2018年數(shù)學復習專題6.4數(shù)列求和（練）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精10-學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE專題6。4數(shù)列求和【基礎(chǔ)鞏固】一、填空題1．數(shù)列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4）,5eq\f（1,8),7eq\f(1,16）,…,(2n－1）＋eq\f（1，2n)，…的前n項和Sn＝________.【答案】n2＋1－eq\f（1,2n）【解析】該數(shù)列的通項公式為an＝（2n－1）＋eq\f（1，2n),則Sn＝［1＋3＋5＋…＋（2n－1）］＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)＋\f（1,22)＋…＋\f(1，2n)))＝n2＋1－eq\f(1，2n)。2．(2017·南通調(diào)研)若等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，a4＝4，S4＝10，則數(shù)列eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1（\f（1，anan＋1)))的前2017項和為________．【答案】eq\f(2017,2018)3．數(shù)列｛an｝的通項公式為an＝(－1）n－1·（4n－3），則它的前100項之和S100＝________。【答案】－200【解析】S100＝(4×1－3)－（4×2－3)＋(4×3－3）－…－(4×100－3）＝4×［（1－2）＋（3－4)＋…＋(99－100)]＝4×（－50)＝－200.4．（2017·江西高安中學等九校聯(lián)考)已知數(shù)列5，6,1,－5,…,該數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前16項之和S16＝________.【答案】7【解析】根據(jù)題意這個數(shù)列的前7項分別為5，6，1，－5，－6,－1，5,6，發(fā)現(xiàn)從第7項起,數(shù)字重復出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，且周期為6，前6項和為5＋6＋1＋(－5）＋(－6)＋（－1）＝0.又因為16＝2×6＋4，所以這個數(shù)列的前16項之和S16＝2×0＋7＝7。5．（2017·泰州模擬）數(shù)列｛an}滿足an＋an＋1＝eq\f（1，2)（n∈N＊)，且a1＝1，Sn是數(shù)列｛an}的前n項和,則S21＝________?！敬鸢浮?【解析】由an＋an＋1＝eq\f（1，2)＝an＋1＋an＋2,∴an＋2＝an，則a1＝a3＝a5＝…＝a21,a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋（a2＋a3）＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×eq\f(1,2)＝6。6．（2017·南通、揚州、泰州三市調(diào)研)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，(1－an＋1）(1＋an）＝1（n∈N*),則eq\o(∑,\s\up6（100）,\s\do4(k＝1)）（akak＋1)的值為________．【答案】eq\f（100，101)7．在等差數(shù)列{an｝中，a1>0,a10·a11〈0，若此數(shù)列的前10項和S10＝36，前18項和S18＝12,則數(shù)列{｜an|｝的前18項和T18的值是________．【答案】60【解析】由a1>0，a10·a11〈0可知d〈0，a10〉0,a11〈0，∴T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18＝S10－（S18－S10）＝60。8．（2017·鎮(zhèn)江期末)已知數(shù)列{an｝中，an＝－4n＋5,等比數(shù)列{bn｝的公比q滿足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，則|b1|＋|b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝________?！敬鸢浮?n－1【解析】由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4,∴bn＝（－3）×(－4）n－1，∴｜bn｜＝3×4n－1，即｛|bn｜｝是以3為首項，4為公比的等比數(shù)列,∴｜b1|＋｜b2｜＋…＋｜bn|＝eq\f（31－4n,1－4）＝4n－1。二、解答題9．已知{an}是等差數(shù)列,{bn｝是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9,a1＝b1，a14＝b4.(1）求｛an｝的通項公式；(2）設(shè)cn＝an＋bn,求數(shù)列{cn｝的前n項和．10．（2017·蘇北四市調(diào)研)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的首項a1＝1，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項和，且滿足:anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝λanan＋1(λ≠0，n∈N*）．(1)若a1,a2，a3成等比數(shù)列，求實數(shù)λ的值;(2)若λ＝eq\f（1,2）,求Sn.解(1)令n＝1,a1S2－a2S1＋a1－a2＝λa1a2，解得a2＝eq\f（2,1＋λ)。令n＝2，a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，解得a3＝eq\f（2λ＋4，λ＋12λ＋1)。由aeq\o\al（2,2）＝a1a3得eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2，1＋λ)))2＝eq\f（2λ＋4,λ＋12λ＋1)，因為λ≠0，所以λ＝1。（2）當λ＝eq\f（1,2)時，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝eq\f（1，2)anan＋1，所以eq\f(Sn＋1,an＋1）－eq\f(Sn，an）＋eq\f(1,an＋1）－eq\f（1，an)＝eq\f(1，2)，即eq\f（Sn＋1＋1,an＋1)－eq\f(Sn＋1,an）＝eq\f（1，2)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f（Sn＋1，an))）是以2為首項，eq\f(1，2)為公差的等差數(shù)列，所以eq\f（Sn＋1,an)＝2＋（n－1)·eq\f（1，2），即Sn＋1＝eq\f（n＋3，2）an，①當n≥2時，Sn－1＋1＝eq\f（n＋2,2)an－1，②由①－②得an＝eq\f(n＋3,2）an－eq\f（n＋2，2）an－1，即（n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以eq\f（an,n＋2）＝eq\f(an－1,n＋1)(n≥2),所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f（an，n＋2）)）是首項為eq\f(1,3）的常數(shù)列,所以an＝eq\f（1，3）(n＋2)．代入①得Sn＝eq\f（n＋3,2）an－1＝eq\f(n2＋5n,6）。【能力提升】11．（2017·長治聯(lián)考）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差是d，其前n項和是Sn,若a1＝d＝1，則eq\f（Sn＋8,an）的最小值是________．【答案】eq\f（9,2）【解析】an＝1＋(n－1）＝n，Sn＝eq\f（n1＋n,2），∴eq\f(Sn＋8,an)＝eq\f(\f（n1＋n,2）＋8,n)＝eq\f（1，2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(n＋\f(16，n)＋1））≥eq\f（1，2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2\r（n·\f(16，n）)＋1））＝eq\f（9,2），當且僅當n＝4時，取等號．∴eq\f(Sn＋8,an)的最小值是eq\f（9，2）。12．(2017·鹽城中學模擬)在數(shù)列{an｝中，an＋1＋(－1）nan＝2n－1，則數(shù)列｛an｝的前12項和為________．【答案】7813．(2017·南京、鹽城模擬）已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(1－x－12)，0≤x<2，,fx－2，x≥2，))若對于正數(shù)kn(n∈N＊)，直線y＝knx與函數(shù)y＝f（x)的圖象恰有(2n＋1)個不同交點，則數(shù)列{keq\o\al（2,n)｝的前n項和為________．【答案】eq\f（n,4n＋4)【解析】函數(shù)f（x)的圖象是一系列半徑為1的半圓，因為直線y＝knx與f(x）的圖象恰有(2n＋1)個不同交點，所以直線y＝knx與第(n＋1)個半圓相切，則eq\f（2n＋1kn,\r（1＋k\o\al(2,n）））＝1，化簡得keq\o\al（2，n）＝eq\f(1,4nn＋1)＝eq\f（1，4）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,n）－\f（1,n＋1））)，則keq\o\al（2，1）＋keq\o\al(2，2)＋…＋keq\o\al(2,n)＝eq\f（1,4)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－\f（1，2）＋\f（1，2）－\f(1,3）＋…＋\f（1，n)－\f(1,n＋1）））＝eq\f(1,4）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f(1，n＋1))）＝eq\f（n，4n＋4）.14．（2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)正項數(shù)列a1，a2，…,am（m≥4，m∈N*）,滿足a1,a2,a3，…，ak－1,ak(k<m,k∈N*)是公差為d的等差數(shù)列,a1,am,am－1，…，ak＋1，ak是公比為2的等比數(shù)列．（1）若a1＝d＝2，k＝8，求數(shù)列a1,a2，…，am的所有項的和Sm；(2)若a1＝d＝2，m<2016，求m的最大值；（3)是否存在正整數(shù)k，滿足a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝3（ak＋1＋ak＋2＋…＋am－1＋am）？若存在,求出k的值；若不存在,請說明理由．又a1，am，am－1，…，ak＋1，ak是公比為2的等比數(shù)列，則ak＝a1·2m＋1－k，故a1＋(k－1)d＝a1·2m＋1－k，即(k－1)d＝a1（2m＋1－k－1）．又a1＋a2＋…＋ak－1＋ak＝3(ak＋1＋ak＋2＋…＋am－1＋am）,am＝2a1，則ka1＋eq\f(1,2)k(k－1）d＝3×2a1×eq\f(1－2m－k,1－2),即ka1＋eq\f(1,2)ka1(2m＋1－k－1）＝3