離散數(shù)學(xué)教學(xué)代數(shù)系統(tǒng)

離散數(shù)學(xué)教學(xué)代數(shù)系統(tǒng)第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日近世代數(shù)—第七章代數(shù)系統(tǒng)§7.1代數(shù)系統(tǒng)的引入前言

§7.2運(yùn)算及其性質(zhì)結(jié)束第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日前言為什么要研究代數(shù)系統(tǒng)？

代數(shù)是專門研究離散對象的數(shù)學(xué)，是對符號的操作。它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大支柱之一（另兩個為分析與幾何）。代數(shù)從19世紀(jì)以來有驚人的發(fā)展，帶動了整個數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化。隨著信息時代的到來，計算機(jī)、信息都是數(shù)字（離散化）的，甚至電視機(jī)．?dāng)z像機(jī)、照相機(jī)都在數(shù)字化。知識經(jīng)濟(jì)有人也稱為數(shù)字經(jīng)濟(jì)。這一切的背后的科學(xué)基礎(chǔ)，就是數(shù)學(xué)，尤其是專門研究離散對象的代數(shù)。代數(shù)發(fā)端于“用符號代替數(shù)”，后來發(fā)展到以符號代替各種事物。

在一個非空集合上，確定了某些運(yùn)算以及這些運(yùn)算滿足的規(guī)律，于是該非空集合中的元素就說是有了一種代數(shù)結(jié)構(gòu)?，F(xiàn)實世界中可以有許多具體的不相同的代數(shù)系統(tǒng)。但事實上，不同的代數(shù)系統(tǒng)可以有一些共同的性質(zhì)。正因為此，我們要研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)，并假設(shè)它具有某一類具體代數(shù)系統(tǒng)共同擁有的性質(zhì)。任何在這個抽象系統(tǒng)中成立的結(jié)論，均可適用于那一類代數(shù)系統(tǒng)中的任何一個。第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日抽象代數(shù)學(xué)在計算機(jī)中的應(yīng)用代數(shù)學(xué)歷史悠久。代數(shù)的發(fā)展可分成兩個階段。19世紀(jì)這前的代數(shù)稱為古典代數(shù)，19世紀(jì)至今的代數(shù)稱為近世代數(shù)（抽象代數(shù)）。抽象代數(shù)學(xué)的研究對象是抽象的，它不是以某一具體事物為研究對象，而是以一大類具有共同性質(zhì)的事物為研究對象。因此其研究成果適用于這一類事物中的每一個，從而收到事半功倍之效。抽象代數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是研究各種各樣的代數(shù)系統(tǒng)。它把一些形式上很不相同的代數(shù)系統(tǒng)，用統(tǒng)一的方法描述、研究和推理，從而得到反映出它們共性的一些本質(zhì)的結(jié)論，然后再把這些結(jié)論應(yīng)用到具體的代數(shù)系統(tǒng)中。第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日抽象代數(shù)學(xué)在計算機(jī)中的應(yīng)用抽象代數(shù)的概念和方法也是研究計算科學(xué)的重要數(shù)學(xué)工具。有經(jīng)驗和成熟的計算科學(xué)家都知道，除了數(shù)理邏輯處，對計算科學(xué)最有用的數(shù)學(xué)分支學(xué)就是代數(shù)，特別是抽象代數(shù)。抽象代數(shù)是關(guān)于運(yùn)算的學(xué)問，是關(guān)于計算規(guī)則的學(xué)問。在許多實際問題的研究中都離不開數(shù)學(xué)模型，而構(gòu)造數(shù)學(xué)模型就要用到某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而抽象世代數(shù)研究的中心問題就是一種很重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)--代數(shù)系統(tǒng)：半群、群、格與布爾代數(shù)等等。計算科學(xué)的研究也離不開抽象代數(shù)的應(yīng)用：半群理論在自動機(jī)理論和形式語言中發(fā)揮了重要作用；有限域理論是編碼理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在通訊中起過重要的作用；至于格和布爾代數(shù)則更不用說了，是電子線路設(shè)計、電子計算機(jī)硬件設(shè)計和通訊系統(tǒng)設(shè)的重要工具。另外描述機(jī)器可計算的函數(shù)、研究算術(shù)計算的復(fù)雜性、刻畫抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、描述作為程序設(shè)計基礎(chǔ)的形式語義學(xué)，都需要抽象代數(shù)知識。第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)本章的方法

1、要按照數(shù)學(xué)的思維方式學(xué)習(xí),即觀察客觀世界,抽象出模型,再分析、推理揭示內(nèi)在規(guī)律的過程。

2、領(lǐng)會“抽象”性：代數(shù)的抽象性不僅體現(xiàn)在元素的抽象上,還體現(xiàn)在相應(yīng)運(yùn)算的抽象上,是在最純粹的形式下研究代數(shù)結(jié)構(gòu)中的運(yùn)算的規(guī)律與性質(zhì),從運(yùn)算的角度來考慮代數(shù)結(jié)構(gòu)中的元素。因此,初等代數(shù)的相應(yīng)概念、結(jié)論不能直接應(yīng)用在抽象代數(shù)中。如何跨越從直觀到抽象是學(xué)習(xí)抽象代數(shù)的重要一步。

3、教材的基本思路是：首先嚴(yán)格定義什么是代數(shù)結(jié)構(gòu),并討論一般代數(shù)結(jié)構(gòu)的基本性質(zhì)。然后討論代數(shù)結(jié)構(gòu)研究的兩個方面：其一是通過一些基本性質(zhì)來規(guī)定一類特定的代數(shù)結(jié)構(gòu),并對這類代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)進(jìn)行研究。其二是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的各種關(guān)系,通過對代數(shù)結(jié)構(gòu)之間關(guān)系的研究,就可以把一個代數(shù)結(jié)構(gòu)中的某些性質(zhì)推廣到另一個代數(shù)結(jié)構(gòu)中。第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)本章的方法4、結(jié)合具體例子與應(yīng)用來理解抽象代數(shù)的概念與結(jié)論,特別是“抽象”的概念,在理解的基礎(chǔ)上熟悉基本概念與重要結(jié)論,掌握基本推理方法,領(lǐng)會抽象代數(shù)的研究方法,并嘗試去解決具體問題。

5、抽象代數(shù)以代數(shù)結(jié)構(gòu)為研究對象，集合論是研究代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。而群是抽象代數(shù)所研究的最為重要、最為基礎(chǔ)的代數(shù)結(jié)構(gòu),也是抽象代數(shù)部分的學(xué)習(xí)重點,學(xué)習(xí)好群的相關(guān)知識,習(xí)慣了代數(shù)的“抽象”思維,環(huán)、域的學(xué)習(xí)也就相對容易了。

6、閱讀教材、課堂聽講、反復(fù)思考,并獨立完成一定數(shù)量的習(xí)題,只有如此,才能理解抽象代數(shù)的概念,掌握有關(guān)理論,從而提高分析問題的能力。第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日§7.1代數(shù)系統(tǒng)的引入

代數(shù)系統(tǒng)是由一個集合（此集合稱為代數(shù)的載體）和定義在集合上的運(yùn)算構(gòu)成。注：①載體一般是非空集合，②定義在載體上的n元運(yùn)算是一個從An到B的映射。

例：１）取整[X]，求絕對值|X|，是一元運(yùn)算２）+,X是二元運(yùn)算,３）ifx<y

and

y<zthenｕ是三元運(yùn)算例：整數(shù)集，實數(shù)集，符號串集合等。第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日§7.2運(yùn)算及其性質(zhì)

一、二元運(yùn)算1、運(yùn)算封閉性：若x，y∈A，有x*y∈A，稱*在A上是封閉的例：A={x｜x=2n，n∈N}，問<A，x>運(yùn)算封閉否，<A，+>，<A，/>呢？

解：2r，2s∈A，2rx

2s=2r+s∈A（ｒ＋ｓ∈Ｎ）∴<A，x>運(yùn)算封閉2，4∈A，2+4A，∴<A，+>運(yùn)算不封閉2，4∈A，2/4A，∴<A，/>運(yùn)算不封閉第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日2、結(jié)合律

證：a，b，c∈A，

a*（b*c）=a*c=c(a*b）*c=b*c=c∴a*（b*c）=（a*b）*c

∴*滿足結(jié)合律已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z）=（x*y）*z，稱*滿足結(jié)合律。例：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b證明：*滿足結(jié)合律§7.2運(yùn)算及其性質(zhì)第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日3、交換律已知<A，*>，若x，y∈A，有x*y=y*x，稱*滿足交換律。例：設(shè)<有理數(shù)集，*>,*定義如下：

a*b=a+b-ab，問*滿足交換律否？證：∵a，b∈A，

a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a∴*滿足交換律?！?.2運(yùn)算及其性質(zhì)第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日設(shè)<A，*，△>，若x，y，z∈A有:x*(y△z)=（x*y）△（x*z）;(y△z)*x=(y*x)△(z*x)稱運(yùn)算*在△上可分配例：設(shè)A={，}，二元運(yùn)算*，△定義如左:*

△

問分配律成立否？

①

證明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z)

證：當(dāng)x=：x△(y*z)=;(x△y)*(x△z)=

當(dāng)x=：x△(y*z)=y*z;(x△y)*(x△z)=y*z注:若找不到規(guī)律,對該例則應(yīng)用8個式子進(jìn)行驗證。②、運(yùn)算*對運(yùn)算△不可分配證：∵*（△）=*=（*）△（*）=△=

§7.2.1運(yùn)算及其性質(zhì)4.分配律第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:N為自然數(shù)集,x,y∈N，x*y=max{x，y},x△y=min{x，y}

證明：x，y∈N，

x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=xx≥y

=x∴*滿足吸收律xx<yx△（x*y）=min{x，max{x，y}}=xx≥y

=x∴△滿足吸收律xx<y§7.2.1運(yùn)算及其性質(zhì)

5.吸收律：設(shè)<A，*，△>，若x，y，z∈A有:

x*(x△z)=x稱運(yùn)算*滿足吸收律;

x△(x*y)=x；運(yùn)算△滿足吸收律

試證：*，△滿足吸收律第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x則稱*滿足等冪律

例：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉,則∪,∩滿足吸收律，等冪律

§7.2運(yùn)算及其性質(zhì)6.等冪律第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日§7.2運(yùn)算及其性質(zhì)二、么元（單位元）和零元1、定義:設(shè)*是s上二元運(yùn)算，er，eI，r，ｌ，e，s

，有①.若xs，有el*x=x，稱el為運(yùn)算*的左么元若xs，有x*er=x，稱er為運(yùn)算*的右么元

②.若xs，有l(wèi)*x=l

，稱l為運(yùn)算*的左零元若xs，有x*r=r，稱r為運(yùn)算*的右零元③.

若xs，有e*x=x，x*e=x稱e為運(yùn)算*的么元若xs，有*x=x*=

，稱為運(yùn)算*的零元

第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日例：代數(shù)A=〈{a，b，c}，。

〉用下表定義：。abcaabbbabccaba則b是左么元，無右么元,

a是右零元，b是右零元，無左零元;二、么元（單位元）和零元運(yùn)算。既不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律。

第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日例:

a）〈I，x〉，I為整數(shù)集則么元為1，零元為0

二、么元（單位元）和零元b）〈（s）,∪,∩〉對運(yùn)算∪，是么元，s是零元，對運(yùn)算∩，s是么元，是零元。c）〈N，+〉有么元0，無零元。第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日2、性質(zhì)①、Th1:

設(shè)*是s上的二元運(yùn)算，滿足結(jié)合律，具有左么元el，右么元er，則el=er=e證明：er

=

el*er=

el二、么元（單位元）和零元推論：二元運(yùn)算的么元若存在則唯一

證明：反證法：設(shè)有二個么元e，e’

；則e=e*e’=e’②、Th2:

設(shè)*是s上的二元運(yùn)算，具有左零元ol，右零元or，則ol=or=o

推論：二元運(yùn)算的零元若存在則唯一第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日三、

逆元1、逆元定義設(shè)*是s上的二元運(yùn)算，e是運(yùn)算*的么元

§7.2運(yùn)算及其性質(zhì)①、若x*y=e那對于運(yùn)算*，x是y的左逆元，y是

x的右逆元②、若x*y=e，y*x=e，則稱x是y的逆元，y的逆元通常記為y-1，存在逆元(左逆無，右逆元）的元素稱為可逆的（左可逆的，右可逆的）第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例：

a)、代數(shù)〈N，+〉中僅有么元0，有逆元0，〈R，*〉中，除零元0外所有元素均有逆元

b)、A=〈{a，b，c}，*〉由下表定義：

*abcaaabbabccaccb是么元,a的右逆元為c，無左逆元，b的逆元為b，c的右逆元為空，左逆元為a三、

逆元第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日d）A={〈0，1，2，…，k-1〉，×k}

模k乘法×k定義如下：

x×ky=x·y