2019年高考數學試卷（文科）（新課標2）答案解析

絕密★啟用前

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數學

本試卷共5頁。考滕束后，將本試卷和答題片-并交回

:我苑

1.答題前，考生先將自己的姓名、推考證號碼填號將條形碼相解覘在考生信息條形

砌胡占區(qū)。

2.選擇》鄉(xiāng)頁使用2B鉛筆填涂；非選擇S修頁使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體

工整、筆逾畿。

3.7按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草

榔氏、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面潘吉，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小萌出的四個選項巾，只有一

項是符合題目要求的.

1已知集合［={x|x>—l),5=(x|x<2),則下ns=

A(1,+°°)B(-8,2)

C.(-l,2)D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

本題借助于數軸，根據交集的定義可得.

【詳解】由題知，川5=(-1,2),故選C.

【點、睛】本題主要考查交集運算，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.易錯點是理解集合的

概念及交集概念有誤，不能借助數軸解題.

2.設K2+i),則亍=

A.l+2iB.-l+2i

C.l-2iD.-l-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

本題根據復數的乘法運算法則先求得z,然后根據共褪復數的概念，寫出

【詳解】z=i(2+i)=2i+i2=-l+2i,

所以亍=一1一方，選D.

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

【點睛】本題主要考查復數的運算及共筑復數，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.理解概

念，準確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.

3.已知向量a=(2,3)2=(3,2),則

A.y/2B.2

C.572D.50

【答案】A

【解析】

【分析】

本題先計算1,再根據模的概念求出|a-b\.

【詳解】由已知，＞%=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|：/|=’(-1尸+12=收,

故選A

【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.由于對平

面向量的坐標運算存在理解錯誤，從而導致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯.

4.生物實險室有5只兔子，其中只有3只測蚩過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只

測量過該指標的概率為

【答案】B

【解析】

【分析】

本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數，應用古典概率的計算公式求解.

【詳解】設其中做過測試的3只兔子為a,b,c,剩余的2只為/田，則從這5只中任取3只的所有取法有

{a,b,c),{a,b,A},{a,b,B),{a,c,A},{a,c,B),{a,A,B),9，c，m，9，c,B),{b,4B},{c,A0共10種.

其中恰有2只做過測試的取法有{久瓦，),{4,瓦S，c,j},{瓦c,B}共6種,

所以恰有2只做過測試的概率為主=,，選B.

【點睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.應用列舉法

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

2

寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復，將兔子標注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出

錯.

5在“一帶一路”知識測瞼后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次序為

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

【答案】A

【解析】

【分析】

利用逐一險證的方法進行求解.

【詳解】若甲馥測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次

為甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙

的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙馥測正確，不符合題意，故選A.

【點睛】本題將數學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯

推理能力的考查.

6.設公)為奇函數，且當此。時，公尸e*-l,則當工<0時，依尸

A.e"*-lB.e-"+l

C.D.-e-*+l

【答案】D

【解析】

【分析】

先把x<0,轉化為房>0,代入可得/Lx),結合奇偶性可得KQ.

【詳解】Q/(x)是奇函數，x“時，”工)=j-1.

當x<0時，一x>0,得/(x)=-e-*+l.故選D.

【點睛】本題考查分段函數的奇偶性和解析式，滲透了數學抽象和數學運算素養(yǎng).采取代換法，利用轉化

與化歸的思想解題.

7.設a,夕為兩個平面，則a//p的充要條件是

A.a內有無數條直線與6平行

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

3

B.a內有兩條相交直線與。平行

C.a,P平行于同一條直線

D.a,夕垂直于同一平面

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定

定理與性質定理即可作出判斷.

【詳解】由面面平行的判定定理知：底內兩條相交直線都與月平行是上"尸的充分條件，由面面平行性質

定理知，若感"尸，則底內任意一條直線都與月平行，所以）內兩條相交直線都與月平行是底〃產的必要

條件，故選B.

【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如:

“若aca,bc/3,allb,則（x///3”此類的錯誤.

兀3兀

8若刈=彳是函數J（x）=sin⑦x（3>0）兩個相鄰的極值點，則。=

3

A.2B.-

2

C.1D.—

2

【答案】A

【解析】

【分析】

從極值點可得函數的周期，結合周期公式可得。

2JTTT

【詳解】由題意知，1/0）=sin3x的周期T=—=2（7一7）=兀，得。=2.故選A.

a44

【點睛】本題考查三角函數的極值、最值和周期，滲透了直現(xiàn)想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).采取公式

法，利用方程思想解題.

9若拋物線爐=2?。≒>0）的焦點是橢圓工+乙=1的一個焦點，則戶=

3PP

A.2B.3

C.4D.8

【答案】D

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

4

【解析】

【分析】

利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于2的方程，即可解出P,或者利用檢險排除的方法，如夕=2

時，拋物線焦點為（1,0），橢圓焦點為（士2,0），排除A,同樣可排除B,C,故選D.

【詳解】因為拋物線/=2/（p>0）的焦點仔,0）是橢圓江+己=1的一個焦點，所以3p—p=（勺，

2Zpp2

解得P=8,故選D.

【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng).

10曲線尸2sint+cosv在點（n,1處的切線方程為

A.x-y-n-\=0B.2x-y-27t-1=0

C2x+y-2K+1=0D.x+y-兀+1=0

【答案】C

【解析】

【分析】

先判定點（兀-1）是否為切點，再利用導數的幾何意義求解

【詳解】當x=*時，y=2sin7l+cos7l=-l,即點（兀-1）在曲線V=2sinx+cosx上.

Q/=2cosx-sinx,：.=2cos4-sin4=-24ijy=2sinx+cosx在點（兀-1）處的切線方程為

=,即2x+y—2兀+1=0.故選C.

【點睛】本題考查利用導數工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).采取

導數法，利用函數與方程思想解題.學生易在非切點處直接求導數而出錯，首先證明已知點是否為切點，

若是切點，可以直接利用導數求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程.

冗

11已知aG（0,—））2siii2of=cos2oti-l,則sino=

175

AA-5BR-T

C6D2后

35

【答案】B

【解析】

【分析】

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

5

利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案.

【詳解】Q2sin2ci=cos2ct+l,14sincosa=2cos?a.Qae0,—J,:.cosa>0.

sina>0,2sina=cosa,；^,sin2cr+cos2cv=l,：.5sin2ct=Lsin，a=又sin〃>0,

siner=史^，故選B.

5

【點睛】本題為三角函數中二倍角公式、同角三角函數基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，

運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數問題，研究角的范圍后得出三角函數值的正負，很

關鍵，切記不能憑感覺.

12.設歹為雙曲線c：4-4=1（。>°，方>°）的右焦點，。為坐標原點，以。口為直徑的圓與圓爐+產力

ab

交于P、。兩點.若「。|=|。冏，則。的離心率為

A.應B.73

C.2D.75

【答案】A

【解析】

【分析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】設尸。與x軸交于點上,由對稱性可知尸。，X軸，

又QpQ|=|OF|=c,取|=1，：以為以西為直徑的圓的半徑，

月為圓心|OA|=].

“但目，又P點在圓，+/=/上，

122.）

—+—=a2,g[l—=a2,/=「=2.

442a

：,8=42,故選A.

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

6

【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，畝題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避

免代數法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練

習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2x+3y-6>0,

13.若變量r,y滿足約束條件<x+y-3工0,貝U二=3%寸的最大值是___________

尸240,

【答案】9.

【解析】

【分析】

作出可行域，平移3x-『=0找到目標函數取到最大值的點，求出點的坐標，代入目標函數可得.

【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖所示，

陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域，根據直線分-^-2=0中的z表示縱截距的相反數，當直線z=3x-y

過點虱3,0）時，z取最大值為9.

【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最大值問題，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng).采取圖解法，利

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

7

用數形結合思想解題.搞不清楚線性目標函數的幾何意義致誤，從線性目標函數對應直線的截距觀察可行

域，平移直線進行判斷取最大值還是最小值.

14.我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有1。個車次的正點率為。切，有

20個車次的正點率為0.98,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估

計值為.

【答案】0.98.

【解析】

【分析】

本題考查通過統(tǒng)計數據進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題.

【詳解】由題意得，經停該高鐵站的列車正點數約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高鐵個

數為10+20+10=40,所以該站所有高鐵平均正點率約3為9噤2=0.98.

【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數據處理和數學運算素養(yǎng).側重統(tǒng)計數據的概率估算，難度不大.

易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據分類抽樣的統(tǒng)計數據，估算出正點列車數量與列車總數的比

值.

15.的內角力，B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsuM+aco/=0,則8=.

—.3兀

【答案】—.

4

【解析】

【分析】

先根據正弦定理把邊化為角，結合角的范圍可得.

【詳解】由正弦定理,得sinBsinj+sinJ4cos3=0.Q工e（0,冗）,3e（0,冗）,

3兀

sin5+cos5=0,tan5=-1,B=—.故選D.

4

【點睛】本題考查利用正弦定理轉化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數學運算素養(yǎng).采取定理法，利用轉

化與化歸思想解題.忽視三角形內角的范圍致誤，三角形內角均在（0,k）范圍內，化邊為角，結合三角函數

的恒等變化求角.

16.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南

北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體”（圖1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成

的多面體半正多面體體現(xiàn)了數學的對稱美.圖:!是一個棱數為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個

正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有_______個面，其棱長為.

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

8

圖1圖2

【答案】⑴共26個面(2),棱長為72-1

【解析】

【分析】

第一問可按題目數出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解決.

【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有

18+8=26個面.

如圖，設該半正多面體的棱長為x,則超=BE=x,延長與履交于點G,延長8c交正方體棱于H

,由半正多面體對稱性可知，為等腰直角三角形，

L

BG=GE=CH=—x,GH=2x-^―x+x=（返+l）x=1>

2

[

x=應-1,即該半正多面體棱長為72-1.

4-1

【點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單,

穩(wěn)中求勝是關鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分。

17.如圖，長方體HBCDTi81GB的底面四CD是正方形，點E在棱441上，BE±ECV

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

9

(1)證明：BE一平面旗Ci：

(2)若AE=AXE,AB=3,求四棱錐E-BBgC的體積.

【答案】(1)見詳解；(2)18

【解析】

【分析】

(1)先由長方體得，4G，平面，得到4G_L,再由BE_LEC.，根據線面垂直的判定定理

,即可證明結論成立；

(2)先設長方體側棱長為2a,根據題中條件求出a=3；再取用51中點F,連結跖，證明防_L平面

BBGC,根據四棱錐的體積公式，即可求出結果.

【詳解】(1)因為在長方體抽co-44GA中，4cli平面也出避；

BEc平面AA.B.B,所以與G_LBE,

又BELEC,,用gcWg=G，旦￡G<=平面EBG，4Gc平面后45，

所以BE_L平面EBiG；

(2)設長方體側棱長為2a,則=AXE=a,

由(D可得EBi±BE；所以EB：+BE2=網,即23￥=BB：,

又桃=3,所以2/爐+2/RJB3：,即2a?+18=4,，解得a=3；

取8片中點F,連結防，因為幺后=4總，則EFilAB:

所以即_L平面381clC,

所以四棱錐下一的體積為—的=形3qc5F=1.BC.^,^=1x3x6x3=18.

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

10

【點睛】本題主要考查線面垂直的判定，依據四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四棱錐的體

積公式即可，屬于基礎題型.

18.已知｛%｝是各項均為正數的等比數列，%=2,a=2町+16.

（1）求｛%）的通項公式；

（2）設B=1符2/，求數列｛2｝的前”項和

【答案】⑴,=2叼（2）必=/.

【解析】

【分析】

（1體題首先可以根據數列｛%｝是等比數列將。3轉化為。2轉化為，再然后將其帶入。3=2%+16

中，并根據數列｛%｝是各項均為正數以及為=2即可通過運算得出結果；

（2瘁題可以通過數列｛%｝的通項公式以及對數的相關性質計算出數列｛九｝的通項公式，再通過數列｛4｝的

通項公式得知數列是等差數列，最后通過等差數列求和公式即可得出結果.

【詳解】（1）因為數列｛%｝是各項均為正數的等比數列，?3=2?2+16,，=2,

所以令數列｛%｝的公比為。，%=，a2=4q=2q,

所以2/=4g+16,解得鄉(xiāng)=一2（舍去）或4,

所以數列｛%｝是首項為2、公比為4的等比數列，氏=2X4-=22”T.

（2）因為4=1oga%,所以4=2*T,4H=2忽+1,%一4=2,

所以數列?］是首項為1、公差為2的等差數列，2=臂ix?=?2.

【點睛】本題考查數列的相關性質，主要考查等差數列以及等比數列的通項公式的求法，考查等差數列求

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

11

和公式的使用，考查化歸與轉化思想，考查計算能力，是簡單題.

19.某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產情況，隨機調查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相

對于前一年第一季度產值熠長率r的頻數分布表._________________________________________________

了的分組[-0,20,0)[0,0.20)[0,20,0.40)[0,40,0.60)[0,60,0.80)

企業(yè)數2453147

(1)分別估計這類企業(yè)中產值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產值負熠長的企業(yè)比例；

(2)求這類企業(yè)產值增長率的平均數與標準差的估計值(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表

).(精確到0.01)

附：V74?8.602.

【答案】⑴增長率超過40%的企業(yè)比例為備,產值負增長的企業(yè)比例為備=擊；(2)平均數0.3；標

準差0.17.

【解析】

【分析】

(1體題首先可以通過題意確定100個企業(yè)中增長率超過40%的企業(yè)以及產值負增長的企業(yè)的個數，然后

通過增長率超過40%的企業(yè)以及產值負增長的企業(yè)的個數除隨機調查的企業(yè)總數即可得出結果；

(2)可通過平均值以及標準差的計算公式得出結果.

【詳解】(1)由題意可知，隨機調查的100個企業(yè)中增長率超過40%的企業(yè)有14+7=21個，

產值負增長的企業(yè)有2個，

所以增長率超過40%的企業(yè)比例為備，產值負增長的企業(yè)比例為備=春.

(2)由題意可知，平均值工=型1竺處需也絲％=。3,

標準差的平方：

s?=克2X[-0.1-0,3)2+24X(0.1-0,3)2+53X(0.3-0,3)2+14X(0.5-0,3)2+7X(0.7-0.3)2

=^[0,32+0.96+0.56+1,12]=0.0296,

所以標準差s=10.0296=J0.0004X740.02x8,602^0.17?

【點睛】本題考查平均值以及標準差的計算，主要考查平均值以及標準差的計算公式，考查學生從信息題

中獲取所需信息的能力，考查學生的計算能力，是簡單題.

20已知名，瑪是橢圓C:￡■+[=1(。>8>0)的兩個焦點、，P為。上一點，。為坐標原點.

ab

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

12

（1）若VPO用為等邊三角形，求C的離心率;

（2）如果存在點P,使得咫_LF用，且ZiF】質的面積等于16,求。的值和a的取值范圍

【答案】（1）e=0-1;（2）B=4,a的取值范圍為［4總位）.

【解析】

1分析】

（1）先連結咫，由V尸陽為等邊三角形，得到/月產名=90°,|魏卜c,|產聞=任：再由橢圓定

義，即可求出結果；

（2）先由題意得到，滿足條件的點尸（xj）存在，當且僅當:卜|2c=16,上上=-1,4+4=1

2x+cx-cab

，根據三個式子聯(lián)立，結合題中條件，即可求出結果

【詳解】3）連結尸或，由VF因為等邊三角形可知：在△?￡瑪中，NFF鳥=90°，歸居|=c,

阿卜瘧，

于是2a=|尸&|+|尸周=c+J2,

故橢圓C的離心率為e=?

品3

⑵由題意可知，滿足條件的點R”）存在，當且僅當務|2=6￡士7'介。】

即c,|=16①

/+/=/②

F+%=I③

a

由②?以及，=/+/得/=*又由破叮2=耳，故5=4；

CC

由②（切導/=1（1一/）,所以1之凡從而/=/+12?=32,故心4A旗

C

當占=4,°之40■時，存在滿足條件的點P.

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

13

故8=4,。的取值范圍為［4立xo）.

【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點、滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質

即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題.

21已知函數/。）=3-1）1"-尤-1證明：

（1）存在唯一的極值點；

（2）/（行=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【解析】

【分析】

（1）先對函數F（x）求導，根據導函數的單調性,得到存在唯一rD,使得/（%）=0,進而可得判斷函數/（x）

的單調性，即可確定其極值點個數，證明出結論成立；

（2）先由（D的結果，得到/，）=/一3>0,得到"x）=0在（&,例）內存

在唯一實根，記作x=感，再求出/（1）=0,即可結合題意，說明結論成立.

（X

【詳解】3）由題意可得，力>）的定義域為（。,蟲），

V—11

得f\x）=lnx+----l=lnX--,

xx

顯然/'（x）=lnx—1單調遞增；

X

114-1

又八1）=一1<0,r（2）=ln2--=n-^>0,

故存在唯一%,使得八%）=0；

又當X>x0時,/Vo）>0,函數/⑴單調遞增；當0<x<x0時，/5）<0,函數/（X）單調遞減；

因此，/C）存在唯一的極值點；

（2）由⑴知，/（x0）</（1）=-2,又/，）=/一3>0,

所以/（X）=0在,48）內存在唯一實根，記作x=）.

由1<感得工<1<4，

（X

又/（1）=（1-1）山工一工一1=0,

aaaa（X

愿你以渺小啟程，以偉大結束。

14

故-是方程」(x)=0在(0,X。)內的唯一實根；

a

綜上，/(力=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數

【點睛】本題主要考查導數的應用，通常需要對函數求導，用導數的方法研究函數的單調性、極值、以及

函數零點的問題，屬于常考題型.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選-詞作答。如果多做，則按所做的第

厚i份.

22.在極坐標系中，。為極點，點舷(2,備)(忌＞0)在曲線C：Q=4sin3上，直線，過點上(4,0)且

與。M垂直，垂足為P

71

(1)當4=1時，求功及7的極坐標方程；

(2)當“在。上運動且P在線段OA/上時，求P點軌跡的極坐標方程.

【答案】⑴區(qū)=2招，7的極坐標方程為Qsin(6+￡)=2；(2)p=4cos

642

【解析】

【分析】

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(1)先由題意，將用=]代入"=4處2夕即可求出的；根據題意求出直線？的直角坐標方程，再化為極坐

標方程即可；

(2)先由題意得到P點軌跡的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可，要注意變量的取值范圍

【詳解】⑴因為點在曲線C：Q=4sind上,

所以忌=4sin耳=4sin仔=2"；

即〃(2/,可)，所以上網/=tan]=的，

因為直