新教材高中數(shù)學(xué)排列組合與二項(xiàng)式定理.1排列與組合.1.25

04/403/4/課時(shí)分層作業(yè)(六)組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．某施工小組有男工7名，女工3名，現(xiàn)要選1名女工和2名男工去支援另一施工小組，不同的選法有()A．Ceq\o\al(3,10)種 B．Aeq\o\al(3,10)種C．Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)種 D．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)種D[每個(gè)被選的人都無順序差別，是組合問題．分兩步完成：第一步，選女工，有Ceq\o\al(1,3)種選法；第二步，選男工，有Ceq\o\al(2,7)種選法．故共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)種不同的選法．]2．從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少有甲型和乙型電視機(jī)各1臺，則不同的取法共有()A．140種 B．84種C．70種 D．35種C[可分兩類：第一類，甲型1臺、乙型2臺，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40(種)取法，第二類，甲型2臺、乙型1臺，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝6×5＝30(種)取法，共有70種不同的取法．]3．某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為()A．14 B．24C．28 D．48A[用間接法得不同選法有Ceq\o\al(4,6)－1＝14種，故選A.]4．滿足方程Cx2－x16＝Ceq\o\al(5x－5,16)的x值為()A．1,3,5，－7 B．1,3C．1,3,5 D．3,5B[依題意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)知，只有x＝1或x＝3符合題意．]5．將標(biāo)號為1,2，…，10的10個(gè)球放入標(biāo)號為1,2，…，10的10個(gè)盒子里，每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球，恰好3個(gè)球的標(biāo)號與其在盒子的標(biāo)號不一致的放入方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．720B[先選出3個(gè)球有Ceq\o\al(3,10)＝120種方法，不妨設(shè)為1,2,3號球，則1,2,3號盒中能放的球?yàn)?,3,1或3,1,2兩種．這3個(gè)號碼放入標(biāo)號不一致的盒子中有2種不同的方法，故共有120×2＝240種方法．]二、填空題6．若Ceq\o\al(13,n)＝Ceq\o\al(7,n)，則Ceq\o\al(18,n)＝________.190[由Ceq\o\al(13,n)＝Ceq\o\al(7,n)可知n＝20.∴Ceq\o\al(18,20)＝Ceq\o\al(2,20)＝eq\f(20×19,2)＝190.]7．某球隊(duì)有2名隊(duì)長和10名隊(duì)員，現(xiàn)選派6人上場參加比賽，如果場上最少有1名隊(duì)長，那么共有________種不同的選法．714[若只有1名隊(duì)長入選，則選法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)；若兩名隊(duì)長均入選，則選法種數(shù)為Ceq\o\al(4,10)，故不同選法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(4,10)＝714(種)．]8．現(xiàn)有6張風(fēng)景區(qū)門票分配給6位游客，若其中A，B風(fēng)景區(qū)門票各2張，C，D風(fēng)景區(qū)門票各1張，則不同的分配方案共有________種．180[6位游客選2人去A風(fēng)景區(qū)，有Ceq\o\al(2,6)種，余下4位游客選2人去B風(fēng)景區(qū)，有Ceq\o\al(2,4)種，余下2人去C，D風(fēng)景區(qū)，有Aeq\o\al(2,2)種，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(種)．]三、解答題9．車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，問有多少種選派方法．[解]法一：設(shè)A，B代表兩名老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(種)；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(種)；A，B都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＝80(種)；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,4)＝20(種)；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有：Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(3,4)＝40(種)．所以共有Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(3,4)＝185(種)選派方法．法二：5名鉗工有4名被選上的方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,6)＝75(種)；5名鉗工有3名被選上的方法有：Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(1,2)＝100(種)；5名鉗工有2名被選上的方法有：Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,4)＝10(種)．所以一共有75＋100＋10＝185(種)選派方法．10．按照下列要求，分別求有多少種不同的方法？(1)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子；(2)6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球；(3)6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少一個(gè)小球．[解](1)每個(gè)小球都有4種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有46＝4096種不同放法．(2)分兩類：第1類，6個(gè)小球分3,1,1,1放入盒中；第2類，6個(gè)小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(種)不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)種方法，按2,2,1,1，放入有Ceq\o\al(2,4)種方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(種)不同放法．法二：(擋板法)在6個(gè)球之間的5個(gè)空中插入三個(gè)擋板，將6個(gè)球分成四位，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(種)不同放法．11．某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為()A．360 B．520C．600 D．720C[分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝2×10×24＝480種選法．第二類，甲、乙都參加時(shí)，則有Ceq\o\al(2,5)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10×(24－12)＝120種選法．所以共有480＋120＝600種選法．]12．(多選題)將四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，不允許有空盒子的放法，下列結(jié)論正確的有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3) B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2) D．18BC[根據(jù)題意，四個(gè)不同的小球放入三個(gè)分別標(biāo)有1、2、3號的盒子中，且沒有空盒，則三個(gè)盒子中有1個(gè)中放2個(gè)球，剩下的2個(gè)盒子中各放1個(gè)，有2種解法：法一：分2步進(jìn)行分析：①先將四個(gè)不同的小球分成3組，有Ceq\o\al(2,4)種分組方法；②將分好的3組全排列，對應(yīng)放到3個(gè)盒子中，有Aeq\o\al(3,3)種放法；則沒有空盒的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種；故選B.法二：分2步進(jìn)行分析：①在4個(gè)小球中任選2個(gè)，在3個(gè)盒子中任選1個(gè)，將選出的2個(gè)小球放入選出的小盒中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)種情況；②將剩下的2個(gè)小球全排列，放入剩下的2個(gè)小盒中，有Aeq\o\al(2,2)種放法；則沒有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)種；故選C.綜上，BC正確．]13．將7名學(xué)生分配到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少安排2名學(xué)生，那么互不相同的分配方案共有________種．112[每個(gè)宿舍至少2名學(xué)生，故甲宿舍安排的人數(shù)可以為2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍隨之確定，所以有Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＝112種分配方案．]14．(一題兩空)在同一個(gè)平面內(nèi)有一組平行線共8條，另一組平行線共10條，這兩組平行線相互不平行，它們共能構(gòu)成________個(gè)平行四邊形，共有________個(gè)交點(diǎn)．[第一組中每兩條與另一組中的每兩條直線均能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，故共有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,10)＝1260(個(gè))．第一組中每條直線與另一組中每條直線均有一個(gè)交點(diǎn)，所以共有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,10)＝80(個(gè))．]15．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有4件次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？[解](1)先排前4次測試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上