勾股定理知識點及例題講解

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第九講股定理知識概要1、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別a，斜邊長，那么

．

的變形c

2(：應(yīng)用勾股定理的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形)2、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊a，c滿足

，那么這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊。3、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（2）已知在特殊直角三角形中，直角三角形的一邊，求另兩的關(guān)系.（3）用于證明平方關(guān)系的問題4、如何判定一個三角形是否是直角三角形（1）首先確定最大邊（）.（2）驗2與a2+b是否具有相等關(guān)系.c

2

a

2

+

2

，則ABC是以C=90°直角三角形；c

2

a

2

+b

2

，則ABC不是直角三角形.【注意】+2時有兩種情況（1）a（2）a

22

++

22

<>

22

時，此三角形為鈍角三角形；時，此三角形為銳角三角形，其為三角形的最大邊5、常用勾股數(shù)組：(3,4,5);(5,12,13);(6,10);(7,24,25);(8,15,17);40,41)

；（20,21,29）……、一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同的正整數(shù)倍得到的一組新數(shù)還是勾股數(shù)。、一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同的正數(shù)倍得到的一組新數(shù)為邊，仍構(gòu)成直角三角形。、直角三角形的性質(zhì)：（）直角三角形中斜邊最大；（）直角三角形中有勾股定理；）直角三角形中，度角所對應(yīng)直角邊等于斜邊的一半；（）直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；（）等積原理（ab=ch）、雙垂圖中的射影定理

例題精講板一股理【例1】如圖，證明勾股定理．b【例2】填空:在ABC中,∠C為直角.(1)若=2,AC=3則AB=

；若BC=5,AB=13.則=

；若AB=61,AC=11.則BC=.(2)若AB=35且AB=20則AC=.(3)若A=60°且則AB=cm，cm.【鞏固練習(xí)】1、RtABC中直角，2、（1）已知，AC，求AB之長；3、（2）已知

AB

，

BC

，求AC之長；（3）（3）已知AC，AB，求BC之長．2、已知等邊三角形的邊長為a求等邊三角形一邊上的高和這等邊三角形的面積．【例已知ABC

ABCD求BC和AD的長．

【鞏固練習(xí)】已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠，四邊形ABCD的周長為32，BC和CD的長.CD【

A例

B】圖，已知AB＝，BC＝，15,ADBC于D求AD的.AB

【例】如圖，已知：

90CMMPAB于．B求證：2BC

．PC

A【例如圖，已知在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABCACB，AB，分別AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為，S，S+S的值等于．1

1212ACBS

SA

B【鞏固練習(xí)】1如圖，已知：在中，

，分別以此直角三角形的三邊為直徑畫半圓，試說明圖中陰影部分的面積與直角三角形的面積相等．2、圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、、C、D的邊長分別是35、2、3，則最大正方形的面積是A．13B．C．47D．3、在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個正方形的積分別是1，2，3，正放置四個正方形的面積依次S

、S，則S31

+++=____S

1

1

S

2

2

S

3

3

S

4

1

板二勾定逆理【例7】eq\o\ac(△,在)ABC中，如果abc=12,那么A=°,B=°C=°如果abc=112,那∠A=∠B=°∠C=°【例判斷由線段a，b，組成的三角形是不是直角三角形：（1）

，

，

c

；（2c；（3bc．【例已知：在△ABC中，∠、∠B、∠C的對邊分別是a、bc，滿足a2

+b2

+c2

+338=10a+24b+26c，試判斷△ABC的形狀【例10如圖，在四邊形ABCD中，∠C=90，AB=13BC=4，CD=3AD=12，證：AD⊥BD

【例11已知：如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點，E為CB的四等分點即EB求證：AFFE．【例12如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90°AB=3BC=4，CD=12，AD=13求四邊形ABCD的面積.【鞏固練習(xí)】1.若一個三角形的周長為12

cm,一邊長為3

3

cm,其他兩邊之差為3

cm,則這個三角形是()A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.腰直角三角形

2.圖，每個小正方形的邊長為1A、、C是小正方形的頂點，則∠的度數(shù)為（）A．90°B．60°．45°D．30°有塊土地形狀如圖所示∠∠°,AB=20米BC=15米CD=7米,請算這塊地的面積4.圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，AD=1，且∠ABC=90°，試求∠的度數(shù)。ABC課后作業(yè)1、在RtABC中C（1ab，c；（

a

，

b40

，則

_______

64（3ab，c；（bc_______．2、三個正方形的面積如圖，正方形A的面積為（）A．B．36．64D83、在RtABC中，有兩邊的長分別為3和4，則第三邊的長（）

100

A

A、5B、

C、5或

D5或4、（1）等腰三角形的腰長是20厘米，底長是32厘米，求它的面積．5、6、（2已知一等邊三角形的高是

，求面積．（3直角三角形的面積為，斜邊長為26，求它的周長.5.求某些勾股數(shù)的規(guī)律：(1)對于任何一組已知的勾股數(shù)都擴大相同正整數(shù)倍后，就得到了一組新的勾股數(shù)．例如3，我們把它擴大倍、3倍，就分別得2222，……若把它擴大11倍，就得到，若把它擴大n倍，就得到．(2)對于任意一個大于1的奇數(shù)，存在著下列勾股數(shù)：若勾股數(shù)為34，5，因3，則；若勾股數(shù)為51213，則

2

12；若勾股數(shù)為72425，則有；……(3)于大于4的偶數(shù)：若勾股數(shù)為68，10，因6

2

10

2

2

，則有……請找出這些勾股數(shù)之間的關(guān)系，并用適當(dāng)?shù)淖帜副硎境鏊囊?guī)律來，并求當(dāng)偶數(shù)為的勾股數(shù)．6、如圖，點C是以為AB直徑的半圓上的一點ACB90AC，則圖中陰影部分的面積是

第講勾股定理（二勾股問題的用模型1.折翻轉(zhuǎn)問題：注意對稱中的線段的相等與轉(zhuǎn)移結(jié)合全等三角形性質(zhì)模型2.最距離問題：把立體圖形的展開，構(gòu)造平面圖，利用勾股定理計算證明模型3.其實際問題：學(xué)會把實際問題抽象成幾何圖形利用勾股定理求解

例題精講板一折疊翻問【例1】如圖，將三邊長分別為3、5的△ABC，沿最長邊AB翻轉(zhuǎn)1

，CC'

長為（）AC

C'B【

例】如圖，有一張直角三角形紙片，直角邊

AC6

，eq\o\ac(△,將)折疊，使點B與A重，折痕，CD的長。CD

【例】圖，已知長方形ABCD中在上一點Eeq\o\ac(△,將)折使點D恰落在BC邊上的點，求CE的長【鞏固練習(xí)】1.圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使點D與點B重合，已知AB＝3，AD＝求BE的長．

2.圖，在矩形ABCD中，AB=6將矩形ABCD折疊，使點B與點D重合，C落在處，若AE:BE=1:2則折痕EF的長為多少3.圖，已知：點E是正方形ABCD的BC邊上的點，現(xiàn)將DCE沿折痕DE向上翻折，使落在對角線DB上，則CD∶CE＝_________

A

BFD

EC【拓展】如圖,折疊矩形紙片ABCD,折出對角線BD,再折疊使AD邊與BD重合,得到折痕DG,若AB=8.BC=6,求AG的長板二最短離題

D【例4】如圖，在長、寬都是，高是8的長方體外部，若螞蟻要從頂點A爬到頂點B，那么它爬行的最短距離為．

AA【鞏固練習(xí)】如圖，正方體盒子的棱長為BC的中點為M一只螞蟻從M點沿正方體的表面爬行到D

點，螞蟻爬行的最短距離是（A．

B3C．

D．2+5【拓展】1.圖，長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點，那么所用細(xì)線最短需要

cm；如果從點開始經(jīng)過4個側(cè)面纏圈到達(dá)點，那么所用細(xì)線最短需要

cm．B6cmA2.圖,是一個三級臺階,它的每一級的長、寬、高分別為20dm3dm，2dm，A和B是這個臺階兩相對的端點，A點有一只昆蟲想到B點去吃可口的食物，則昆蟲沿著臺階爬到B點的最短路程是多少dm·

202

3·B【例5】

如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費用為每千米萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M使鋪設(shè)水管的費用最節(jié)省，并求出總費用是多少ACD【鞏固練習(xí)】如圖，一個牧童在小河的南4km的處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少小河牧童

A

北

東B屋板三他際題【例6】如,一根旗桿的升旗的繩垂直落地后還剩余米,若將繩子拉直,則繩端離旗桿底端的距離(BC)有米.求旗桿的高度.【例7】如圖，是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標(biāo)出尺寸（單位：mm計算兩圓孔中心A和B的距離為

.

60A021

B

06140

【例8】如圖，是一只圓柱形的封閉易拉罐，它的底面半徑為，高為15cm，問易拉罐內(nèi)可放的攪拌棒(直線型)最長可以是多長【鞏固練習(xí)】如圖，有一個高米，半徑是米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是米，問這根鐵棒應(yīng)有多長【例9】長4m的梯子搭在墻上與地面成角，作業(yè)時調(diào)整為60°角（如圖所示），則梯子的頂端沿墻面升高了

m．【鞏固練習(xí)】如圖，一架米的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AC上，這時梯足B到墻底端的距離為米，如果梯子的頂端沿墻下滑米，那么梯足將向外移多少米

AA

1B

1

BC【例10】如圖所示，秋OA在平衡位置時，下端A距地面米，當(dāng)秋千到OA的位置時，下端A距平衡位置的水平距離AB為，距地面米，求秋千的長．1【例11】如圖，某沿海開放城市A接到臺風(fēng)警報，在該市正南方向100km的B處有一臺風(fēng)中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移動，已知城市A到BC的距離，那么臺風(fēng)中心經(jīng)過多長時間從B點移到D點如果在距臺風(fēng)中心30km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺風(fēng)的破壞的危險，正在D點休閑的游人在接到臺風(fēng)警報后的幾小時內(nèi)撤離才可脫離危險A

B課后作業(yè)1.兩棵樹，一棵高8米，另一棵高米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了

米．2.一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬尺，求竹竿高與門高.

3.工周師傅加工一個長方形桌面，測量得到桌面的長為40cm，寬為對角線為60cm，這個桌面

(填合格“不合格”)。4.下圖,今年的冰雪災(zāi)害中,一棵大樹在離地面3