概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后答案-北郵版-(第三章)2

32273227習(xí)題三將一硬幣拋擲三表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)表次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕試和的散布.【】Y的合散布律如表：0

131

0

C3

1128282

18

1122盒子里有只球、只球2只球，在其中任取只球，以X示取到黑球的只數(shù)，以表取到紅球的只數(shù)求X和Y的合散布.【】X和的合散布律如表：

C

2C232C47

C

3C132C7

P(0黑2紅白=12C2/435

C1C622C4C1C1622C4

C2C1C132C7C32C47

C32C7設(shè)二維機(jī)變量，）聯(lián)合散布函數(shù)為F（x，y）=

ππxy2其他求二維隨機(jī)變量，Y）在長(zhǎng)方形域

ππ,y463

內(nèi)的概【】圖

P{0X

πππ,}公式463ππππππF)(,)))436

yy)y14sin

πsinsinsin0sinsin03436

(題說明：也可先求出密度函數(shù)，再求概率。設(shè)隨機(jī)量，）散布密度f（x，y）=

)

x0,y0,他求）常A；（2隨機(jī)變量（X，）散布函；（3P{0<1，Y<2}.【）由

f(x)dxy

0

e

xy)

dxdy

12

得A=12（2由概念，有F,y)

f(u,vdud)(1)

y0,x其

P{01,0{01,02}

)0

dxy(1設(shè)隨機(jī)量，）概率密度為f（x，y）（1肯定常數(shù)k；（2求{＜，＜3}；（3求{<}（4求{+≤4}.【）由質(zhì)有

k(6),0y他

f(y)dxy

k(6)dy

3131.542XY3131.542XY故（2

18P{X

f(yx

02

18

k(6)dydx

38

P{

f(x)dxdy如圖a

f(x)dxdyx0

2

D127(6.832

P{4}

f(xxdy如bxy

0

42

D1(6)d8題設(shè)和Y是個(gè)彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量在0服均勻散布，的度函數(shù)為f（y）=

,y0,其他求）與的合散布密度）P{}.題【）因X在服從均勻散，所以X的密度函數(shù)為f()

10x0.20,他而yyf()所以

0.2xx20.2xx2(xy)X,)

10.20,

y0x且y0,他.

Y

f(xxy如

xdyy

Ddxy5)d0

-1

0.3679.設(shè)二維機(jī)變量，）聯(lián)合散布函數(shù)為F（x，y）=求（X，）的聯(lián)合散布密度.

x),xy0,0,他【】

(x,)f(x,y)

x0,y0,他設(shè)二維機(jī)變量，）概率密度為f（，y）

4.8x0y,0,他.求邊緣概率密度【】

f)X

f(y)dy=

yx),0其他f()f(,y)dY

y

4.8y(2yyy0,

0y其題設(shè)二維機(jī)變量，）概率密度為

題

yy11f（x，y）=

e,0x,他求邊緣概率密度【】

f)X

f(y)dyed=x其f(y)x)dYd=其題10圖設(shè)二維隨機(jī)變量X，）概率密度為f（，y）

y

2

y他（1試肯定常數(shù)c；（2求邊緣概率密度【）

f(x)dxdy如D

fx)dxdy=

dyx2

421

c得

c

214

f()X

f(y)dy

21x24

dx),

0,

0,

他f()Y

f(,yx

0,

214

2

y20,

0y他

X1X1y|X設(shè)機(jī)變量（X，）概率密度為f（x，y）=

y0x他求條件概率密度f（y｜x（x｜y）.題11圖【】

f)X

f(y)dyx

yx,0其他f()Y

1dxy,y0,f(x)dx1dx0其他.所以f(x)f(yxf(x)

1|2x0,他f(y)

,yxf(y)1,xf()y其他.袋中有五個(gè)號(hào)碼1，234，從中任取三個(gè)，記三個(gè)號(hào)碼中最小的號(hào)碼為X，大的號(hào)碼為.（1求與的合概率散布；（2X與Y是是彼此獨(dú)立？【）X與Y的合散布律如下表X

Y

45

P{X}i

ii

11C3105

22C310515

33C310525

0

C2105

{y}i

因

P{{Y3}

661{10100故X與不立設(shè)二維隨機(jī)變量X，）聯(lián)合散布律為Y

X

（1求關(guān)于X和關(guān)于的緣散布；（2X與Y是是彼此獨(dú)立？【）X和的緣散布如下表

25P{}P{Xx}i因

P{2}P{0.2(XY0.4),故X與不立設(shè)X和Y是個(gè)彼此獨(dú)立的隨機(jī)變量在0，1上服從均勻散布，的率密度為f（y）=

/2

y0,其他（1求X和的聯(lián)合概率密度；（2設(shè)含有a的次程為2Xa=0，求a有實(shí)根的概率.【）因

xf(x)X0,其他

eyf(y)0,他.

xdyxdy故

f(x,)X,Y獨(dú)立()f()XY

0,

/2

y0,其方

a2Xa

題14圖有實(shí)根的條件是(2)

2

Y故從而方程有實(shí)根的概率為：

X≥Y，P{X

}

f(xy)dxdyx

12

/2dy20.1445.

[(1)設(shè)和別表示兩個(gè)不同電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)設(shè)和彼獨(dú)立，且服從同一散布，其概率密度為f（x）=

1000,xx0,其他.求=/的率密度.【解】圖Z的布函數(shù)

F(){}{Z

}(z)當(dāng)z時(shí)Z（2當(dāng)<1時(shí)時(shí),y

1000z

）(如圖a)F(z)

10x2

dxdy

yz

10x22

d

103

310dyyzy3

dyii1dyii1題15圖當(dāng)z時(shí)時(shí)當(dāng)y3

時(shí)，x=10

z圖bF(z)

10x2

dxdy

zy10102y

d

103y

10zy

63

d

12z即

1,f(z),其他故

f

(z

1z2,設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽時(shí)計(jì)地服從160.隨地選取求其中沒有一只壽命小于180h概率

只，【解】這四只壽命為X(i=1,2,3,4)則X~N（160從而

P{min(,X,,X)立P{XP{X180}1234i12{P{X34{X180}][1{180}]{X{X12{X4

160

44

4

0.00063.設(shè)X，是此獨(dú)立的隨機(jī)變量，其散布律別離為P{=k}=（k=01，，，

iiiikikiiiiikikiikik1212n121n1nP{r}=qr，，2，證明隨機(jī)變量X的散布律為P{Z=i}=

p()(i)

，i=0，，k【明因和所可能值都是非負(fù)整數(shù)，所以{}}{XY}{XY于是

{X,0}P{}{,}Y相互獨(dú)立

P{}{}((i)

設(shè)是此獨(dú)立的隨機(jī)變量它們都從參數(shù)為np的項(xiàng)散證明ZX+服從參數(shù)為，的二項(xiàng)散布.【明方式一可取值為，1，，2P{}{XY}i({}ikiqn

pkq

k

pq

pkq

方式二：設(shè)μ,,…,;μμ′,，均從點(diǎn)散布（參數(shù)為pXμ+…+，=μ′+μ′,X+=μμ+…++μ′+μ′,所以，X服參數(shù)為2,p)的二項(xiàng)散布.設(shè)隨機(jī)變量（X，）散布律為

X

123

iiii求{｜Y，{｜；（2求=max（X）散布律（3求=min（，Y）散布律；（4求X+的布律【解）

P{Y2}

P{2}P{Y2}

P{2}5P{Y2}

,2P{Y0}

iP{Y3,0}P{P{XY1;30.03P{XYj}j（2

P{}{max()}{}{X,}{}{X,},所以的散布律為

iVX)0

24P

PU}{min(,Y}{X}{Y}{X,}

P{XY}

i0,1,2,3,于是U=min(,)P

23(4)類似上述進(jìn)程，有=X

23456P0雷達(dá)的圓形屏幕半徑為R，設(shè)目標(biāo)出現(xiàn)點(diǎn)（X）屏幕上服從勻散.（1求{｜＞X}；（2設(shè)M，}求{M0}.

RπRπRπRπ題20圖【】（，）聯(lián)合概率密度為f)

1πR

x

,（1

P{Y}

0,P{YY}PYX}

f(,f(,

dπ/4π/4

ππ

rrrr

3;1/2P{0}Y){max(Y)0}{Y0}

xy

f(y

.21.設(shè)平面區(qū)域D由曲線y=1/及線y，x2所成，二維隨機(jī)變量（X）在區(qū)域D服從均勻散布，求X，）于的邊緣概率密度在x=2處的值為多少？題21圖【】域D的面積為

S0

1

1x

dln

1

2.

（,）聯(lián)合密度函數(shù)為

123i12j111,3222j3123i12j111,3222j3f,y

11x2,0y,2x0,其他（，）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為f()X

x0,

1yx,2x他所以

f(2)X

14

.設(shè)隨機(jī)變量和Y彼獨(dú)，下表列出了二維隨機(jī)變量，）合散布律及關(guān)于和的邊緣散布律中的部份數(shù)試將其余數(shù)值填入表中的空白X

y

y

y

P{=}=p

ix

1/8x

1/8P{y}=p1/6jP{y}P【解】因jj

2

P{x,Y}ij

故

iP{Yy}{x,Y}{XY},11從而

P{Yy}11

1.6824而與Y獨(dú)，

P{x}{y}P{X,}ijii

從而即：

P{}1P{}1

11P{Xxy}.6241/2464又即

P{}P{xy}{X,y}{Xx,Y},121{xy},4248從而

P{,Yy}13

112

.同理

13P{Y},P{Xxy}2又

3j

11P{Yy},{}623

同理

P{x}2

34

.

2331323313從而1P{,Yy}P{y}{Xx,Y}3124故

y1

y

2

y3

P{x}Pii

18

x

2

18

38

P{y}pj

j

16

13

設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服參數(shù)為(的松散布，每位乘客在半途下車的概率為（0<p<1半途下車與否彼此獨(dú)立，Y表在半途下車的人數(shù)，求在車時(shí)有個(gè)客的條件下，半途有m下車的概率）維隨機(jī)變量X，）概率散布【】

P{Y}m(1n,P{Y}P{}{m}

mn

m(1pn

en!

nm

設(shè)隨機(jī)變量和Y獨(dú)，中X的率散布為

20.3

，而的率密度為fy)，求隨機(jī)變量U=概率密度g(u).【】（y）是的布函數(shù)，則由全概率公式，知U=+的布函數(shù)為G({X}0.3P{X{X|2}P{0.7{|2}由于和Y獨(dú)，可見G(u)0.3P{Y0.7{YF(u0.7F(u由此，得U的概率密為g()0.30.7

0.3f(fu25.設(shè)機(jī)量X與Y彼此獨(dú)立，且均服從區(qū)間[上的均勻散布，求P}1}.解因?yàn)殡S即變量服[0，3]的均勻散布，于是有fx)

10x3f()

13

y3,

0,x0,x3;

0,yy因?yàn)閄彼獨(dú)立，所以f(,)

19

0xy3,

0,x0,y0,3,y3.推得

PX}

19

26.設(shè)維機(jī)變量）概率散布為

X

0

0c其中a,c常數(shù)，且X的學(xué)期望({≤0}=，記ZX.：（1,,c的；（2Z的率散布；（3P{Z}.解(1)由概率散布的性質(zhì)知，a+b+c+=1即a+b+c=(X)由再由

，可得P{Y0}

P{XYa0.5P{Xa

得

解以上關(guān)于a，的個(gè)方程得0.2,0.1,

Z的能取值為，，，P{Z{X

，P{Z{0}{Y

，

XYZ12XYZ12P{ZP{{XY0}{Y0.3

，P{Z{XY0}{Y0.3

，P{ZP{

，即Z概率散布為ZP

1

P{Z}{Y0}0.10.20.10.10.2

27.設(shè)機(jī)量X,Y獨(dú)立同散布且X的布數(shù)為F(x),求Z=max{X,Y}的布函數(shù).解：因?yàn)閄,Y獨(dú)同散布，所以（）(z),（z）≤z}=P{X≤z，≤≤z}≤［（z

設(shè)隨機(jī)變量與Y彼獨(dú)的率散布為1P{},3

i的概率密度為

f()

0y他

記Z=（1求

P{Z

12

X（2求的概率密度

f(z)Z分析題（1）可用條件概率的公式求題（2）可先求Z的布函數(shù)，再求導(dǎo)得密度函解1)

1{Z}{|X2P{0}

{Y}{0}（2

{})P{}{}Z{X{,X{XP{Y{YX0}{X

XYXX