2022-2023年藝術(shù)生新高考數(shù)學(xué)講義 第19講 復(fù)數(shù)

第19講復(fù)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一．基本概念

(l)i叫虛數(shù)單位，滿足i2=－－1，當(dāng)kEZ時(shí)，產(chǎn)＝I,i4k+I=i,i4k+2=-l,i4k+J=-i

(2)形如a+bi(a,bER)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作a+biEC.

?復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)，a叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；b=0<=>zER,

Z點(diǎn)組成實(shí)軸；b*O,z叫虛數(shù)；b＃0且a=O,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)

實(shí)部柜等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共枙復(fù)數(shù)

a=c

＠兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,dER)相等<::>{（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）

b=d

＠復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)的模，也就是向量沉汀勺模，即有向線段d藝的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為

Izl=Ia+bi|＝嘉亡了，顯然，I句＝la—bil＝五言了，z-;=a2+b2

二基本性質(zhì)

1復(fù)數(shù)運(yùn)算

(l)(a+bi)士(c+di)=(a士c)+(b士d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

{`)2::2b)i)=z;=a2+b2=|z|2

z+z=2a

其中巨1=[了勹了，叫z的模；；＝a－切是z=a＋切的共輒復(fù)數(shù)(a,bER).

a+bi(a+bi)·(c-di)(ac+bd)+(bc-ad)i勹

(3)(c2+d2=t:.0).

c+di(c+di)·(c-di)c2+d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．

2復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b);

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)對(duì)應(yīng)平面向量冗？；

(3)復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)的模I習(xí)表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)到原點(diǎn)的距離．

【典型例題】

例l.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z＝上＿（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位千（)

2+i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例2.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足(i-2)z=4+3i,則月＝()

A.$B..J3c.五D.2五

z(l-2i)=10

（多選題）例3.(2022全國(guó)商三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則()

A.回＝2石B.z-2是純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在角(l.的終邊上'則

石

sina=—

(1+3i)(l-i)

例4.(2022上海高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=

(1-2i)，則1~1=

例5.(2022江蘇高三專題練習(xí)）已知衛(wèi)~=I—m其中,n,n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則n=

I+i

2

例6.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為

l+i·2021'

例7.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=(m+i)(2-i)+3+2i(mER)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位千第一象

限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

l.(2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,tER,復(fù)數(shù)氣氣勹的實(shí)部為a,虛部為b,則（)

A.a+b=2B.(I-1>=2C.a＝幼D.b=2a

2+i

2.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)z=—-，則z的共輒復(fù)數(shù)的虛部為（)

1-i

333

AB.ID,1

.2-.-2C._I.2-

2

3.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）下列命題中：＠兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大?。唬廊魖=a+bi,則當(dāng)且僅當(dāng)

a=O,b,t;O時(shí)，z為純虛數(shù)；@(zl-z2)氣(z2-z3)2=0則z,=z2=z3;@x+yi=l+i<=>X=y=l;＠若實(shí)數(shù)a

與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)

A.0B.IC.2D.3

4.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若節(jié)產(chǎn)＝x+)~(a,x,yeR)，且xy>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.(2?2，牧）B.(-ao,-2?2四(2?2,+ao)

c.（－25,2)u(25王o)D.（女，－2)U(2，七o)

5.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為；，若zi=2;+iCi為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)

z的虛部為（)

1l212

AI.B.1D

3-3C.3-3-

6.(2022浙江高三專題練習(xí)）設(shè)Z,z1,z2為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（)

A.如果Z1一今＞0，那么Z1>Z2

B．如果lzJ=2，那么z=±2

C.如果lz+ll=lz+3I，那么z=-2

D．如果Z1>Q,Z2>Q,那么z1+z2>Q,且Z1·Z2>Q

7.(2022浙江高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)Z1=2—i'若復(fù)數(shù)Z1Z2=—5,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)

數(shù)Z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（)

A.關(guān)千實(shí)軸對(duì)稱B.關(guān)千虛軸對(duì)稱

C.關(guān)千原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)千點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

8.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，A,8,C對(duì)應(yīng)的復(fù)

數(shù)分別為－1+2i,3-i,1+2山為虛數(shù)單位），則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（)

A.-3+5iB.1-iC.1+3iD.-3+i

9.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z(l-2i)=3+4i釭為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)；所對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)為（)

A.(—l,2)B.［甘，2)C.(—2,—1)D.(—l,—2)

4-7i

10.(2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=．(i是虛數(shù)單位），則z的共枙復(fù)數(shù)歹在復(fù)平

2+3i

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位千

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn)．第四象限

11.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i-z=().

A.1+2iB.-2+ic.)-2iD.-2-i

12.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足lz-il=Lz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則

A.(x+l)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+l)2=1

13.)

(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=－—2-i3(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

14.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）歐拉公式ei/）＝cos0+isin0(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，I是虛數(shù)單位）是由瑞

士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的．它將三角團(tuán)數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在

復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，當(dāng)0＝冗時(shí)，就有e”+1=0，根據(jù)上述背呆知識(shí)，試判斷e_，蘭監(jiān)表示的

復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位千（)

A.第一象限B.第二象限

c.第三象限D(zhuǎn).第四象限

15.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）歐拉公式e''"=COSX+isinx(j是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)

的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，

被卷為“數(shù)學(xué)中的天橋”根據(jù)歐拉公式可知，ef表示的復(fù)數(shù)位千復(fù)平面中的（)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

l+ai

16.(2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z=（aER)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y=O上，則a=()

l-2i

A.-2B.2C.-3D.3

J7.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z=l－五i(i是虛數(shù)單位），則卜＋寸的值為（)

A.3五B.25C.ID.2

2-i

18.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)z＝亡可，則卜＝()

334

Ac

5-B.-55-D.I

19.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)2滿足(z-i)(2+i)=6-2i,則回＝()

A.$B.2c.$D.孔

20.(2022浙江高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=a-bi(b<O)，滿足lzl=I,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為－－，則復(fù)數(shù)五z

2

的虛部是（)

I-l

五c

A.JB..2D.2-

22

21.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足Iz-2il=l,則I糾的最大值為（)

A.1B.f3C.2D.3

22.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（文））若復(fù)數(shù)z=l-i,則Iz2—2zI=C)

A.0B.2C.4D.6

23.(2021全國(guó)高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)i-2是關(guān)千X的方程x1+px+q=O(p,qER)的一個(gè)根，則

lpi+ql=<)

A.25B.5C.而D.41

ll

24.(2021全國(guó)高三階段練習(xí)（理））復(fù)數(shù)z=—二的共輒復(fù)數(shù)為（)

2-i

l3l313.l3

A.--+-iC.--+-lD.---i

55B.--5--5i2255

二、多選題

25.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x,y滿足(x+i)(3+yi)=2+4i,則（)

A.1+yi的共枙復(fù)數(shù)為1-iB.xy=l

C.ly＋訂的值可能為?iOD.y-3x=-2

26.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=2-i,z2=2i,則（)

A.Z2是純虛數(shù)B.Z1-Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位千第二象限

C.lz,+Zil=5D.歸|＝2石

2

27.(2022江蘇高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=—-，其中1為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是

1+i

A.z的虛部為－lB.Iz|＝五

c.z2為純虛數(shù)D.z的共輒復(fù)數(shù)為－l一l

28.(2021江蘇海安高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)Z1,Z2是復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（)

A.z,-Z2=z,-Z2B.121221＝囚回

C.若Z1Z2ER,則Z1=ZzD若片－z2I=o，則；＝三

29.(2021福建泉州鯉城北大培文學(xué)校高三期中）設(shè)；是z的共枙復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（)

A.lz·;l=lzl2c.z五是實(shí)數(shù)D.z三是純虛數(shù)

B卜z＝l

30.(2021全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)ZpZ2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（)

A.若h－引＝0，則；＝二

B.若Z1=z2，則；＝馬

C.若億1=|習(xí)，則z1五＝Z2·~

D.若I；|=|習(xí)，則z~=z;

31.(2021重慶模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)Z1=-2+i釭為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A,復(fù)數(shù)Z2滿

足呂－l+il=2,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B為(x,y)，則下列結(jié)論正確的有()

A.復(fù)數(shù)z1的虛部為］

B.(x-1)2+(y+J)2=4

c.lz,－習(xí)的最大值?i3＋2

D.lz1＋習(xí)的最小值為?13—2

32.(2021全國(guó)高三專題練習(xí)（理））設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.Iz12=zz

B.Iz12=z2

C.若IzI=I，則Iz+iI的最大值為2

D.若I乙－ll=l,則0司zl竺

33.(2021湖南高三階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)Z1=2-2i勺為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為R，復(fù)數(shù)Z2

滿足1氣－il=l,則下列結(jié)論正確的是（)

A.Pi點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2)B.z.=2+2i(Z1為Z1的共輒復(fù)數(shù)）

C.憶－Z11的最大值為j了＋I(xiàn)D.憶－習(xí)的最小值為2J5

三、填空題

34.(2022浙江高三專題練習(xí)）已知，是虛數(shù)單位，x,yeR,且x+y+(x-y)i=3x+(x-2)i,則x+y=

35.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（文））1為虛數(shù)單位，若關(guān)千X的方程x2+(2-i)x+2m-i=0有實(shí)根，則

實(shí)數(shù)m=

36.(2022上海高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足3z＋乞＝l+i,其中1為虛數(shù)單位，則z=_.

37.(2022·全國(guó)高三專題練習(xí)）i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=(1+2i)(m—3i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為

38.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理））復(fù)數(shù)z=a+2i,aER,若~+l-2i為實(shí)數(shù)，則a=_.

39.(2022上海高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z1=l+?3i,巳|＝l,Z1Z2是正實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)Zz=_.

a-l

40.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知aER,i為虛數(shù)單位，若——為實(shí)數(shù)，則G的值為.

2+i

41.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知mER,復(fù)數(shù)z=(2+i)m2-m(1-i)-(1+2i)（其中I為虛數(shù)

單位），若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位千第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是＿＿＿

42.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER,i為虛數(shù)單位）滿足Iz-2汁＝lz|，寫出一

個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)z=_.

43.(2021上海市建平中學(xué)高三階段練習(xí)）若l＋丘i是關(guān)千X的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，

則C=

44.(2021重慶梁平高三階段練習(xí)）i是虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)z=i+2產(chǎn)＋3產(chǎn)＋礦，則1葉＝.

5l+i

45.(2021全國(guó)高三專題練習(xí)）i是虛數(shù)單位，（一一）2020+（一－）2020=_.

l-il-l.

第19講復(fù)數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

一．基本概念

(l)i叫虛數(shù)單位，滿足f=-I，當(dāng)kEZ時(shí)，i4k=l,i4k+I=i,i4k+2=-l,i4k+3=-i

(2)形如a+bi(a,bER)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作a+biEC.

?復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)，a叫z的實(shí)部，b叫z的虛部；b=0<=>zER,

Z點(diǎn)組成實(shí)軸；b*O,z叫虛數(shù)；b*O且a=O,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸（不包括原點(diǎn)）。兩個(gè)

實(shí)部柜等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共枙復(fù)數(shù)

a=c

＠兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi,c＋山（a,b,c,dER)相等<::>{（兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn)）

b=d

＠復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)的模，也就是向量沉汀勺模，即有向線段厲汀勺長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為

Izl=Ia+bi|＝嘉亡了，顯然，I句＝la—bil＝五言了，z-;=a2+b2

二基本性質(zhì)

1復(fù)數(shù)運(yùn)算

(l)(a+bi)士(c+di)=(a士c)+(b士d)i

(2)(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

勹三了）l)=zi=a2+b2=1zl2

其中巨1=[了勹了，叫z的模；；＝a－切是z=a＋切的共扼復(fù)數(shù)(a,bER)

a+bi(a+bi)·(c-di)(ac+bd)+(bc-ad)i

(3)(c2+d2-:t=0).

c+di(c+di)·(c-di)c2+d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則）都適用于復(fù)數(shù)．

2復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b):

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)對(duì)應(yīng)平面向量厲仁

(3)復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù)．

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bER)的模I習(xí)表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)到原點(diǎn)的距離．

【典型例題】

例1.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=上－勺為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位千（)

2+i

A.第一象限B．第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【詳韶】

i2-1-(2-i)2'1

解·：因?yàn)閦=—=—＝勹＝－－+-i,

2+i2+i22寸55

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（－歸55），位千第二象限，

故選：B.

例2.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足(i-2)z=4+3i,則日＝()

A.五B.石C.石D.2五

【答案】C

【詳解】

4+3i..(4+3i)(i+2)

因?yàn)?i-2)z=4+3i,所以z=——~=~=-1-2i,

i-2-5

所以H=奴-l)2+（－2)2`

故選：C

z(l-2i)=10

（多選題）例3.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足，則()

A.lzl=2?5B.z—2是純虛數(shù)

c.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn).若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在角a的終邊上，則

$

sma=

【答案】AB

【詳解】

10l0(1+2i)

由題意z=——==2+4i,lzl=2|［?5，A選項(xiàng)正確；

1-2i(1-2i)(l+2i)I

z-2=4i,B選項(xiàng)正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(2,4)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第一象限，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

42$

sina==—,D選項(xiàng)錯(cuò)誤

嚴(yán)5

故選：AB.

(1+3i)(1-i)r.1,11-::

例4.(2022上海高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=(l-2l)，則卜＝

【答案）2

【詳解】

(1+3i)(1-i)4+2i(4+2i)(1+2i)lOi

解：z====2i,

1-2i1-2i(1-2i)(1+2i)5

則日＝lzl=2.

故答案為：2.

例5.(2022江蘇高三專題練習(xí)）已知衛(wèi)~=1-ni其中m,n是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則n=

l+i

【答案】－l

【詳解】

由6=1-ni,可得m=(l-ni)(l+i)=(l+n)+(l-n)i

m=l+n

則｛，解得1n=2,n=1.

1-n=O

故答案為：-l.

2

例6.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=其們?yōu)樘摂?shù)單位，則z的虛部為

l+i·2021'

【答案】－l

【詳解】

2_2_2(1-i)_,:

z====1-i,所以虛部為－l

1+l?2021l+i2

故答案為：-I.

例7.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z=(m+i)(2-i)+3+2i(mER)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象

限，則實(shí)數(shù)m的取值范匝是

【答案】—2<m<4

【詳解】

厭為z=(m+i)(2-i)+3+2i=(2m+4)+(4-m)i,

所以z在復(fù)平面中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2m.+4,4-m),

令{2m+4>0，解得—2<m<4

4-m>O

故答案為：-2<m<4.

【技能提升訓(xùn)練】

一、單選題

2+ti

1.(2022全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）已知a,b,teR,復(fù)數(shù)的實(shí)部為a,虛部為b,則（)

1-i

A.a+b=2B.,1-b=2C.a=2bD.b=2a

【答案】A

【分析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)后結(jié)合復(fù)數(shù)的定義可得．

【詳解】

2+ti(2＋八）（l+i)2-t+(2+t)i2-t2+t..-.-,.,2-t.2+t

---l-1=(l-i)(l+i)=2＝—2+—21，所以a=-—2,b=——2

所以a+b＝左1+蘭:.!.=2

22

故選：A

2+i

2.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)z=－－，則z的共扼復(fù)數(shù)的虛部為（)

1-i

333-

3B-.-D.1

A.一2C.22f

2

【答案】C

【分析】

2+i

先對(duì)復(fù)數(shù)z=化簡(jiǎn)，從而可求出其共輒復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求出其虛部

l-i

【詳解】

2+i_(2+i)(l+i)_1+3i_I.3:

囡為Z=——==——=-+-1,

l—i(1—i)(l+i)22.2

13.

所以z=---1,

22

3

所以；的虛部為－一，

2

故選：C

3.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）下列命題中：O兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；＠若z=a+bi,則當(dāng)且僅當(dāng)

a=O,b=1-=0時(shí)，z為純虛數(shù)；＠（z1-z2)2+(z2-z3)2=0則zl=馬=Z:J;@x+yi=l+i<=>x=y=l;＠若實(shí)數(shù)0

與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（)

A.0B.lC.2D.3

【答案】A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得到結(jié)果．

【詳解】

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b為實(shí)數(shù)），當(dāng)b=O時(shí)可以比較大小，當(dāng)b":/:-0時(shí)，個(gè)能比較大小，故＠錯(cuò)誤；

復(fù)數(shù)z=a+bi,當(dāng)a=O,b為實(shí)數(shù)且b":/:-0時(shí)，z為純虛數(shù)，故＠錯(cuò)誤；

若Z1=l+i,Z2=i,Z3=0，則（Z1—z2)2+(z2-z3)2=12+i2=0,但z1=z2=z3不成立，故＠錯(cuò)誤，

只有當(dāng)x、yER時(shí)，有x=y=l,故＠錯(cuò)誤；

若a=O,則ai=0,ai不是純虛數(shù)，故＠錯(cuò)誤

綜上可知，有0個(gè)命題正確

故選：A

2+ai

4.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若——=x+yi(a,x,yER)，且xy>1,則實(shí)數(shù)G的取值范圍是（）

l+i

A.(2?2,位）B.(-00,－25沁(25,＋心）

c.（－25,2)u(25，鉤）D.（女，－2）U(2，如）

【答案】B

【分析】

a2-4

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和相等復(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出x,y,再根據(jù)xy>I,得出>I'從而可求出”的取

4

值池偉l.

【詳觥】

解：因?yàn)楣?jié)于＝x+yi(a,x,yeR),所以2+ai=X—y+(x+y)1,

所以{X-y=2，解得x＝紅，y＝三，

x+y=a22

礦－4

因?yàn)閤y>1,所以＞l,解得：a<-2五或a>2-h,

4

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-OO,－2五）v（25，鉤）．

故選：B.

5.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（文））已知復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為；，若zi=2;+i(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)

z的虛部為（)

212-3

B.D

A.上.-31C.3-.

3

【答案】D

【分析】

利用復(fù)數(shù)相等列方程組，韶方程組求得a,b,由此求得z的虛部

【詳解】

設(shè)z=a+bi,a,beR,則；＝a—bi,

....

?·zi=2z+i?

:.(a+bi)i=2(a-bi)+i,-b+ai=2a+(1-2b)i

I

氣勹產(chǎn)2b，解得｛勹

l2

???z=--+-i,

33

2

故復(fù)數(shù)z的虛部為－．

3

故選：D

6.(2022浙江高三專題練習(xí)）設(shè)z,Z1,z2為復(fù)數(shù)，則下列命題中一定成立的是（)

A.如果z1-z2>0,那么Z1>z2

B．如果日＝2，那么z=±2

c.如果lz+II=lz+3I，那么Z=-2

D.如果z1>0,z2>0,那么z1+z2>0，且z1-z2>0

【答案】D

【分析】

舉特例排除選項(xiàng)ABC,利用正實(shí)數(shù)的性廟判斷D正確

【詳解】

對(duì)十A,反例z,=3+i,z2=l+i，滿足，z1-z2>0,但是z,＞z2不正確，所以A不正確；

對(duì)千B,反例z=l+?3i，滿足lzl=2,但是z#±2，所以B不正確；

對(duì)十C,滿足lz+l|＝Jz+3|的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為點(diǎn)(-1,0)與點(diǎn)(-3,0)連線的中垂線，所以C不

1E確；

對(duì)十D'z,'Z2顯然為IF.實(shí)數(shù)，所以z1+z2>0，且z1·z2>0正確．

故選：D

7.(2022浙江高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)z,=2-i,若復(fù)數(shù)z1z2=-5,則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)

數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（)

A.關(guān)千實(shí)軸對(duì)稱B.關(guān)千虛軸對(duì)稱

C.關(guān)千原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)千點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

【答案】B

【分析】

-s

由條件求得Z2＝一，化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)平面內(nèi)坐標(biāo)，判斷兩復(fù)數(shù)對(duì)稱性即可．

Z1

【詳解】

—5-5—5(2+i)

由題知，Zz=-一—=-=-:-=~=-2-=-2-1'由復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)知，其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

Z12-i(2-i)(2+i)

關(guān)千虛軸對(duì)稱

故選：B

8.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理））在復(fù)平面內(nèi)，平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)

數(shù)分別為—1+2i,3-i,1+2i(i為虛數(shù)單位），則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（)

A.-3+5iB.1-iC.1+3iD.-3+i

【答案】A

【分析】

先利用復(fù)數(shù)的幾何意義寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用平行仰邊形構(gòu)造相等向顯列力程組求解

【詳解】

由題知，A(-1,2),B(3,-l),C(l,2)，設(shè)D(x,y)

則AB=(4,-3)，玩＝（1-x,2-y)

因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以五抎權(quán)？

葉1-x=4,，解得{x=－3,＇

2-y=-3.,.,·-[y=5

所以點(diǎn)D(-3,5)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－3+5i.

故選：A.

9.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z滿足z(l-2i)=3+4i勺為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)；所對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)為（)

A.(-l,2)B.（甘，2)C.(-2,—1)D.(-1,-2)

【答案】D

【分析l

利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z'可求得復(fù)數(shù)；，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論

【詳解】

3+4i_(3+4i)(1+2i)..-5+10i

由題總，得z==--=--:--=-=-=-=-I+2i,所以;=－l-2i-

l-2i(1-2i)(1+2i)5

所以在復(fù)平面內(nèi)；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（－l，—2).

故選：D.

4—7i

10.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=．()是虛數(shù)單位），則z的共枙復(fù)數(shù)Z在復(fù)平

2+3i

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位千

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共扼復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z'求出；，再求出石在復(fù)平

面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得結(jié)果．

【詳肵】

4-7i_(4-7i)(2-3i)_-13-26i

·.·z=~=~=---=-=:--:-=-=-=-1-2i,

2+3i(2+3i)(2-3i)13

:.藝＝－1+2i,

貯在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2)，位千第二象限，故選B

【點(diǎn)睛】

復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純

虛數(shù)、共扼復(fù)數(shù)這些覓要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)絊主要考查除法運(yùn)算，通過(guò)分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)篤

時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘兀的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問(wèn)題出錯(cuò)，造成不必要的失分．

I1.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2)，則i-z=().

A.1+2iB.-2+iC.l-2iD.-2-i

【答案】B

【分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得z'再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果．

【詳解】

由題總得z=l+2i,:.iz=i-2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)幾何總義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求斛能力，屈基礎(chǔ)題．

12.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)（理））設(shè)復(fù)數(shù)z滿足lz-il=Lz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y)，則

A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+l)2=1

【答案】C

【分析】

本題考點(diǎn)、為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，為某礎(chǔ)題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點(diǎn)(x,y)和點(diǎn)(0,1)之間

的距離為1,可選正確答案c.

【詳解】

z=x+yi,z-i=x+(y-l)i,lz—/1=Ji+(y-l)2=l，則x2+(y-1)2=1.故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義和模的運(yùn)算，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利兀

方程思想解題．

13.(2022全國(guó)高三專題練習(xí)）若復(fù)數(shù)z=－—勺為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（)

2-i3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】

首先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z'再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，判斷選項(xiàng)．

【詳解】

112-i2-i2121

由題意可知.z=-----::-=-=~=-=---

:-2-i32+