2018屆數(shù)學大復習第八章解析幾何第五節(jié)橢圓理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE33-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第五節(jié)橢圓☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆考綱要求真題舉例命題角度1。掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率)；2。了解橢圓的簡單應用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想。2016，全國卷Ⅲ，11，5分(橢圓的幾何性質(zhì))2016，天津卷，19,14分(橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系）2016，浙江卷，9，5分(橢圓的幾何性質(zhì))2016，江蘇卷，10，5分（橢圓的幾何性質(zhì)）2015，全國卷Ⅰ，14,5分（橢圓的幾何性質(zhì)）橢圓的定義、標準方程、幾何性質(zhì)通常以小題形式考查，直線與橢圓的位置關系主要出現(xiàn)在解答題中。橢圓的考查頻率非常高，而且運算量、思維量都比較大，這是橢圓命題的一個顯著特征。微知識小題練自|主|排|查1．橢圓的概念平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于｜F1F2|）的點的軌跡叫橢圓。這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距集合P＝｛M||MF1|＋｜MF2｜＝2a，｜F1F2|＝2c,其中a＞0，c＞0，且a（1)若a＞c，則集合P為橢圓；（2）若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集。2．橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1(a＞b＞0）eq\f(y2，a2）＋eq\f（x2,b2）＝1（a＞b＞0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸對稱中心:原點頂點A1（－a,0），A2（a,0）B1(0，－b），B2（0,b）A1（0，－a），A2(0，a）B1（－b,0），B2（b，0）軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為焦距｜F1F2｜＝離心率e＝eq\f(c,a)∈（0，1）a，b,c的關系c2＝a2－b23．橢圓中常用的4個結(jié)論(1）設橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1(a＞b＞0)上任意一點P(x，y），則當x＝0時，｜OP|有最小值b，這時P在短軸端點處;當x＝±a時，|OP|有最大值a，這時P在長軸端點處.（2)橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊長,a2＝b2＋c2.（3）已知過焦點F1的弦AB,則△ABF2的周長為4a（4)若P為橢圓上任一點,F為其焦點,則a－c≤|PF|≤a＋c.微點提醒1．在求橢圓的離心率時,橢圓中a,b，c之間的關系容易忽略。2．橢圓的離心率的大小決定橢圓的扁平程度：離心率越大,橢圓越扁;離心率越小，橢圓越圓。3．方程Ax2＋By2＝1(AB≠0）表示橢圓的充要條件是A〉0，B〉0且A≠B.小｜題|快｜練一、走進教材1．（選修2－1P40例1改編)若F1(3，0)，F(xiàn)2（－3，0)，點P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點的軌跡方程是（)A.eq\f（x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1 B。eq\f（x2,100）＋eq\f（y2，9）＝1C。eq\f（y2,25）＋eq\f(x2,16）＝1 D.eq\f(x2，25）＋eq\f（y2，16）＝1或eq\f（y2，25)＋eq\f(x2,16）＝1【解析】設點P的坐標為(x,y),因為｜PF1|＋｜PF2|＝10〉|F1F2|＝6,所以點P的軌跡是以F1,F2為焦點的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝eq\r（a2－c2)＝4，故點P的軌跡方程為eq\f(x2，25）＋eq\f（y2,16)＝1.故選A。【答案】A2．(選修2－1P49A組T6改編）設橢圓的兩個焦點分別為F1,F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PFA.eq\f(\r(2），2） B。eq\f（\r(2)－1,2）C．2－eq\r（2） D.eq\r(2)－1【解析】解法一：設橢圓方程為eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1,依題意，顯然有|PF2|＝|F1F2|,則eq\f（b2，a)＝2c,即eq\f(a2－c2，a)＝2c,即e2＋2e－1＝0，解得e＝eq\r（2)－1。故選D.解法二：因為△F1PF2為等腰直角三角形，所以｜PF2｜＝｜F1F2｜＝2c，|PF1｜＝2eq\r（2)c.因為｜PF1｜＋｜PF2|＝2a，所以2eq\r（2）c＋2c＝2a，所以e＝eq\f（c，a)＝eq\f（1，\r（2）＋1)＝eq\【答案】D二、雙基查驗1．設P是橢圓eq\f(x2，4)＋eq\f(y2，9）＝1上的點，若F1,F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1｜＋｜PF2|等于()A．4 B．8C．6 D．18【解析】依定義知|PF1｜＋|PF2|＝2a【答案】C2．方程eq\f(x2,5－m）＋eq\f（y2,m＋3）＝1表示橢圓，則m的范圍是(）A．(－3，5） B．(－5，3)C．(－3，1)∪(1,5） D．(－5，1）∪(1,3)【解析】由方程表示橢圓知eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（5－m＞0，，m＋3＞0，,5－m≠m＋3，))解得－3＜m＜5且m≠1。故選C?！敬鸢浮緾3．橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2，4＋k)＝1的離心率為eq\f（4,5),則k的值為(）A．－21 B．21C．－eq\f（19,25)或21 D.eq\f(19,25）或21【解析】若a2＝9，b2＝4＋k,則c＝eq\r（5－k)，由eq\f(c，a）＝eq\f(4，5）,即eq\f（\r（5－k),3）＝eq\f（4,5），得k＝－eq\f(19，25）；若a2＝4＋k，b2＝9，則c＝eq\r(k－5)，由eq\f（c，a)＝eq\f(4，5），即eq\f(\r（k－5），\r(4＋k)）＝eq\f（4,5)，解得k＝21。故選C.【答案】C4．已知橢圓的一個焦點為F（1,0)，離心率為eq\f(1，2),則橢圓的標準方程為________.【解析】設橢圓的標準方程為eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1(a>b>0)，因為橢圓的一個焦點為F（1，0),離心率e＝eq\f(1，2)，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1,，\f(c,a）＝\f(1，2），，a2＝b2＋c2，)）解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2c＝2，，b2＝3，))故橢圓的標準方程為eq\f（x2,4)＋eq\f（y2,3)＝1?！敬鸢浮縠q\f(x2，4)＋eq\f（y2,3）＝15．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的左，右焦點，點P在橢圓上，且滿足｜PF1|＝2｜PF2｜，∠PF1F2【解析】在三角形PF1F2sin∠PF2F1＝1,即∠PF2F1＝eq\f(π，2）,設|PF2｜＝1,則｜PF1|＝2，｜F2F1|＝eq\r(3)，所以離心率e＝eq\f(2c,2a）＝eq\f（\r(3)，3）?！敬鸢浮縠q\f（\r（3）,3）第一課時橢圓的概念及其性質(zhì)微考點大課堂考點一橢圓的定義及應用【典例1】（1）（2016·北京東城期末)過橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A,B兩點，則A與B和橢圓的另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為()A．2 B．4C．8 D．2eq\r（2）(2)F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f（x2,9)＋eq\f（y2,7)＝1的兩個焦點,A為橢圓上一點,且∠AF1F2＝45°,則△AF1F2的面積為（）A．7 B。eq\f(7,4）C.eq\f（7，2） D。eq\f(7\r（5）,2)【解析】（1）因為橢圓方程為4x2＋y2＝1,所以a＝1.根據(jù)橢圓的定義，知△ABF2的周長為|AB｜＋|AF2｜＋|BF2｜＝｜AF1｜＋|BF1｜＋｜AF2|＋｜BF2|＝(|AF1｜＋｜AF2|）＋(｜BF1｜＋|BF2|）＝4a（2）由題意得a＝3，b＝eq\r(7),c＝eq\r（2），∴｜F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6?！撸麬F2｜2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2｜AF1｜·｜F1F2|cos45°＝｜AF1｜2－4|AF1|＋8，∴（6－|AF1｜）2＝|AF1｜2－4|AF1｜＋8。∴|AF1｜＝eq\f（7,2).∴S＝eq\f(1,2）×eq\f（7，2)×2eq\r（2)×eq\f（\r(2）,2)＝eq\f（7,2）.故選C?！敬鸢浮浚?）B(2)C反思歸納1.橢圓定義的應用范圍（1）確認平面內(nèi)與兩定點有關的軌跡是否為橢圓。(2)解決與焦點有關的距離問題。2．焦點三角形的應用橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求｜PF1||PF2｜；通過整體代入可求其面積等.【變式訓練】(1)已知Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)，0)),B是圓eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f（1,2))）2＋y2＝4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于點P,則動點P的軌跡方程為________。(2)已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是此橢圓上的動點,A（1，1）是一定點.求｜PA｜＋｜PF|的最大值和最小值。【解析】（1）如圖，由題意知|PA|＝|PB|,｜PF｜＋|BP|＝2。所以|PA｜＋|PF｜＝2且｜PA|＋|PF｜>|AF|，即動點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓,a＝1，c＝eq\f(1，2)，b2＝eq\f（3,4）。所以動點P的軌跡方程為x2＋eq\f(4，3)y2＝1.(2)如圖所示，設橢圓右焦點為F1，則｜PF|＋|PF1｜＝6。∴｜PA|＋|PF｜＝｜PA｜－|PF1|＋6。利用－|AF1|≤|PA|－｜PF1|≤｜AF1｜(當P,A，F(xiàn)1共線時等號成立），∴｜PA|＋|PF|≤6＋eq\r（2），｜PA|＋｜PF|≥6－eq\r(2）.故|PA｜＋|PF｜的最大值為6＋eq\r（2),最小值為6－eq\r（2)。【答案】(1）x2＋eq\f（4,3)y2＝1（2)最大值6＋eq\r（2），最小值6－eq\r(2)考點二橢圓的標準方程及其應用【典例2】（1)若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為（）A.eq\f（x2，5)＋y2＝1B。eq\f(x2，4)＋eq\f(y2，5）＝1C.eq\f（x2，5）＋y2＝1或eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，5)＝1D．以上答案都不對（2)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f（y2,b2)＝1（0<b<1）的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點。若|AF1｜＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為___________________________________________________.【解析】(1）直線與坐標軸的交點為(0，1），（－2，0）,由題意知當焦點在x軸上時，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為eq\f(x2,5）＋y2＝1。當焦點在y軸上時，b＝2,c＝1,所以a2＝5，所求橢圓的標準方程為eq\f(y2，5）＋eq\f（x2，4)＝1.（2)設F1（－c,0)，F(xiàn)2（c，0），其中c＝eq\r（1－b2)，則可設A（c，b2），B（x0，y0），由｜AF1|＝3|F1B｜，可得eq\o(AF1,\s\up6（→)）＝3eq\o（F1B，\s\up6(→)）,故eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(－2c＝3x0＋3c,,－b2＝3y0,)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c,,y0＝－\f(1，3）b2，）)代入橢圓方程可得eq\f（251－b2，9）＋eq\f（1,9）b2＝1，解得b2＝eq\f（2，3)，故橢圓方程為x2＋eq\f(3y2，2)＝1.【答案】(1)C(2)x2＋eq\f(3y2，2）＝1反思歸納求橢圓標準方程的兩種常用方法（1)定義法：根據(jù)橢圓的定義,確定a2，b2的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程。(2)待定系數(shù)法：若焦點位置明確,則可設出橢圓的標準方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點位置不明確,則需要分焦點在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設橢圓的方程為Ax2＋By2＝1（A>0，B〉0，A≠B)?！咀兪接柧殹浚?)已知橢圓C：eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2)＝1（a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3），過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4eq\r（3)，則C的方程為（)A。eq\f(x2，3）＋eq\f（y2,2）＝1 B。eq\f(x2，3)＋y2＝1C。eq\f(x2，12)＋eq\f(y2，8)＝1 D。eq\f（x2，12)＋eq\f(y2，4）＝1(2)過點(eq\r(3），－eq\r（5）)，且與橢圓eq\f(y2，25)＋eq\f（x2,9)＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為_________________________________________________________?！窘馕觥?1)因為△AF1B的周長為4eq\r(3)，所以4a＝4eq\r(3)，所以a＝eq\r（3），因為離心率為eq\f（\r(3)，3）,所以c＝1，所以b＝eq\r（a2－c2）＝eq\r(2)，所以橢圓C的方程為eq\f（x2,3）＋eq\f(y2，2)＝1。故選A.（2）橢圓eq\f（y2，25）＋eq\f(x2,9）＝1的焦點為(0，－4），(0,4），即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r（3）－02＋－\r（5）＋42）＋eq\r（\r（3)－02＋－\r(5）－42)，解得a＝2eq\r(5）。由c2＝a2－b2可得b2＝4。所以所求橢圓的標準方程為eq\f（y2,20)＋eq\f（x2,4）＝1?！敬鸢浮浚?）A(2)eq\f（y2，20)＋eq\f(x2，4）＝1考點三橢圓的簡單幾何性質(zhì)……多維探究角度一：與橢圓有關的最值或范圍問題【典例3】已知點F1,F2是橢圓x2＋2y2＝2的左，右焦點，點P是該橢圓上的一個動點，那么|eq\o（PF1，\s\up6（→)）＋eq\o(PF2，\s\up6（→))|的最小值是(）A．0 B．1C．2 D．2eq\r（2)【解析】設P(x0，y0），則eq\o(PF1，\s\up6(→)）＝（－1－x0，－y0），eq\o(PF2，\s\up6（→))＝(1－x0，－y0)，∴eq\o（PF1，\s\up6(→））＋eq\o(PF2,\s\up6(→））＝(－2x0，－2y0），∴｜eq\o（PF1,\s\up6(→)）＋eq\o(PF2,\s\up6（→)）｜＝eq\r(4x\o\al（2，0)＋4y\o\al(2，0）)＝2eq\r(2－2y\o\al(2，0）＋y\o\al(2，0））＝2eq\r(－y\o\al(2，0）＋2)?！唿cP在橢圓上，∴0≤yeq\o\al（2，0）≤1,∴當yeq\o\al（2,0）＝1時，｜eq\o(PF1，\s\up6（→))＋eq\o（PF2，\s\up6（→))|取最小值2.故選C?！敬鸢浮緾角度二：求離心率的值或范圍【典例4】（1)（2016·全國卷Ⅲ)已知O為坐標原點,F是橢圓C:eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a〉b>0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點。P為C上一點，且PF⊥x軸。過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E。若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為()A.eq\f（1,3） B。eq\f(1,2）C.eq\f（2，3） D。eq\f（3，4)（2)（2015·福建高考）已知橢圓E:eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2)＝1（a>b〉0）的右焦點為F,短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點。若｜AF｜＋｜BF｜＝4，點M到直線l的距離不小于eq\f（4，5），則橢圓E的離心率的取值范圍是（)A。eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0,\f（\r(3)，2）)) B。eq\b\lc\(\rc\]（\a\vs4\al\co1(0，\f（3，4））)C.eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(3)，2)，1）) D。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,4),1）)【解析】（1）設E（0，m），則直線AE的方程為－eq\f(x,a）＋eq\f（y，m）＝1，由題意可知Meq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－c，m－\f(mc,a））），eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（m,2）))和B（a,0)三點共線，則eq\f（m－\f（mc,a)－\f(m,2），－c）＝eq\f（\f(m，2),－a)，化簡得a＝3c,則C的離心率e＝eq\f（c,a）＝eq\f(1，3)。故選A.（2）不妨設左焦點為F2，連接AF2，BF2，由橢圓的對稱性可知四邊形AFBF2的對角線互相平分，所以四邊形AFBF2為平行四邊形,所以|AF｜＋｜BF｜＝|BF2|＋|BF|＝2a＝4,所以a＝2,設M（0,b）,所以d＝eq\f(4,5）b≥eq\f（4,5)?b≥1，所以e＝eq\r（1－\f（b2,a2))＝eq\r（1－\f(b2,4）)≤eq\r（1－\f(1，4)）＝eq\f(\r（3）,2）,又e∈（0，1)，所以e∈eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（\r(3),2)））。故選A。【答案】（1)A(2）A反思歸納1.求橢圓離心率的方法（1）直接求出a，c的值,利用離心率公式直接求解。(2）列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式）求解。2．利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時,要理清它們之間的關系。微考場新提升1．曲線eq\f(x2,25）＋eq\f（y2，9)＝1與曲線eq\f(x2,25－k）＋eq\f(y2，9－k)＝1（k<9)的(）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．離心率相等 D．焦距相等解析c2＝25－k－（9－k）＝16，所以c＝4,所以兩個曲線的焦距相等。故選D。答案D2．橢圓eq\f（x2，16）＋eq\f(y2,7)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1作x軸的垂線交橢圓于A，B兩點，則△ABF2的面積為（)A.eq\f(21,2） B。eq\f（21，4）C。eq\f(21,8） D．21解析依題意得|AB|＝eq\f(2b2，a）＝eq\f（7，2），|F1F2｜＝2eq\r(16－7)＝6，因此△ABF2的面積等于eq\f(1,2)｜AB|×｜F1F2|＝eq\f（1,2)×eq\f（7，2）×6＝eq\f(21,2）.故選A。答案A3．(2016·全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1，4),則該橢圓的離心率為()A。eq\f（1,3) B.eq\f(1，2)C。eq\f（2,3） D.eq\f（3,4)解析通性通法:不妨設直線l過橢圓的上頂點（0，b）和左焦點(－c，0），b>0，c>0，則直線l的方程為bx－cy＋bc＝0，由已知得eq\f（bc，\r(b2＋c2))＝eq\f（1,4）×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以eq\f(c2,a2）＝eq\f(1,4)，即e2＝eq\f(1,4),所以e＝eq\f(1，2）（e＝－eq\f(1，2)舍去).故選B。光速解法：不妨設直線l過橢圓的上頂點（0,b）和左焦點(－c，0)，b〉0，c>0,則直線l的方程為bx－cy＋bc＝0,由已知得eq\f(bc,\r（b2＋c2）)＝eq\f(1，4)×2b，所以eq\f（bc,a）＝eq\f(1,4)×2b，所以e＝eq\f（c，a)＝eq\f（1，2)。故選B.答案B4．(2016·安徽皖西七校聯(lián)考）已知圓M：（x＋eq\r（5)）2＋y2＝36，定點N(eq\r(5)，0),點P為圓M上的動點，點Q在NP上，點G在線段MP上，且滿足eq\o(NP,\s\up6(→））＝2eq\o（NQ，\s\up6(→）），eq\o(GQ,\s\up6（→））·eq\o（NP,\s\up6(→))＝0，則點G的軌跡方程是__________。解析由eq\o（NP，\s\up6（→))＝2eq\o（NQ，\s\up6(→)）,eq\o(GQ,\s\up6(→））·eq\o(NP,\s\up6(→））＝0知,GQ是線段NP的垂直平分線，｜GN｜＝|GP|，∴|GM｜＋｜GN|＝|MP|＝6。點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，由2a＝6，得a＝3。又c＝eq\r(5)，∴b2＝4。點G的軌跡方程為eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，4)＝1.答案eq\f(x2，9)＋eq\f(y2，4)＝15．設F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點，以F2為圓心作圓,已知圓F2經(jīng)過橢圓的中心，且與橢圓相交于點M，若直線MF1恰與圓F2相切,則該橢圓的離心率為________。解析由題意知∠F1MF2＝eq\f(π,2)，｜MF2|＝c，|F1M｜＝2a－c，則c2＋（2a－c）2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝eq\r(3)－1。答案eq\r（3）－1第二課時橢圓的綜合問題微考點大課堂考點一直線與橢圓的相交弦長問題【典例1】橢圓兩頂點A(－1，0），B(1，0)，過焦點F(0，1)的直線l與橢圓交于C,D兩點。當｜CD｜＝eq\f（3,2）eq\r(2）時,求l的方程?！窘馕觥坑深}意b＝1，c＝1?！郺2＝b2＋c2＝1＋1＝2.∴橢圓方程為eq\f(y2，2)＋x2＝1.若直線l斜率不存在時，|CD|＝2eq\r(2）,不合題意。若直線l斜率存在時，設l方程y＝kx＋1，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,,y2＋2x2＝2，）)得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0。Δ＝8（k2＋1）〉0恒成立。設C(x1,y1），D(x2，y2).∴x1＋x2＝－eq\f（2k，k2＋2)，x1x2＝－eq\f（1,k2＋2）.∴|CD|＝eq\r（1＋k2）|x1－x2｜＝eq\r（1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2）＝eq\f(2\r（2)k2＋1，k2＋2）。即eq\f(2\r(2)k2＋1，k2＋2)＝eq\f(3\r(2），2)，解得k2＝2.∴k＝±eq\r(2）?！嘀本€l方程為eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r（2)x＋y－1＝0。【答案】eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r（2）x＋y－1＝0反思歸納1.解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程(組)，解決相關問題，涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決，往往會更簡單。2．設直線與橢圓的交點坐標為A（x1，y1）,B（x2,y2），則｜AB｜＝eq\r（1＋k2［x1＋x22－4x1x2］）＝eq\r（\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,k2)))［y1＋y22－4y1y2]）(k為直線斜率）?！咀兪接柧殹恳阎獧E圓eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1（a>b>0）的一個頂點為B（0，4），離心率e＝eq\f（\r（5），5），直線l交橢圓于M，N兩點。(1)若直線l的方程為y＝x－4，求弦MN的長；（2）如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點F，求直線l方程的一般式?！窘馕觥?1)由已知得b＝4，且eq\f(c，a)＝eq\f(\r(5)，5)，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,5）?！鄀q\f（a2－b2，a2）＝eq\f（1,5），解得a2＝20?！鄼E圓方程為eq\f（x2，20)＋eq\f（y2，16)＝1。則4x2＋5y2＝80與y＝x－4聯(lián)立。消去y，得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝eq\f(40,9).∴所求弦長|MN|＝eq\r（1＋12)|x2－x1|＝eq\f(40\r(2),9)。（2）橢圓右焦點F的坐標為(2,0）,設線段MN的中點為Q(x0,y0)，由三角形重心的性質(zhì)知eq\o(BF，\s\up6（→））＝2eq\o（FQ，\s\up6（→）)。又B（0，4)，∴(2，－4）＝2(x0－2，y0)。故得x0＝3,y0＝－2，即得Q的坐標為(3，－2）。設M(x1，y1），N(x2，y2),則x1＋x2＝6,y1＋y2＝－4，且eq\f（x\o\al（2，1）,20）＋eq\f（y\o\al（2,1)，16)＝1，eq\f(x\o\al(2，2）,20)＋eq\f（y\o\al(2，2），16）＝1。以上兩式相減，得eq\f(x1＋x2x1－x2，20)＋eq\f(y1＋y2y1－y2，16)＝0?！鄈MN＝eq\f（y1－y2,x1－x2)＝－eq\f（4，5）·eq\f（x1＋x2，y1＋y2）＝－eq\f(4，5)×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（6,4）)）＝eq\f（6，5)。故直線MN的方程為y＋2＝eq\f(6,5)（x－3),即6x－5y－28＝0。【答案】（1)eq\f(40\r（2),9）(2)6x－5y－28＝0考點二中點弦問題【典例2】已知橢圓eq\f(x2，2）＋y2＝1.（1）求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程;（2）過N（1，2）的直線l與橢圓相交，求被l截得的弦的中點的軌跡方程；（3）求過點Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）,\f(1,2）)）且被P點平分的弦所在直線的方程?！窘馕觥吭O弦的兩端點為A(x1，y1)，B（x2,y2）,中點為M（x0，y0)，則有eq\f（x\o\al（2，1）,2）＋yeq\o\al（2,1）＝1，eq\f(x\o\al（2，2）,2)＋yeq\o\al（2,2)＝1。兩式作差，得eq\f（x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0?！選1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq\f（y2－y1，x2－x1）＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x0,2y0）。①（1）設弦中點為M(x,y），由①式，2＝－eq\f（x，2y），∴x＋4y＝0.又點M(x，y）在橢圓內(nèi)部。故所求的軌跡方程為x＋4y＝0eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（4，3)<x〈\f(4,3)))。（2)不妨設l交橢圓于A，B，弦中點為M（x，y)，由①式kl＝kAB＝－eq\f（x，2y）.又∵kl＝kMN＝eq\f（y－2,x－1），∴－eq\f(x，2y）＝eq\f（y－2,x－1).整理，得x2＋2y2－x－4y＝0eq\f（2－4\r(7)，9)<x<eq\f(2＋4\r（7），9)，eq\f(4－\r（7)，9）<y〈eq\f(4＋\r（7),9），此即所求的軌跡方程。(3)由①式，弦所在的直線的斜率k＝－eq\f（x0,2y0）＝－eq\f（1，2）,∴其方程為y－eq\f(1，2)＝－eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（1,2）)）,即2x＋4y－3＝0?！敬鸢浮浚?)x＋4y＝0eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（4,3)〈x〈\f(4,3））)(2）x2＋2y2－x－4y＝0eq\f（2－4\r（7)，9)〈x〈eq\f(2＋4\r（7)，9)，eq\f（4－\r(7)，9）<y〈eq\f（4＋\r（7)，9)(3)2x＋4y－3＝0反思歸納本類型題目常見問題有：①過定點被定點平分的弦所在直線的方程;②平行弦中點軌跡;③過定點的弦的中點的軌跡.解決有關弦及弦中點問題常用方法是“韋達定理"和“點差法”.這兩種方法的前提都必須保證直線和橢圓有兩個不同的公共點。【變式訓練】(2016·南昌二模)已知橢圓：eq\f(y2，9)＋x2＝1，過點Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1,2),\f(1，2）)）的直線與橢圓相交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直線AB的方程為（）A．9x－y－4＝0 B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋y－5＝0【解析】設A(x1，y1）,B(x2，y2)，因為A，B在橢圓eq\f(y2,9）＋x2＝1上,所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al（2，1）,9)＋x\o\al(2，1)＝1，，\f(y\o\al(2，2）,9）＋x\o\al（2，2）＝1，））兩式相減得eq\f（y\o\al(2，1）－y\o\al(2，2),9）＋xeq\o\al(2，1）－xeq\o\al(2，2）＝0，得eq\f（y1－y2y1＋y2，9)＋（x1－x2)（x1＋x2)＝0，又弦AB被點Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，\f（1，2))）平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1,將其代入上式得eq\f（y1－y2，9）＋x1－x2＝0，得eq\f(y1－y2，x1－x2)＝－9，即直線AB的斜率為－9，所以直線AB的方程為y－eq\f（1，2）＝－9eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x－\f(1，2）)),即9x＋y－5＝0。故選B?！敬鸢浮緽考點三最值與范圍問題【典例3】(2017·大慶模擬)P為橢圓eq\f(x2,16）＋eq\f(y2，15）＝1上任意一點，EF為圓N:（x－1)2＋y2＝4的任意一條直徑，則eq\o（PE,\s\up6（→））·eq\o（PF,\s\up6(→）)的取值范圍是（）A．［0，15] B．[5,15］C．[5，21] D．(5,21）【解析】eq\o(PE，\s\up6(→))·eq\o（PF,\s\up6（→））＝（eq\o(PN,\s\up6（→））＋eq\o(NE,\s\up6(→）))·(eq\o（PN,\s\up6(→))＋eq\o（NF,\s\up6(→)))＝（eq\o(PN,\s\up6（→）)＋eq\o（NE，\s\up6（→）））·(eq\o（PN,\s\up6（→))－eq\o(NE，\s\up6（→)))＝eq\o(PN,\s\up6(→))2－eq\o(NE,\s\up6(→）)2＝｜eq\o（PN,\s\up6（→)）|2－4，因為a－c≤｜eq\o(PN，\s\up6（→）)｜≤a＋c，即3≤｜eq\o(PN，\s\up6(→))｜≤5，所以eq\o(PE，\s\up6（→））·eq\o（PF,\s\up6(→)）的范圍是［5,21]。故選C。【答案】C反思歸納解決橢圓中與向量有關問題的方法(1）設出動點坐標,求出已知點的坐標。（2)寫出與題設有關的向量的坐標.(3）利用向量的有關知識解決與橢圓、直線有關的問題.（4）將向量問題轉(zhuǎn)化為實際問題?！咀兪接柧殹繖E圓eq\f(x2,4)＋eq\f（y2,3）＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任一點，則｜eq\o（PF1,\s\up6（→）)｜·|eq\o（PF2,\s\up6(→）)｜的取值范圍是（)A．（0,4] B．(0，3]C．［3,4) D．［3，4]【解析】因為橢圓eq\f(x2,4）＋eq\f(y2，3)＝1的左、右焦點分別為F1(－1,0),F2(1,0)，設P(2cosθ,eq\r（3)sinθ），θ∈R。所以eq\o（PF1,\s\up6（→））＝（－1－2cosθ，－eq\r(3）sinθ)，eq\o（PF2，\s\up6(→)）＝（1－2cosθ，－eq\r(3）sinθ),所以|eq\o(PF1,\s\up6(→））｜·|eq\o(PF2,\s\up6(→))｜＝eq\r（－1－2cosθ2＋3sin2θ）·eq\r(1－2cosθ2＋3sin2θ)＝eq\r(2＋cosθ2）·eq\r（2－cosθ2）＝4－cos2θ。因為θ∈R，cos2θ∈[0,1］，4－cos2θ∈［3，4］，所以｜eq\o(PF1，\s\up6(→)）|·｜eq\o（PF2，\s\up6（→)）|的取值范圍是［3，4］。故選D.【答案】D考點四由直線與橢圓的位置關系研究橢圓的性質(zhì)【典例4】（2016·全國卷Ⅱ）已知橢圓E：eq\f（x2，t）＋eq\f（y2,3)＝1的焦點在x軸上，A是E的左頂點,斜率為k(k>0）的直線交E于A，M兩點,點N在E上，MA⊥NA。(1)當t＝4,｜AM｜＝｜AN｜時，求△AMN的面積；(2)當2|AM｜＝|AN|時，求k的取值范圍?！窘馕觥?1)當t＝4時,橢圓E的方程為eq\f（x2，4）＋eq\f(y2，3)＝1，A點坐標為（－2,0），設直線AM的方程為y＝k(x＋2)。由｜AM｜＝|AN|可得M，N關于x軸對稱,由MA⊥NA，可得直線AM的斜率為1,直線AM方程為y＝x＋2，代入橢圓eq\f（x2，4)＋eq\f(y2，3)＝1得7x2＋16x＋4＝0，解得x＝－2或－eq\f(2,7）,Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（2，7），\f（12，7))），Neq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（2,7)，－\f（12，7)））。于是△AMN的面積為eq\f(1，2）×eq\f（24,7）×eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(2,7)＋2））＝eq\f（144，49)。(2)由題意知A(－eq\r(t），0)。設直線AM的方程為y＝k（x＋eq\r（t））,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2，t）＋\f（y2，3)＝1,，y＝kx＋\r（t），））得(3＋tk2）x2＋2teq\r(t）k2x＋t2k2－3t＝0，解得x＝－eq\r(t）或x＝－eq\f（t\r(t）k2－3\r(t),3＋tk2），所以|AM|＝eq\r(1＋k2)eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(－\f(t\r(t）k2－3\r（t)，3＋tk2)＋\r(t））)＝eq\r（1＋k2）·eq\f（6\r(t）,3＋tk2)。同理可得|AN|＝eq\r(1＋k2）·eq\f(6\r（t),3k＋\f(t,k））。因為2｜AM｜＝|AN|，所以2·eq\r(1＋k2）·eq\f(6\r(t）,3＋tk2)＝eq\r（1＋k2)·eq\f(6\r（t），3k＋\f(t,k）），整理得t＝eq\f(6k2－3k,k3－2）。因為橢圓E的焦點在x軸上,所以t〉3,即eq\f(6k2－3k,k3－2)〉3，整理得eq\f(k2＋1k－2，k3－2）〈0，解得eq\r（3，2）〈k<2。所以k的取值范圍為（eq\r(3，2)，2)?！敬鸢浮浚?)eq\f(144，49）(2）（eq\r(3，2），2)反思歸納求解有關直線、橢圓與三角形面積的綜合問題的關鍵：一是公式意識，即會利用三角形的面積公式,把所求的三角形的面積轉(zhuǎn)化為求距離、求角的問題；二是方程思想，即引入?yún)?shù)，尋找關于參數(shù)的方程；三是不等式意識，需認真審題，尋找關于參數(shù)的不等式,如本題,由橢圓E的焦點在x軸上，得t〉3?！咀兪接柧殹恳阎獧E圓eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b〉0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2,且｜F1F2|＝6，直線y＝kx與橢圓交于A,B兩點。(1)若△AF1F2(2)①若k＝eq\f（\r（2),4），且A，B，F(xiàn)1，F(xiàn)2四點共圓,求橢圓離心率e的值；②在①的條件下，設P(x0，y0)為橢圓上一點，若直線PA的斜率k1∈（－2，－1)，試求直線PB的斜率k2的取值范圍?！窘馕觥浚?)｜F1F2|＝6，即2c＝6,c＝3,又|AF1|＋|AF2｜＝2a，而｜AF1|＋|AF2｜＋|F1F2｜＝16，所以2a＝10，a＝5，b＝4,故橢圓的標準方程為eq\f（x2，25)＋eq\f（y2，16）＝1。(2）①若A，B,F1，F(xiàn)2四點共圓,則AB，F(xiàn)1F2互相平分，必定有AF2⊥BF2將y＝eq\f(\r(2),4)x與eq\f（x2,a2)＋eq\f（y2，b2）＝1聯(lián)立整理,可得（a2＋8b2）x2－8a2b2＝0,設A（x1，y1)，B（－x1，－y1），則xeq\o\al（2,1）＝eq\f(8a2b2，a2＋8b2)，eq\o（F2A，\s\up6(→)）＝（x1－c，y1）,eq\o(F2B,\s\up6（→）)＝(－x1－c，－y1)，eq\o(F2A,\s\up6(→））·eq\o(F2B,\s\up6（→））＝c2－xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al（2,1）＝c2－eq\f(9,8)xeq\o\al(2,1）＝c2－eq\f(9a2b2，a2＋8b2)＝0，即a2c2＋8b2c2＝9a2b2，而b2＝a2－c2,8e4－18e2＋9＝0，解得e2＝eq\f（3,2）(舍去），或e2＝eq\f(3,4）,因此e＝eq\f（\r(3）,2）。②由e＝eq\f（\r（3）,2）和c＝3，可得a＝2eq\r（3),b＝eq\r(3），橢圓的方程為eq\f（x2，12)＋eq\f(y2,3)＝1.由A（x1,y1），B（－x1，－y1)，k1＝eq\f(y0－y1，x0－x1)，k2＝eq\f（y0＋y1，x0＋x1)，所以k1k2＝eq\f（y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1)，x\o\al（2,0)－x\o\al(2，1））。又yeq\o\al(2，0)＝3eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0），12）)），yeq\o\al(2，1）＝3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al（2,1）,12）))，所以eq\f（y\o\al(2,0)－y\o\al（2，1)，x\o\al(2,0）－x\o\al(2，1））＝－eq\f(1，4)，即k1k2＝－eq\f(1，4),k2＝－eq\f（1,4k1)。由－2〈k1<－1可知，eq\f(1,8）〈k2<eq\f（1,4）。故直線PB的斜率k2的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4