C均為n階矩陣若ABC，且B可逆，則 知識(shí)模 53：向量的線性組合與線性表示、向量組等<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【解析】由題設(shè)kk

可得3

1 1 2 t 13 2 k1k22kk3解得t C.2.【答案】【解析】先112233,則由兩個(gè)向量相等可得 123 123 解得 C.3.【答案】【解析】設(shè)向量可由向量組1,2 ,m線性表示, 又因?yàn)橄蛄坎荒苡上蛄拷M1,2 ,m1線性表示,故有m1因此mm(1122 m1m1即向量m可由向量組 ,m1,線性表又設(shè)向量m可由向量組 ,m1線性表示,則ml11l22 (1ml1)1(2ml2)2 所以向量m不能由向量組1,2, ,m1線性表示故選B.4.【答案】 a

1 2 0故選C.5.【答案】【解析】將A,C按列分塊，A(1,2 ,n)，C(1,2 ,n b1n(, ,) (, ,

b nn

【解析】,, 0 【解析】,, 0 所以矩陣CBAB.知識(shí)模塊54：向量組的線性相關(guān)與線性<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)444444444444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)向量組的線性相關(guān)和線性無對(duì)于向量組a1,a2 ,am，如果存在不全為零的數(shù)k1,k2 ,km，k1a1k2a2 kmam則稱此向量組a1,a2 ,am線性相關(guān)，否則稱其為線性無關(guān)對(duì)于向量組a1,a2 ,am，若k1a1k2a2 kmam0當(dāng)且僅k1k2 km0時(shí)才成立，則稱向量組a1,a2 ,am線性無關(guān)k1k2kaka ka0a,a ,a

01 2 m m knA(a1,a2am，則向量組a1a2am線性相關(guān)(無關(guān))的充分必要條件是齊次線性方Ax0有非零解(唯一的零解)rA)m(rA)m)．(二)向量組的線性相關(guān)性若向量組aa2am若向量組1,a2,,m性無關(guān)，則它的向量組必線性無關(guān)．若aa,a

a1

a2

am

12 ma1

a2

am

線性相關(guān)，則aa,a 12 m向量組a1a2am(m2線性相關(guān)(無關(guān))的充分必要條件是其中至少有一個(gè)(任一個(gè))向量(均不)可由其余m1個(gè)向量線性表示．若向量組a1a2am線性無關(guān)，而向量組a1a2am線性相關(guān)，則可由a1a2am線性表示，且表出法【趁熱打鐵】已知a1a2,a3線性無關(guān)，證明2a13a2a2a3a1a2a3線性無【解析】設(shè)k1(2a13a2k2a2a3k3a1a2a30,(2k1k3)a1(3k1k2k3)a2(k2k3)a3由已知條件a1a2,a3線性無關(guān)，2k1k3kkk3 kk

系數(shù)行列式 110,則齊次線性方程組只有零解，即k1k2k3 1故2a13a2a2a3a1a2a3線性無關(guān)知識(shí)模塊54：向量組的線性相關(guān)與線性<基本習(xí)題組下列向量組中a,b,c,d,e,f均是常數(shù)，則下列向量組線性無關(guān)的是( A.1=(1,-1,0,2)T,2=(0,1,-1,1)T,3(0,0,0,0)TB.1=(a,b,c)T,2(b,c,d)T,3(c,d,a)T,4(d,a, C.=(a,1,b,0,0)T,(c,0,d,1,0)T,(e,0,f D.(1,2,1,5)T,(1,2,3,6)T,(1,2,5,7)T,(0,0, 設(shè)n維向量組I:1,2 ,s及向量組II:1,2,,t均線性無關(guān)，且I中的每個(gè)向量都不由II線性表示同時(shí)II中的每個(gè)向量也不能由I線性表示，則向量組III:1,2, ,s,1,2, 線性關(guān)系是()A.線性相 A.s個(gè)n維向量1,2, ,s線性無關(guān)，則加入k個(gè)n維向量1,2, ,k后的向量B.s個(gè)n維向量1,2, ,s線性無關(guān)，則每個(gè)向量增加k維分量后得到的向量組仍然C.s個(gè)n維向量1,2 ,s線性相關(guān)則加入k個(gè)n維向量1,2 ,k后的向量組仍D.s個(gè)n維向量1,2 ,s線性無關(guān)，則減少一個(gè)向量后得到的向量組仍然線性無設(shè)向量組 ,s1線性相關(guān),向量組2 ,s線性無關(guān),則 1不能由2 ,s1線性表示，s不能由 ,s1線性表1能由2 ,s1線性表示，s不能由 ,s1線性表1不能由2 ,s1線性表示，s能由 ,s1線性表1能由2 ,s1線性表示，s能由 ,s1線性表向量組1,2 ,m線性無關(guān)的充分必要條件是 向量組1,2 ,m,線性無存在一組不全為零的常數(shù)k1,k2 kmm向量組1,2 ,m的維數(shù)大于其個(gè)向量組1,2 的任意一個(gè)部分向量組線性無知識(shí)模塊54：向量組的線性相關(guān)與線性無<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析1.【答案】C中向量,,1,3個(gè)分量，得到縮短的向量組′=(10,0)T ′0,1,0)T,′(0,0,1)T是線性無關(guān)的基本向量，添加分量成

, C.2.【答案】【解析】DI:(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)T

1(0,0,1,0)T120,0,0,1)TI,IIIII2I:(1,0,0,0)T,(0,1,0,0)T,(0,0,1,0)T;II:(1,1,0,1)T,(0,0,0,1)T 故選C.【答案】BC正確；由“整體無關(guān)，則部分無關(guān)”知D正確；故選A.【答案】【解析】由于向量組2 線性無關(guān)，則向量組2 ,s1線性無關(guān)，又因?yàn)橄蛄?,s1線性相關(guān)，所以1能由2, ,s1線性表示，s不能由1, 假設(shè)s能由 ,s1線性表示，則存在常數(shù)1,2 ,s1使得s11 (1)由于1能由2 ,s1線性表示，則存在常數(shù)k1,k2 ,ks2,使1k12 ks2s1.將此式代入(1)式中，得s1k12 ks2s122 s1s1k122 1ks2s1s1這與向量組2, ,s線性無關(guān) .故假設(shè)不成立，即s不能由1, 故選B.【答案】【解析】 不對(duì)，因?yàn)?,2 ,m,線性無關(guān)可以保證1,2 ,m線性無關(guān)，1,2 ,m線性無關(guān)不能保證1,2 ,m,線性無關(guān)B不對(duì)，因?yàn)?,2 ,m線性無關(guān)可以保證對(duì)任意一組非零常數(shù)k1,k2 ,km，k11k22 kmm0但存在一組不全為零的常數(shù)k1,k2 ,km使得k11k22 1,2 ,m線性無關(guān)C不對(duì)，向量組1,2 1(1,0)T,2知識(shí)模塊55：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)44444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)向量組的極大線性無關(guān)組和向量組設(shè)向量組1,2 ,s的部分組i1,i2 ,ir滿足i1,i2 ,ir線性無關(guān)1,2 中的任一向量均可由它們線性表(或(2)1,2 ,s中的其余向量均可由i1,i2 ,ir線性表示則稱向量組i1,i2 ,ir為向量組1,2 ,s的一個(gè)極大線性無關(guān)組向量組1,2 ,s的極大線性無關(guān)組i1,i2 中所包含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量1,2 ,s的秩，記為r(1,2 ,s)r將所給的向量按列排成列向量組(不管題目給出的向量是行向量還是列向量都按列來排)構(gòu)陣A1,2, ,s)陣A陣B(1,2 ,s)，則矩AB ,s)r(1, ,s)若i1, ,ir為1, ,s的一個(gè)極大線性無關(guān)組，則i1,i2 ,ir ,s的一個(gè)極大線性無關(guān)組若lk1i1k2i2 krir，則lk1i1k2i2 krir【趁熱打鐵】設(shè)向量組11,1,24,203,12,33,041,2,2,0,52,1,5,10，求向量組的秩及其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該【解析】將所給向量組按列來排構(gòu)成矩陣A，對(duì)其進(jìn)行初等行變換，得 AT,T,T,T,T 2

2 3 1 0 0 0101

211 0 0 1,2,3,4,5r1,2,3,4,51,2,4為向量組1,2,3,4,5的一個(gè)極大線性無關(guān)組3312,521r1,2,3,4,51,2,4為向量組1,2,3,4,5的一個(gè)極大線性無關(guān)組3312,5212(二)向量組的秩的性若向量組12,t可由向量組1,2,,s線性表示，(12,t)(1,2,,s)Kst(K為系數(shù)構(gòu)成的矩陣)r(1,2,,t)r(1,2,,s)若向量組1,2,,s可由向量組1,2,,s線性表示，且1,2,,s線性無關(guān)，r(1,2,,s)s，且向量組1,2,,s可由向量12,s線性表示若向量12,t可由1,2,,s線性表示，且ts12,t線性相若向量組12,t可由1,2,,s線性表12,t線性無關(guān),則ts．(簡(jiǎn)知識(shí)模塊55：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組<基本習(xí)題組設(shè)有向量組11,1,24,203,1,2,33,0,7,14,41,2,2,52,1,5,10,則該向量組的極大無關(guān)組為 A.1,2C.1,2

B.1,2D.1,2,4若向量組12s的秩為r，則 r向量組中任意r+1個(gè)向量必定線性相設(shè)1,2,,m12,m(m2)為兩個(gè)n維向量組, m12 A.r1,2,,mr1,2,,mB.r1,2,,mr1,2,,mC.r1,2,,mr1,2,,m設(shè)1,2,,s和1,2,,t為兩個(gè)n維向量組,且r(1,2,,s)，r(1,2,,t)的都為r，則（ r(1,,s,1,,t)當(dāng)1,2,,s可由向量組1,2,,t線性表示時(shí)1,2,,t也可1,2,,s線性表st已知兩個(gè)n維向量組1,2,,s1,2,,s,s1,,st.若向量組的秩(Ⅰ)=p，r(Ⅱ)=q，則下列條件中不能判定(Ⅰ)是(Ⅱ)的極大線性無關(guān)組的是 A.pq，(Ⅱ)可由(Ⅰ)線性表 B.sq，(Ⅰ)與(Ⅱ)是等價(jià)向量C.pq，(Ⅰ)線性無 D.pq知識(shí)模塊55：向量組的極大線性無關(guān)組與向量組<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【答案】 1 0 3 1 2

1 0 3 1 2 AT,T,T,T,T 1,2,3,4,5

10 為1,2,41,3,41,5,4.故選B.【解析】向量組12 s的秩為r，說明12 s的線性無關(guān)部分組所包含向量的個(gè)數(shù)不超過r，即任意r+1個(gè)向量必定線性相關(guān)，故（D）成立.若12 s線性無關(guān)，r=s，（A）不成立；向量組12s的秩r，只要求存在r個(gè)線性無關(guān)的部分組，并不 1 ,m1, m 1=1, m

1m1m10，故C所以r1,2 ,mr1,2 ,m【答案】【解析】若令1=(1,0),1(0,1，則（A），（B），（D）然不成立，只有（C）為正確答故選C.知識(shí)模塊56:齊次線性方<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)475946755二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)線性方程組的三種表達(dá)形式、解與線性方程組的三種表達(dá)形一般形11 12 1n axa11 12 1n axax axb21 22 2n am1x1am2x2 amnxn

稱為m個(gè)方程n個(gè)未知量的線性方程組，當(dāng)b1b2 bm0時(shí)，稱為齊次線性方程組，b1,b2 矩陣形 a1n x1 b1 x b設(shè)A 2n，x2，b2，則（4.1）可表為 xb mn n m向量形a11 a12 a1n b1a b21，22，…，2n，b2 bm1 m2 mn m xnnb解與通Ax0bx0Axb(二)線性方程組的克拉默(Cramer)j1, （三）齊次線性方程組有非零解的條件及解的4.1Amn矩陣，Ax0有非零解（只有零解）的充要條件是rA)n（rA)n）.推論Annx0有非零解(只有零解)的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|（|A|0【趁熱打鐵設(shè)A是mn矩陣，B是nm矩陣，則線性方程組ABx (A)當(dāng)nm時(shí)僅有零解 (B)當(dāng)nm時(shí)必有非零解(C)當(dāng)mn時(shí)僅有零解 (D)當(dāng)mn時(shí)必有非零解r(AB)min(r(A),r(B))mnrABmin(rAr(Bnm．(系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù))方程組ABx0必有非零解，故應(yīng)選(D)．2.齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)和通解的求法(1)解的性質(zhì)①如果1，2是齊次線性方程組Ax0的解，則12也是它的解②如果Ax0的解，則對(duì)任意常數(shù)cc③如果1，2，…，t是方程組Ax0的解，則其線性組合c11c22 解，其中c1，c2，…，ct都是任意常數(shù).(2)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系（解的極大線性無關(guān)組如果1，2，…，t是齊次線性方Ax0的解向量，如果①1，2，…，t線性無關(guān)；Ax0的任一解向量可由1.，2，…，t線性表示，則稱1，2，…，t是方程Ax04.2AmnrArnAx0且基礎(chǔ)解系nr個(gè)解向量.Ax0Ax0的通解為k11k22knrA)nrA，其中k1k2,knrA)齊次線性方Ax0通解的求若rAnrAn，在每個(gè)階梯上選出一列，剩下的nrA列對(duì)應(yīng)的變量就是自由變量．依次對(duì)一個(gè)自由變量賦值為1，其余自由變量賦值為0，代入階梯形方程組中求解nrA)個(gè)線性無關(guān)的解，設(shè)為1,2,,nr(A)，即為基礎(chǔ)解系，則Ax0的通解為xk11k22 knr(A)nr(A)，其中k1,k2, ,knr(A)是任意常數(shù).【趁熱打鐵A

c

RA2kk

x0的通解是 1 2 1 2(A)k0 (B)k1 (C)k1 (D)k10k211

1

1 a b c 基礎(chǔ)解系中含有的向量的個(gè)數(shù)為2個(gè)，所以選擇(D)．知識(shí)模塊56:齊次線性方<基本習(xí)題組要使

100

都是線性方程組Ax0的解，只要系數(shù)矩陣A為 11122

2 1 24

1 2 0 1 0 1 已知1,2,3,4是Ax0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可選用( A.12,23,34,41B.1234的等價(jià)向量組1,2,3,C.1234的等秩向量組1,2,3,D.12,12,34,4設(shè)A是秩為n1的n階矩陣，1與2是方程組Ax0的兩個(gè)不同的解向量，則Ax0的通 A.1 B. C.k12

D.k12 3成 x4, B.x2, C.x2,

6 D.x1,

5.A54矩陣,A,,,，若1,1,2,1T，0,1,0,1TAx5.A 礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無關(guān)組是 A. B. C. D.1,2,【答案】

知識(shí)模塊56:齊次線性方<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【解析】12為方程組Ax0的解，因此要滿足A10A20.在四個(gè)選項(xiàng)中滿足題設(shè)條件只有A選項(xiàng).【答案】【解析】因?yàn)?22334410122334410，因此，即可排除A，D.關(guān)于C，因?yàn)榈戎炔荒鼙ＷCi是方程組的解，也就不可能是基B，由等價(jià)知12,34r1,2,3,4r1,2,3,44得到12,34線性無關(guān).故選B.【答案】的基礎(chǔ)解系由一個(gè)非零向量構(gòu)成.11212中哪一個(gè)一定是非零向量呢？已知條件只是說1與2是兩個(gè)不同的解，必有120.故選D.【答案】故選A.【答案】1,2nrA2rA)n2422，可得A的列向量組的極大線性無關(guān)組含有兩個(gè)向量.排除 0,1,0,1TAx0的解，得0,即向量 1,1,2,1TAx0的解，得200，故11230，排

知識(shí)模塊57:非齊次線性<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)476946766二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳定理 非齊次線性方程組Amnxb有解的充分必要條件是r(A)r(A,b)r.并且，rnrn【趁熱打鐵設(shè)向量組α13,33α211,α32,13,β,3，取何值時(shí)，β可由α1α2α3線性表示，且表達(dá)式不唯一.【解析x1α1x2α2x3α3β， 3 3 x1xx 33x1x23x3121213

21當(dāng)1

(A,b) 11 6 6 11 23 00 此時(shí)rArA,b23,方程組有無窮多β可由α1α2α3線性表示，且表達(dá)式不=②若ξAxbk為任意實(shí)數(shù)，則kξAxkb③若ξ1ξ2Axbξ1ξ2Ax0④若ξAxb的解，若ηAx0ξηAxbAx0的基礎(chǔ)解系，0Axb的一個(gè)特解，則非齊次線性方程組Axb的通解（或全部解）xk1ξ1k2ξ2 knrAξnrA其中k1,k2 ,knr(A)為任意常數(shù)112,3,4)T230,1,2,3)TAxbAx0123AxbA(21(23))2A1A2A3021232,3,45)TAx0Ax0的基礎(chǔ)解系（無關(guān)）.Axb(1,2,34)Tk(2,34,5)T（k為任意常數(shù)非齊次線性Axb通解的求rArAbAxb無解rArAbn，則方程組有唯一解，根據(jù)消元法得到方程組的唯一若rArA,bn，則方程組有無窮多解，設(shè)是Axb的一個(gè)特解，則Axb的通解為xk11k22 knrAnrA，其中1,2 ,nrA為Ax0的一組基礎(chǔ)解系 【趁熱打鐵】設(shè)線性方程組

有兩個(gè)解(2,3,4)T axaxax1 2 3 2(1,1,1)T，則方程組的通解 rArA3.又由于在系數(shù)矩陣A中，存在2階子式1230rA2，所以rA2.從而Ax0的基礎(chǔ)解系含有nrA1個(gè)解向量.由于2,34)T1,1,1)T1,2,3)TAx0Ax0 Axb的通解為(2,34)Tk(12,3)T（k為任意常數(shù)知識(shí)模塊57:非齊次線性<基本習(xí)題組

11.設(shè)A , ，若方程組Ax有無窮多解，實(shí)數(shù)a為 0 D.

2xx7x2有解,則 x2x 已知四元非齊次方程組AxbrA31,2,3是它的三個(gè)解向量，且 (1,1,0,2)T，(1,0,1,3)T，則Ax k(1,1,0,2)T B.k(1,0,1,3)T C.k(0,1,1,1)T D.k(1,1,0,2)Tk(1,0,1,3)T1x1x2xx

若線性方程組xxa有解，則常數(shù)a1,a2,a3,a4應(yīng)滿足條件 a1a2a3a4C.a1a2a3a4

a1a2a3a4D.a1a2a3a4已知方程組 a 3無解,則a 2 1 知識(shí)模塊57:非齊次線性<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【答案】Ax的增廣矩陣Aa10a001a10a001 0a00101a0 1a00 0. .

0 11a4

aa2rArA3，即aa20,a【答案】 1

1 1 2 1 1

該方程組有解10，解得1【答案】nr(A)431由題意知13Ax0的解,13(12)(2【答案】 a1 22011a301122011a3011.

aaa 4 4該方程組有解a1a2a3a40【答案】

1 a

3

11

a22a

a方程組無解a22a30a30,a知識(shí)模塊58:公共解、<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)公共解與同解的定Ax0b1Bx0b2x0Axb1,Bxb2的公共【深度理解Ax0Bx0Ax聯(lián)立Bx0Ax0Bx0中，再確定其通解表達(dá)式中任意常數(shù)應(yīng)滿足的條件，【可命題角度】已知兩個(gè)方程組有公共解，求未知參數(shù)及公【趁熱打鐵x1x2x3線性方程組x12x2ax30x12x2x3a1ax4xa2x 解

x2xax x4x

x

x12x2x3a 0A a 0 (a1)(a 0 1 a a1k01 1 0a2時(shí)，有唯一解，此時(shí)，有唯一公共解是1 知識(shí)模塊58:公共解、<基本習(xí)題組 xx xxx則以下正確的是

A．方程組Ⅰ和Ⅱ沒有公共 B．方程組Ⅰ和Ⅱ有唯一公共零C．方程組Ⅰ和Ⅱ有唯一公共非零 D．方程組Ⅰ和Ⅱ有無窮多公共

x1x2x3x2xax0與方程x2xxa1有唯一公共解,則a為 x4xa2x 設(shè)A與B均是n階矩陣,且秩rArBn,則方程組Ax0與方程組Bx0() Ax0的解均是Bx0的解,rArBrArB,Ax0的解均Bx0Ax0Bx0同解,rArBrArB,Ax0Bx0同解．以上命題中正確的是 x12x23x3 xbxcxⅠ

2x3x5x和

Ⅱ2x1b2

xxax 同解,則a,b,c滿足 A．a(chǎn)2,b1,c C．a(chǎn)1,b1,cB．a(chǎn)2,b0,cD．a(chǎn)1,b0,c知識(shí)模塊58:公共解、<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析D【解析】聯(lián)立方程組Ⅰ和Ⅱ 1 1 0 0

0 A 0

nrA1,基礎(chǔ)解系是1,1,2,1T,從而有方程組Ⅰ和Ⅱ的公共k1,1,2,1T,k【答案】1 0 0 1 0 a 0 a A 1 0 a2 0 1 a 1 a

a

a1a2方程組有唯一公共解,rArA3,解得a1a2．【答案】AxBx 因?yàn)閞 rArBn,即方程組Ax0與方程組Bx0有非零公共解B【解析】對(duì)于命題(1)Ax0Bx0的解,Ax0Bx0的基礎(chǔ)解系中解向量個(gè)數(shù),nrAnrB,rArB命題(3)同解方程組，必有相同的解向量,nrAnrB,得rArB,故命題【解析】因?yàn)榉匠探MⅡ中方程的個(gè)數(shù)小于未知數(shù)的個(gè)數(shù),故方程組Ⅱ必有無窮多解,由方程組Ⅰ和Ⅱ同解,知方程組Ⅰ必有無窮多解,于是123A2352a0,a211a代入可知k11,1T是方程組Ⅰ的通解,k11,1T代入方程組Ⅱ,2b2c1k那么b2b0,可得b1,c2或b0,c1．經(jīng)b1c2時(shí)方程組Ⅰ和Ⅱ同解．故選A．第五章矩陣的特征值和特征向知識(shí)模塊59：矩陣的特征值和特征向量的概念、<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)矩陣的特征值與特征向量及其相關(guān)pA的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量fEAAEA0A(1)App也可寫成AEp0，這n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次線性方程組，它．(二)特征值與特征向量若1，2都是特征值i所對(duì)應(yīng)的特征向量，則1，2的任一非零線性組合k11k22仍是屬于i的特征向量．對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，即若1,2, ,p是n階矩陣A的互不相等的特征值，1,2, ,p依次是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，則1,2, ,p線性無關(guān)． 設(shè)n階矩陣A的n個(gè)特征值為1,2 ,n，則有iaiitr(A)，其中tr(A) n i(三)特征值與特征向量對(duì)于具體的數(shù)字矩陣，應(yīng)先由特征方程AE0求出矩陣A的全部特征值（i12,,n）中可能有重根．然后對(duì)每個(gè)不同的特征值i，分別求出齊次線性方程組AiEx0的基礎(chǔ)解系1,2,,s，則1,2,,sA的對(duì)應(yīng)于特征值i的線性無關(guān)的特征向量，且A的對(duì)應(yīng)于特征值i的任一特征向量都是1,2,,s的非零線性組合.【趁熱打鐵】若12是矩陣A不同的特征值p1是對(duì)應(yīng)于1的特征向量p1不是2【解析（反證法）p12所對(duì)應(yīng)的特征向量，則1p1Ap12p112p10．從12p10，與特征向量非零相．A2pApAp2p，故A22AEpA2p2ApEp2p2pp221p，221A22AE的特征值．A的特征值為1,2,3A22AE的特征值為4,1,16 【趁熱打鐵】求矩陣A 3的特征值 【解析】由特征方A

3 1(3)2 3862(4)(2)A的特征值為1224當(dāng)12時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿3 1x1

1x1

0 ， 3 1x 0解得基礎(chǔ)解系為

2 2 k（k0） 當(dāng)243 1x1

1x1

0 34x

，即

1x 0解得基礎(chǔ)解系為

2 2 k（k0） 1知識(shí)模塊59：矩陣的特征值和特征向量的概念、<基本習(xí)題組已知1,1

2 1 2 是A A.a3,b B.a1,b C.a3,b D.a1,bA的3個(gè)特征值為1,12A*)2 若0是矩陣A的特征值，那么

齊次方程組Ax0只有零 B.齊次方程組Ax0有非零 A

a 1 c 1 a

A1,A*一個(gè)特征值 (1,1,1)T，則0

1

2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則 3

知識(shí)模塊59：矩陣的特征值和特征向量的概念、<基本習(xí)題組標(biāo)準(zhǔn)解析【答案】A，解得a3,b0；故選A.【答案】A的特征值為1,12A2A*的特征值為22，1，A*)244，1A*)26E的特征值為10,106A*)2故選A.【解析】因?yàn)?0EA0AB.4.【答案】

10106600 ，A 解得05.【答案】

34【解析】(3)的特征值是3， 34

，故 知識(shí)模 60：相似矩陣及矩陣可相似對(duì)角化的充要條<標(biāo)準(zhǔn)文本一、考頻統(tǒng)9444二、考點(diǎn)提三、考點(diǎn)詳(一)相似矩陣的概念及性ABnPBP1APABA~BA~B，則有ABAEBE，從而它們有相同的特征值．進(jìn)而，AB有相同的跡和行列式，即trAtrBAB；ABrAr(BABA1B1AkBk相似，其中k(二)矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條n階矩陣A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量．事實(shí)上，