空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運算

空間直角坐標(biāo)系與空間向量及其運算第一頁，共三十六頁，2022年，8月28日一、空間直角坐標(biāo)系2．已知空間一點M的坐標(biāo)為(x，y，z)；(1)與M點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為_____________；(2)與M點關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為_____________；(x，－y，－z)(－x，y，－z)第二頁，共三十六頁，2022年，8月28日2．已知空間一點M的坐標(biāo)為(x，y，z)；(1)與M點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為_____________；(2)與M點關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為_____________；(3)與M點關(guān)于z軸對稱的點的坐標(biāo)為_____________；(4)與M點關(guān)于面xOy對稱的點的坐標(biāo)為__________；(5)與M點關(guān)于面xOz對稱的點的坐標(biāo)為__________；(6)與M點關(guān)于面yOz對稱的點的坐標(biāo)為__________；(7)與M點關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱的點的坐標(biāo)為________________．(x，－y，－z)(－x，y，－z)(－x，－y，z)(x，y，－z)(x，－y，z)(－x，y，z)(－x，－y，－z)第三頁，共三十六頁，2022年，8月28日二、空間向量及其運算1．空間向量及其加減與數(shù)乘運算(1)在空間中，具有____和____的量叫做向量．____相同且___相等的有向線段表示同一向量或相等向_____________________________稱為a的相反向量．(2)空間向量的有關(guān)知識實質(zhì)上是平面向量對應(yīng)的知識的推廣，如有關(guān)的概念、運算法則、運算律等等．2．空間向量基本定理：如果三個向量a、b、______，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使______________，其中{a，b，c}叫做空間的一個_____，a、b、c都叫做基向量．大小方向方向模與a長度相等而方向相反的向量不共面p＝xa＋yb＋zc基底第四頁，共三十六頁，2022年，8月28日三、空間向量的坐標(biāo)運算2．已知空間兩個向量a、b，則a·b＝______________(向量表示)＝______________(坐標(biāo)表示)．3．空間向量數(shù)量積公式的變形及應(yīng)用．已知a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，(1)判斷垂直：a⊥b?a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝__.x1x2＋y1y2＋z1z2|a||b|cos〈a，b〉〈a，b〉[0，π]0第五頁，共三十六頁，2022年，8月28日第六頁，共三十六頁，2022年，8月28日1．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(1,2,3)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為 (

)A．(－1,2,3)

B．(1，－2，－3)C．(－1,－2,3) D．(－1,2,－3)解析：點P(x，y，z)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為(x，－y，－z)．答案：B第七頁，共三十六頁，2022年，8月28日2．與向量a＝(1，－3,2)平行的一個向量的坐標(biāo)是

(

)答案：C第八頁，共三十六頁，2022年，8月28日答案：C第九頁，共三十六頁，2022年，8月28日第十頁，共三十六頁，2022年，8月28日1．建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住“相交于同一點的兩兩垂直的三條直線”，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系(即線線垂直、線面垂直、面面垂直)，同時要注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系．在右手空間直角坐標(biāo)系下，點的坐標(biāo)既可根據(jù)圖中有關(guān)線段的長度，也可根據(jù)向量的坐標(biāo)寫出．第十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日2．空間向量的知識和內(nèi)容是在平面向量知識的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和推廣的，因此，可以利用類比平面向量的方法解決本節(jié)的很多內(nèi)容．(1)零向量是一個特殊向量，在解決問題時要特別注意零向量，避免對零向量的遺漏．(2)λa是一個向量，若λ＝0，則λa＝0；若λ≠0，a＝0，則λa＝0.(3)討論向量的共線、共面問題時，注意零向量與任意向量平行，共線與共面向量均不具有傳遞性．(4)①數(shù)量積運算不滿足消去律，即a·b＝b·c?a＝c.②數(shù)量積的運算不適合乘法結(jié)合律，即(a·b)·c不一定第十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日等于a·(b·c)．這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量，而a·(b·c)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線．③空間向量沒有除法運算．(5)借助空間向量可將立體幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運算，如：①判斷線線平行或諸點共線，轉(zhuǎn)化為“a∥b(b≠0)?a＝λb”；②證明線線垂直，轉(zhuǎn)化為“a⊥b?a·b＝0”，若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則轉(zhuǎn)化為計算a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；③在計算異面直線所成的角(或線面角、二面角)時，轉(zhuǎn)化為求向量的第十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日兩條異面直線所成的角θ與兩異面直線對應(yīng)的向量a，b的夾角關(guān)系為cosθ＝|cos〈a，b〉|.第十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日4．運用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題的一般步驟為：①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；②求出相關(guān)點的坐標(biāo)；③寫出向量的坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算；⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論．第十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日考點一求點的坐標(biāo)【案例1】

(2009·安徽)在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A(1,0,2)，B(1，－3,1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________．關(guān)鍵提示：設(shè)出M點的坐標(biāo)后利用空間兩點間的距離公式求解．解析：本題主要考查空間兩點距離的計算．設(shè)M(0，y,0)，因|MA|＝|MB|，由空間兩點間距離公式得1＋y2＋4＝1＋(y＋3)2＋1，解得y＝－1.答案：(0，－1,0)(即時鞏固詳解為教師用書獨有)第十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日【案例2】如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，M為BD′的中點，點N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，試求MN的長．關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系后再求出各點的坐標(biāo)，然后求出MN的長．第十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日解：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為正方體棱長為a，所以B(a，a,0)，A′(a,0，a)，C′(0，a，a)，D′(0,0，a)．第十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日第十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日【即時鞏固1】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長為2a，棱PD⊥底面ABCD，PD＝2b，取各側(cè)棱的中點E，F(xiàn)，G，H，寫出點E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)．解：由圖形知，DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA，故以D為原點，建立如圖空間坐標(biāo)系D－xyz.因為E，F(xiàn)，G，H分別為側(cè)棱中點，由立體幾何知識可知，平面EFGH與底面ABCD平行，從而這4個點的豎坐標(biāo)都為P的豎坐標(biāo)的一半，也就是b.由H為DP中點，得H(0,0，b)．第二十頁，共三十六頁，2022年，8月28日

E在底面上的投影為AD中點，所以E的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為a和0，所以E(a,0，b)，同理G(0，a，b)；F在坐標(biāo)平面xOz和yOz上的投影分別為點E和G，故F與E橫坐標(biāo)相同都是a，與G的縱坐標(biāo)也同為a，又F的豎坐標(biāo)為b，故F(a，a，b)．第二十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日考點二空間向量基本定理的應(yīng)用第二十二頁，共三十六頁，2022年，8月28日關(guān)鍵提示：利用空間向量基本定理將所求向量表示成已知向量的形式．第二十三頁，共三十六頁，2022年，8月28日第二十四頁，共三十六頁，2022年，8月28日第二十五頁，共三十六頁，2022年，8月28日答案：B第二十六頁，共三十六頁，2022年，8月28日【即時鞏固3】如圖所示，在60°的二面角α－AB－β中，AC?α，BD?β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A、B，已知AB＝AC＝BD＝a，求線段CD的長．第二十七頁，共三十六頁，2022年，8月28日第二十八頁，共三十六頁，2022年，8月28日考點三證明垂直問題第二十九頁，共三十六頁，2022年，8月28日(1)求證：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成的角的余弦值；(3)求FH的長.關(guān)鍵提示：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來解決． 第三十頁，共三十六頁，2022年，8月28日第三十一頁，共三十六頁，2022年，8月28日第三十