2021-2022學年河南省洛陽市高一下學期期末數(shù)學（文）試題【含答案】

2021-2022學年河南省洛陽市高一下學期期末數(shù)學（文）試

題

一、單選題

1.設全集0={123,4,5,6,7},集合M={2,3,5},N={2,4,6},則

NPlQM=（）

{2}

A.{4,6,7}B.{3舟C."⑹D.

C

【分析】根據(jù)交并補集的運算求解即可

【詳解】QM={1,4,6,7},故Nn&L）={4,6}

故選：C

2.已知角。的終邊過點（一4,3）,則cosa=（）

_43_43

A.5B.5C.3D.4

A

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結合終邊上的點求cose即可.

—44

cosa=j=——

【詳解】由題設，*-4尸+325.

故選：A

3.“事件/,8互斥”是“事件Z,8對立”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B

【詳解】試題分析：當事件4"互斥時，事件43不一定對立；當事件43對立時,

事件43一定互斥；事件43互斥是事件43對立的必要不充分條件，

故答案B.

1、互斥事件和對立事件；2、充分條件、必要條件的判定.

4.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱與球的表面積之比為（）

B.3:2C."：3D.4：兀

B

【分析】設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,然后表示出圓柱的表面

積和球的表面積，相比即可

【詳解】設球的半徑為K,則由題意得圓柱的底面半徑為R,高為2R,

所以圓柱的表面積為2兀片+2兀R.2R=6兀R2,

球的表面積為4萬露，

6TTR23

所以圓柱與球的表面積之比為^^一^,

故選：B

5.一家水果店的老板為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去10天蘋果的日銷售

量（單位：kg）：83,96,107,91,74,75,94,80,80,100.設該水果店過去10

天蘋果日銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、極差依次為“，"c,則的值為

（）

A.32B.33C.34D.35

C

【分析】對數(shù)據(jù)排序，依據(jù)定義求出平均數(shù)、中位數(shù)、極差，即可求目標式的值.

【詳解】由題設，從小到大排序為74,75,80,80,83,91,94,96,100,107,

74+75+80+80+83+91+94+96+100+107

a=---------------------------------------=8o8o

所以平均數(shù)為10,

,83+91⑺

b=------=87

中位數(shù)為2,

極差為。=107-74=33,

所以。-6+c=88-87+33=34.

故選：C

6.設乙〃?，〃是三條不同的直線，尸，7是三個不同的平面，下列說法正確的

是（）

A.若加〃〃，〃ua,則加IIa

B.若/，機，,mu（3,nu。，則/，夕

C.若/ua,則/,尸

D.若a〃/，aCly=m,夕口/=",則加〃”

D

【分析】根據(jù)線面平行、垂直的判定定理可判斷A、B；根據(jù)面面垂直的性質定理可判

斷C：根據(jù)面面平行的性質定理可判斷D.

【詳解】利用正方體"^CO-MAG"確定線面之間的位置關系，如圖所示，

對于A選項，設49為機，BC為n,面/夕。為a,

則滿足〃?〃"，〃ua,〃?ua,故A錯誤；

對于B選項，設4）為“，BC為n,4B為1,而4BCD為尸,

滿足/‘機，/'〃，mu°,〃u/7,/，故B錯誤；

對于C選項，面為。，面為尸，為/,

滿足a'A,/ua,/u夕，故c錯誤；

對于D選項，由面面平行性質定理：

兩個平行平面，分別和第三個平交，交線平行，

所以a〃1，?Cly=w,4Dy=",可得加〃

故D正確.

故選：D.

7.有2人從一座6層大樓的底層進入電梯，假設每個人自第二層開始在每一層離開電

梯是等可能的，則該2人在不同層離開電梯的概率是

2145

A.6B.5c.5D.6

C

【詳解】試題分析：設2人為A、B,則2人自2至6層離開電梯的所有可能情況為:

(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,B2),

(A3,B3),(A6,B6).共25個基本事件，2人在相同層離開電梯共包含

(A2,B2),(A3,B3),(A4,B4),(A5,B5),(A6,B6)共5個事件，所以2

P=20=4

人在不同層離開電梯共包含20個基本事件，概率為255.

古典概型

8.已知函數(shù)/(x)=x+x\g(x)=x+3'，Mx)=x+l°g)的零點分別為X1，

*2,匕，則不，入2,%的大小順序為()

A%2>工3>MB”3>%2>西

CX]>工2>X3X3>X[>工2

D

【分析】依題意可將函數(shù)的零點轉化為函數(shù)y=x'、y=3\卜=1。8/與＞=7的交點

的橫坐標，畫出函數(shù)圖象，結合圖象即可判斷；

【詳解】解：依題意令/G)=x+1=°,即x=-x,

同理可得3、=-x,噪3》=一。

則函數(shù)的零點轉化為歹=/、＞=3'、"=1。83、與＞=-、的交點的橫坐標，

在平面直角坐標系上畫出函數(shù)圖象如下：

故選：D

9.如圖，在等邊AZ8C中，點。為底邊zc的中點，將AN8。沿8。折起到的

位置，使二面角。一8°-C的大小為90。，則異面直線。。與8c所成的角的大小為

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

D

【分析】根據(jù)線面垂直的判定與性質，證明平面08c即可

【詳解】因為等邊A/8C,且點。為底邊4c的中點，故翻著后

又ODcOC=O,故8。，平面OOC,故二面角。-8O-C為/。。。=90°,故

DO1OB,DO1OC；又08noe=。，08,0Cu平面故Z）O_L平面08c,又

8Cu平面O8C,故。OJ.8C

故選：D

10.洛陽欒川老君山形成于十九億年前的大陸造山運動，造就了其千姿百態(tài)、群蜂競

秀、拔地通天、氣勢磅礴的景觀，塑造了“華夏綠色心臟，世界地質奇觀”的主題形象.

某旅游愛好者在老君山山腳A（A處的海拔高度約為830m）測得山頂尸的仰角為45。,

沿傾斜角為15。的斜坡向上走1200m到達3處，在8處測得山頂P的仰角為75。，則老

君山的海拔高度約為（）（參考數(shù)值：加=1.414,V3a1.732）

A.1469mB.1869mC.2299mD.2399m

C

【分析】依題意畫出圖形，令PQ”,利用銳角三角函數(shù)計算可得;

【詳解】解：依題意可得如下圖形，其中/0（P=45。，48=1200,/QAB=15°,

ZCSP=75°,

則4。=尸0,號PQ=m,BD=ABsinZ.DAB=sin15°,

AD=ABcosZ.DAB=ABcos15°,

所以DQ=BC=/Q—力。=機—48cos15。

PC=PQ-BD=m-ABsin15°t

PC__〃?-48sinl50__

----=tanZ.CBP-tan75o------------------=tan75o

則BC,即m-ABcos15°

AB（cos15°-tan75°-sin15°）

所以〃'一

tan750-1

sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=-~—

其中,4

cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos300+sin45°sin30°="十夜

o°1+5

tan750=tan（450+30°）=啊45+tan30=_%=2+拒

''1-tan45°tan3006

1------

3

m=

所以2+V3-1

AB砥+3⑸_4B3x⑸1200xl.732xl.414

--------/l-----r----=-----------------------Q--------------------------------n146y

2（；3+l）22

所以P點的海拔約為1469+830=2299m

故選：C

11.近年來，我國肥胖人群的規(guī)模急劇增長，肥胖人群有很大的心血管安全隱患.目前,

國際上常用身體質量指數(shù)（BMI）來衡量人體胖瘦程度及是否健康，其計算公式：

83整

身高2(體重單位：kg,身高單位：m).中國成人的BMI數(shù)值標準：BMI

頻率

0.12----------

0.10----------

O5

0.4

0.

。3

.O2

0..O

.O

女員工

根據(jù)上圖，下列說法正確的是()

A.估計該公司女員工BMI值的眾數(shù)等于男員工BMI值的眾數(shù)

B.估計該公司女員工中偏胖和肥胖的比例大于男員工中偏胖和肥胖的比例

C.估計該公司女員工BMI值的標準差小于男員工BMI值的標準差

D.估計該公司女員工偏瘦的人數(shù)大于男員工偏瘦的人數(shù)

D

【分析】由眾數(shù)、標準差的概率可判斷A、C；由頻率直方圖的性質可計算對應的頻率

和人數(shù)的計算可判斷B、D.

18。+20叫°25

【詳解】該公司女員工BMI值的眾數(shù)為2，男員工BMI值的眾數(shù)為

230+205=21.75

2,故A不正確；

該公司女員工中偏胖和肥胖的頻率為：

(25.5-24)x0.04+(28-25.5)x0.03+(30.5-28)x0.02+(33-30.5)x0.02=0.235

該公司男員工中偏胖和肥胖的頻率為:

(25.5-24)x0.08+(28-25.5)x0.02+(30.5-28)x0.02+(33-30.5)x0.01=0.245

所以該公司女員工中偏胖和肥胖的比例小于男員工中偏胖和肥胖的比例故B不正確；

從圖中可以看出該公司女員工BMI值較為分散，男員工BMI值較為集中，該公司女

員工BMI值的標準差大于男員工BMI值的標準差，故C不正確.

估計該公司女員工偏瘦的人數(shù)為：

[(18.5-18)x0.12+(18-15.5)x0.1+(15.5-13)x0.02]x50=18

估計該公司男員工偏瘦的人數(shù)為：

[(18.5-18)x0.1+(18-15.5)x0.05]x90=15.75

估計該公司女員工偏瘦的人數(shù)大于男員工偏瘦的人數(shù)，故D正確.

故選：D.

12.在中，A,B,C分別為三邊”，h,°所對的角，若

cos8cosC_2sinJsinB

cos8+Gsin8=2,+3sinC,則”+c的最大值是()

A.1B.6C.2D.2也

D

【分析】根據(jù)已知條件求得8力，再利用正弦定理將角化邊，將問題轉化為求

2>/3sin|J+—J

I6J的最大值問題求解即可.

rsin(8+/]=l—<B+—<—B=—

【詳解】cos8+>/3sm8=2得I6),又666,所以3

在中，由正弦定理得：

cos5+cosC_ccos5+/)cosC_sinCcosB4-sinScosC_sin/t_2sin4sin3

bcbeZ?sinC/?sinC3sinC

h=---=y/3

所以2sin5,所以

b

a-\-c=(sin/+sinC)=2sin4+2sin

sin3

A+九一nA-71

故當+~6~2,即一§時，”+c取得最大值

故選：D

二、填空題

13.某學校有高中學生1000人，其中高一年級，高二年級的人數(shù)分別為400,320,

為調查學生睡眠時間，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取一個樣本，如

果抽取高一年級學生的人數(shù)為20,那么應抽取高三年級學生的人數(shù)為.

14

【分析】應用分層抽樣的等比例性質求樣本容量，進而求出抽取高三年級學生的人數(shù).

20+^21=50

【詳解】由題設，抽取的樣本人數(shù)為1000人，

“1000-400-320,,

50x---------------------=14

所以抽取高三年級學生的人數(shù)為

故14.

14.若UH，且。包=-2,則

【分析】根據(jù),結合數(shù)量積的運算律即可得出答案.

【詳解】解：因為忖=M=:且>3=-2

故答案為.26

15.己知則實數(shù)0的取值范圍為.

【分析】分和。>1兩種情況求解即可.

［詳解］解：當0<“<1時，由可得l°g/解得§<a<；

!11

當a>l時，bg/>l,可得log43>log""，得a<5,不滿足”>1,故無解.

(-,1)

綜上所述。的取值范圍為.3

故答案為

16.在棱長為2的正方體"中，2為棱44的中點，過點8作平面

a±CP,則平面。截正方體所得的截面面積為.

3

21.5

【分析】如圖，以。為原點，所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角

坐標系，設平面。分別交C2CG于瓦尸，設醺0,機,0),尸(0,2,"),則利用垂直關系可

求出機，〃的值，從而可確定出瓦廠的位置，從而可求出截面面積

【詳解】如圖，以。為原點，所在的直線分別為x，-z軸，建立空間直角

坐標系，則

8(2,2,0),C(0,2,0),尸(1,0,2),

所以麗=(L-2,2),

設平面a分別交C℃G于邑下,設E(0,〃i,0),F(0,2,〃)，

所以BE=(-2,m-2,0),BF=(-2,0,n),

因為CP_La,BE,BFua,

所以CPLBE,CPLBF,

所以而?屁=_2_2(m-2)=0,方?即=_2+2〃=0,

解得機=L〃=1,

所以￡(0,1,0),F(0,2,1),

所以E，尸分別為℃,CG的中點，

所以平面a截正方體所得的截面為

22

所以BF=BE=+2°=后,EF=A/1+1=V2,

3

所以平面a截正方體所得的截面面積為5,

3

三、解答題

17.已知復數(shù)z=*-2機+（加—2）（meR,i為虛數(shù)單位）.

（1）若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，求實數(shù)機的取值范圍；

-4

-z+--

⑵若復數(shù)z為純虛數(shù)，且z的共輾復數(shù)為z,求z-2

⑴（-8,0）；

⑵布.

【分析】（1）由實部大于。且虛部小于。聯(lián)立不等式組求解"?的取值范圍；

-4

Z4-----

（2）由實部為0且虛部不為0求得加值，然后求得z-2,再由復數(shù)模的計算公式

求解.

【詳解】（1）解：在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，

nV-2m>0

<

，機一2<°,解得m<0.

的取值范圍是（一8'0）；

⑵解：為純虛數(shù)，

-2

m-2w=0

??.加一20°,解得機=0,

z+.4=2i+——--r=-l+3i

z=-2i,貝|Jz-2-2-2i,

z+-^=|-1+3i|=7（-l）2+32=Vio

18.某公司在一次入職面試中，共設有3輪測試，每輪測試設有一道題目，面試者能

正確回答兩道題目的即可通過面試，累計答錯兩道題目的即被淘汰.已知李明能正確回

2

答每一道題目的概率均為且各輪題目能否正確回答互不影響.

（1）求李明不需要進入第三輪測試的概率；

（2）求李明通過面試的概率.

5

⑴§

20

⑵藥

【分析】（1）（2）根據(jù)相互獨立事件與互斥事件的概率公式計算可得；

【詳解】（1）解：設李明通過第一、二、三輪測試分別設為事件A,B,C,可知A,

B,C相互獨立.

設李明不需要進入第三輪測試為事件M,則M,

所以尸（"）=P（AB+AB）=P（AB）+PQB）=尸⑷P⑻+，g尸⑻

225

39

即李明不需要進入第三輪測試的概率為9；

（2）解：設李明最終通過測試為事件N,則N=/8+N8C+/5C,

所以P（N）=Pa8+，8C+/^C）=P（Z8）+PG8C>P（/Ec）

故李明最終通過測試的概率為27；

19.已知。，b,c分別是A/8C三個內(nèi)角A,B,C的對邊，且

asinJ+csinC-6sin-V2asinC=0.

⑴求8；

c2后

⑵若5,”=3S0,求"8C的面積.

【分析】（1）由正弦定理角化邊轉化已知等式，再結合余弦定理，求得cosB,從而可

求得角B；

（2）由已知5,角當結合兩角和差的正弦公式，求出sinN,再由正弦定

理，求邊c,按面積公式求解即可.

【詳解】（1）解：,?,?sin/l+c,sinC-/）sin5-V2asinC=0

a_b_c

由正弦定理sin力sinBsinC得：a2+c2—h2—\flac=0

a2+c2-b2\flac41

cosB=---------------=--------=——

由余弦定理得.?ac2ac2

,:Be（0,it）4

?/4+8+C=n,B=—cosC=-----,Cw（0,冗）

（2）解：4,又5

sinC=A/1-COS2C=

）./九小.3?！?K.722V5V2V53&U

/.sinA=sin（7u------C）=sin-----cosC-cossinC=——x------+——x——=--------

444252510

.c3V10x—

￡SinC________5__/7

c——i-乙2、1。

acsinA3J10

由正弦定理sinZsinC得：1°

iiB

S=—acsinB=-x3>/\0x2\/5x——=15

A/itRoCc22、、2

20.如圖，在四棱錐P-/8CZ)中，底面48C。為正方形，底面/8CD,

PA=AB,E,F分別為線段P8,8c的中點.

(1)若48=2,求四棱錐的體積:

⑵證明：平面平面尸BC.

(1)1

(2)見解析

-PA

【分析】(1)根據(jù)E為線段總的中點，可得點E到平面NBCO的距離為2,再根

據(jù)棱錐得體積公式即可得出答案；

(2)根據(jù)尸底面48CZ),可得為,8C,根據(jù)線面垂直的判定定理可得8cL平面

P4B,則有8dE,再根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面尸8C,再根據(jù)面面

垂直的判定定理即可得證.

【詳解】(1)解：因為F為線段BC的中點，AB=2,

_(1+2)X2

所以2，

因為E為線段尸8的中點，

-PA=\

所以點E到平面力88的距離為2,

即四棱錐E-NFO得高為1,

所以四棱錐E-/FC。的體積為3:

(2)證明：因為",底面力BCD,BC^ABCD,

所以尸/_L8C,

?又BCLAB,ABcPA=A,

所以8CJ?平面尸/8,

又ZEu平面尸所以8CL/E,

因為P4=/8,E為線段P8的中點，

所以ZE_LP5,

又BCCPB=B,所以平面尸8C,

又4Eu平面/￡7"

所以平面/E/，平面P8C.

21.設函數(shù)‘GA"'-。+?)/"(a>0且底1)是定義域為R的奇函數(shù).

(1)求實數(shù)人的值；

3

⑵若/0)=5,g(x)=/'+1'_2W(x),且當xe[l,+e)時，g(x"。恒成立，求實

數(shù)加的取值范圍.

(1尸

/7

m<—

⑵12

【分析】(1)利用奇函數(shù)的性質/(°)=°得力=-1；

3

(2)由若/°)-5得出a,確定g(x)表達式，參變量分離即可.

【詳解】⑴函數(shù)/(x)="'Y"+2)a'(a>0且"1)是定義域為R的奇函數(shù)，則

/(0)=4。-(左+2)〃。=1-(〃+2)=0

所以％=T,

又后=-1時，f(x)=a'-a\對任意的xwR,都有

/(-x)=a*x-aa')=一/(x)成立，滿足題意,

所以左=T；

⑵由⑴知，/(*)=°、一。

，且2,

所以，“a2,

所以，。=2或”一5（舍），

g（x）=22X+2-2X-2m（2X-2一,）=（2X-2-x"j-2m（2X-2-x）+2

令2g1）,貝產(chǎn)5,

z>3

由當X￡[l,+e）時,g（x）\O恒成立,得/-2加+2N0在-5時恒成立,

c23

2m</+—Z>—

則f在時2恒成立，

2「3）

又，在L21上單調遞增，

c17

2m<——

所以，6,

m<—

所以，12.

2乃

22.如圖，扇形408的圓心角為3,半徑為1.點尸是々上任一點，設

ZAOP=G。,葛]）

⑴記"。）=而?叱求/）的表達式；

⑵若麗=》°'+了無，求*+產(chǎn)的取值范圍.

/(of)=V3sin71,aw0,紅

a~~

3

⑴

（2）ua

【分析】（1）建立平面直角坐標系，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得P（c°s/sina）,再根據(jù)

題意求得在，進而根據(jù)輔助角公式得到/（,）的表達式即可;

(cosa,sina)=x(l,0)+y

I22人進而化簡得到

（2）根據(jù)題意可得

x=——sina+cosa

.3

y=2也sinax2+y'=—sinf2a+—ae0,—

「3,再代入可得-316；