2021北京理工大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)（教師版）

13/132021北京理工大附中高一（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）已知向量＝（3，4），則下列向量中與垂直的是（）A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（4，3） D．（3，﹣4）2．（4分）已知復(fù)數(shù)z滿足zi＝1﹣i，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（4分）在△ABC中，cosA＝，cosB＝，則cos（A﹣B）＝（）A． B．0 C． D．4．（4分）已知向量＝（1，），向量＝（，），則向量與向量的夾角為（）A．60° B．30° C．120° D．150°5．（4分）已知α為銳角，，則（）A．sinα＞cos2α B．sin2α＜cos2α C．sin2α＞tan2α D．cos2α＞tan2α6．（4分）在△ABC中，a＝1，，A＝30°，則c＝（）A．1 B．2 C．1或2 D．無(wú)解7．（4分）函數(shù)y＝1﹣2sin2（x﹣）是（）A．最小正周期為的奇函數(shù) B．最小正周期為的偶函數(shù) C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù)8．（4分）已知tanβ＝3，tan（α﹣β）＝5，則tanα的值是（）A． B． C． D．9．（4分）△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件10．（4分）已知△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，且△ABD面積是△ADC面積的2倍．若AD＝1，DC＝，則AC的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．（4分）已知復(fù)數(shù)z＝1+i，則z2+z?＝．12．（4分）能說(shuō)明“在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則A＝B”為假命題的一組A，B的值是．13．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（可以與端點(diǎn)重合），則＝，的最大值為．14．（4分）函數(shù)f（x）＝cos2x+cosx的最小值為．15．（4分）若△ABC的面積為，且C為鈍角，則B＝；的取值范圍為．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．（10分）已知，且．（1）求的值；（2）求的值．17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）若當(dāng)x∈[0，]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

18．（10分）如圖，CM，CN為某公園景觀湖畔的兩條木棧道，∠MCN＝120°，現(xiàn)擬在兩條木棧道的A，B處設(shè)置觀景臺(tái)，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c（單位：百米）．（1）若b﹣a＝c﹣b＝4，求b的值；（2）已知AB＝12，記∠ABC＝θ，試用θ表示路線A﹣C﹣B的長(zhǎng)，并觀察A﹣C﹣B長(zhǎng)的最大值．19．（10分）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)△ABC的面積為S△ABC，已知，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，求a與sinC的值．條件①：b＝3；條件②：；條件③：．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，得出結(jié)論．【解答】解：∵向量＝（3，4），（﹣3，4）?（3，4）＝﹣9+16＝7≠0，故排除A；∵（﹣4，3）?（3，4）＝﹣12+12＝0，故B滿足條件；∵（4，3）?（3，4）＝12+12＝24≠0，故排除C；∵（3，﹣4）?（3，4）＝9﹣16＝﹣7≠0，故排除D，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出z的坐標(biāo)得答案．【解答】解：由zi＝1﹣i，得z＝，∴z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），位于復(fù)平面的第三象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．3．【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sinA，sinB，然后由兩角差的余弦公式求解即可．【解答】解：在△ABC中，，所以，，則cos（A﹣B）＝cosAcosB+sinAsinB＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的運(yùn)用以及兩角和差公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用向量夾角數(shù)量積公式直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，），向量＝（，），∴cos＜＞＝＝，∵＜＞∈[0°，180°]，∴向量與向量的夾角為60°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量夾角的求法，考查向量夾角數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出cosα，由二倍角公式求出sin2α，cos2α，tan2α，然后比較大小即可得到答案．【解答】解：因?yàn)棣翞殇J角，，則，，所以sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1﹣2sin2α＝，tan2α＝＝，因?yàn)椋迹蕇in2α＜cos2α，又＜，故sin2α＜tan2α，又＞，所以cos2α＜tan2α，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，二倍角公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．6．【分析】由已知利用余弦定理可得c2﹣3c+2＝0，解方程即可得解c的值．【解答】解：因?yàn)閍＝1，，A＝30°，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得1＝3+c2﹣2×c×，整理可得c2﹣3c+2＝0，解得c＝1或2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得y＝sin2x，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：y＝1﹣2sin2（x﹣）＝1﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos（2x﹣）＝sin2x，可得函數(shù)最小正周期T＝＝π，又f（﹣x）＝sin2（﹣x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），函數(shù)為奇函數(shù)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二倍角公式，誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】由已知tanα＝tan[（α﹣β）+β]，結(jié)合兩角和的正切公式即可直接求解．【解答】解：因?yàn)閠anβ＝3，tan（α﹣β）＝5，則tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角差的正切公式，解題的關(guān)鍵是拆角技巧的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】由正弦定理，結(jié)合acosB＝bcosA，可得△ABC是等腰三角形．反之不成立．【解答】解：由正弦定理可得：＝，若acosB＝bcosA，則tanB＝tanA，∵A，B為三角形的內(nèi)角，∴A＝B．∴a＝b，即△ABC是等腰三角形．反之不成立，可能a＝c或b＝c．∴“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要條件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充要條件的判定方法、正弦定理、等腰三角形，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】如圖，過(guò)A作AE⊥BC于E，由已知及面積公式可得BD＝2DC，過(guò)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB＝2AC，令A(yù)C＝x，則AB＝2x，利用余弦定理即可解得AC的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，過(guò)A作AE⊥BC于E，∵＝＝2∴BD＝2DC＝2×＝．過(guò)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∴＝＝2，∴AB＝2AC，令A(yù)C＝x，則AB＝2x，∵∠BAD＝∠DAC，∴cos∠BAD＝cos∠DAC，∴由余弦定理可得：＝，∴x＝1，∴AC＝1，∴AC的長(zhǎng)為1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形面積公式，正弦定理，余弦定理等知識(shí)的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】把z＝1+i代入z2+z?，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：∵z＝1+i，∴z2+z?＝（1+i）2+（1+i）（1﹣i）＝2i+1﹣i2＝2+2i．故答案為：2+2i．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．12．【分析】取A＝60°，B＝30°代入檢驗(yàn)可得．【解答】解：當(dāng)A＝60°，B＝30°時(shí)，sin2A＝sin120°＝，sin2B＝sin60°＝，此時(shí)sin2A＝sin2B/故答案為：A＝60°，B＝30°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．13．【分析】畫出圖形，建立坐標(biāo)系，然后求解向量的數(shù)量積，以及向量數(shù)量積的最大值即可．【解答】解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，則E（2，2），D（0，4），F(xiàn)（x，4），x∈[0，2]，所以＝（2，2）?（﹣2，2）＝0，當(dāng)F在C處時(shí)，的最大值為（2，2）?（2，4）＝12．故答案為：0；12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，是中檔題．14．【分析】利用二倍角公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，求解函數(shù)的最小值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos2x+cosx＝2cos2x+cosx﹣1，當(dāng)cosx＝時(shí)，函數(shù)取得最小值：2×﹣1＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的最值的求法，二次函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．15．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角形的面積公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：△ABC的面積為，故＝，整理得tanB＝，由于0＜B＜π，故B＝，由于C為鈍角，所以，解得，則：，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角形的面積公式的應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．【分析】（1）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出cosα，然后由兩角和的余弦公式求解即可；（2）利用二倍角公式將式子化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)?，且，所以，則＝＝；（2）＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，涉及了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，兩角和差公式的運(yùn)用，二倍角公式的運(yùn)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．【分析】（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)f（x）的解析式，利用整體代換和正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，由周期的公式求解最小正周期即可．（2）將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m≤f（x）min，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x＝＝＝，令，解得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為；函數(shù)f（x）的最小正周期為＝π；（2）由題意可知，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，因?yàn)閤∈[0，]，則，所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，此時(shí)，所以m≤﹣1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣1]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性以及周期公式的應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題的求解，要掌握不等式恒成立問(wèn)題的一般求解方法：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題．18．【分析】（1）由已知可得a，c用b表示，再由余弦定理可得b的值；（2）由正弦定理可得a，b用θ的三角函數(shù)表示的解析式，由θ的范圍求出a+b的最大值．【解答】解：（1）因?yàn)閎﹣a＝c﹣b＝4，可得：a＝b﹣4，c＝b+4，∠MCN＝∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcos∠ACB，所以可得：（b+4）2＝（b﹣4）2+b2﹣2（b﹣4）?b?（﹣），整理可得：b2﹣10b＝0，解得b＝10；（2）在△ABC中，θ∈（0，），由正弦定理可得：＝＝＝，所以a＝8sin（60°﹣θ），b＝8sinθ，所以a+b＝8[sin（﹣θ）+sinθ]＝8（cosθ+sinθ）＝8sin（θ+），因?yàn)棣取剩?，），所以θ+∈（，），所以sin（θ+）≤1，所以a+b≤8，所以A﹣C﹣B長(zhǎng)的最大值為8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．19．【分析】分別選①②，①③，②③用面積公式即正余弦定理可得a，sinC的值．【解答】解：若①②時(shí)，由＝bcsinA，b＝3，c＝，所以可得sinA＝＝，因?yàn)槭卿J角△ABC中，所以cosA＝＝，由余弦定理可得：a＝＝＝2，由