第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課堂練習(xí)一、選擇題1.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.B.(0,3)C.(1,4)D.答案D2.已知直線y=x+1與曲線相切，則α的值為()A.1B.2C.-1D.-答案B3.已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是()A.B.C.D.答案A4.若存在過點(diǎn)的直線與曲線和都相切，則等于 ()A．或B．或C．或D．或答案A5.設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為 ()A．B．C．D．答案A6.曲線在點(diǎn)處的切線方程為()A.B.C.D.答案B7.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是 ()yabyababaoxoxybaoxyoxybA．B．C．D．答案:A8.若滿足2x+=5,滿足2x+2(x－1)=5,+＝ ()A.B.3C.D.4答案C9.設(shè)函數(shù)則 ()A在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)。B在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn)。C在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)。D在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。二、填空題10.若函數(shù)在處取極值，則答案311.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.解析解析由題意該函數(shù)的定義域，由。因?yàn)榇嬖诖怪庇谳S的切線，故此時(shí)斜率為，問題轉(zhuǎn)化為范圍內(nèi)導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)。解法1（圖像法）再將之轉(zhuǎn)化為與存在交點(diǎn)。當(dāng)不符合題意，當(dāng)時(shí)，如圖1，數(shù)形結(jié)合可得顯然沒有交點(diǎn)，當(dāng)如圖2，此時(shí)正好有一個(gè)交點(diǎn)，故有應(yīng)填或是。解法2（分離變量法）上述也可等價(jià)于方程在內(nèi)有解，顯然可得12.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.解析考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。，由得單調(diào)減區(qū)間為。亦可填寫閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間。13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在曲線上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.答案:14.若曲線存在垂直于軸的切線，則實(shí)數(shù)取值范圍是_____________.答案15.設(shè)曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,令，則的值為.答案-216.設(shè)是已知平面上所有向量的集合，對(duì)于映射，記的象為。若映射滿足：對(duì)所有及任意實(shí)數(shù)都有，則稱為平面上的線性變換?，F(xiàn)有下列命題：①設(shè)是平面上的線性變換，，則②若是平面上的單位向量，對(duì)，則是平面上的線性變換；③對(duì)，則是平面上的線性變換；④設(shè)是平面上的線性變換，，則對(duì)任意實(shí)數(shù)均有。其中的真命題是（寫出所有真命題的編號(hào)）答案①③④17.曲線在點(diǎn)（0,1）處的切線方程為。答案三、解答題18.設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域；(II)證明：分析（I）這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。大部分考生有思路并能夠得分。由題意知方程有兩個(gè)根則有故有右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域。(II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)中的，（如果消會(huì)較繁瑣）再利用的范圍，并借助（I）中的約束條件得進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性。解析由題意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且19.已知函數(shù)．（I）若函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值；（II）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．解析（Ⅰ）由題意得又，解得，或（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有，即：整理得：，解得20.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．（Ⅰ）,∵曲線在點(diǎn)處與直線相切，∴（Ⅱ）∵,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴此時(shí)是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).21.設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.解（Ⅰ）,曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）由，得，若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.22.已知函數(shù),其中（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?（2）已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.解:(1)由已知得,令,得,要取得極值,方程必須有解,所以△,即,此時(shí)方程的根為,,所以當(dāng)時(shí),x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f’(x)＋0－0＋f(x)增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.當(dāng)時(shí),x(-∞,x2)x2(x2,x1)x1(x1,+∞)f’(x)－0＋0－f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值減函數(shù)所以在x1,x2處分別取得極大值和極小值.綜上,當(dāng)滿足時(shí),取得極值.(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.即恒成立,所以設(shè),,令得或(舍去),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最大,最大值為.所以當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)最大,最大值為,所以綜上,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),22.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a>1(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。解析（I）由知，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)。綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。（II）由（I）知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值。由假設(shè)知即解得1<a<6故的取值范圍是（1，6）23.已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．（1）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；（2）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．解析（1）依題可設(shè)()，則；又的圖像與直線平行，，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得（2）由()，得當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有二解，若，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；若，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；當(dāng)時(shí)，方程有一解,,函數(shù)有一零點(diǎn)綜上，當(dāng)時(shí),函數(shù)有一零點(diǎn)；當(dāng)()，或（）時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn).24.已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力。本小題滿分12分。解析的定義域是(0,+),設(shè),二次方程的判別式.當(dāng)，即時(shí)，對(duì)一切都有,此時(shí)在上是增函數(shù)。①當(dāng),即時(shí)，僅對(duì)有,對(duì)其余的都有,此時(shí)在上也是增函數(shù)。當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,.+0_0+單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時(shí)在上單調(diào)遞增,在是上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.25.已知函數(shù)，a＞0，（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a=3，求在區(qū)間{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)?！舅悸贰坑汕髮?dǎo)可判斷得單調(diào)性，同時(shí)要注意對(duì)參數(shù)的討論，即不能漏掉，也不能重復(fù)。第二問就根據(jù)第一問中所涉及到的單調(diào)性來求函數(shù)在上的值域。解析(1)由于令①當(dāng),即時(shí),恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函數(shù).②當(dāng),即時(shí)由得或或或又由得綜上①當(dāng)時(shí),在上都是增函數(shù).②當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù),在上都是增函數(shù).(2)當(dāng)時(shí),由(1)知在上是減函數(shù).在上是增函數(shù).又函數(shù)在上的值域?yàn)?6.設(shè)函數(shù)．（1）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．解析(1),因?yàn)?,即恒成立,所以,得，即的最大值為(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)時(shí),取極大值;當(dāng)時(shí),取極小值;故當(dāng)或時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)根.解得或.27.設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(1)若，求不等式的解集．解析(1),由,得.因?yàn)楫?dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；所以的單調(diào)增區(qū)間是:；單調(diào)減區(qū)間是:.(2)由,得：.故：當(dāng)時(shí),解集是：；當(dāng)時(shí)，解集是：；當(dāng)時(shí),解集是：.28.設(shè)函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)曲線處的切線斜率（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅲ）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，且。若對(duì)任意的，恒成立，求m的取值范圍。答案（1）1（2）在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=解析解析當(dāng)所以曲線處的切線斜率為1.（2）解析，令，得到因?yàn)楫?dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0-0+極小值極大值在和內(nèi)減函數(shù)，在內(nèi)增函數(shù)。函數(shù)在處取得極大值，且=函數(shù)在處取得極小值，且=（3）解析由題設(shè)，所以方程=0由兩個(gè)相異的實(shí)根，故，且，解得因?yàn)槿?，而，不合題意若則對(duì)任意的有則又，所以函數(shù)在的最小值為0，于是對(duì)任意的，恒成立的充要條件是,解得綜上，m的取值范圍是30.在R上定義運(yùn)算（b、c為實(shí)常數(shù)）。記，，.令.如果函數(shù)在處有極什,試確定b、c的值；求曲線上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；記的最大值為.若對(duì)任意的b、c恒成立，試示的最大值。當(dāng)?shù)脤?duì)稱軸x=b位于區(qū)間之外此時(shí)由①若于是①若，則，于是綜上，對(duì)任意的b、c都有而當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上的最大值故對(duì)任意的b，c恒成立的k的最大值為31.已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是。（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.解析（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……①又，由已知得……②聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為…………………4分（II）因?yàn)榱町?dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解，由，得.①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；…………………12分32.設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明：解:（I）令，其對(duì)稱軸為。由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得⑴當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；⑵當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；⑶當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），設(shè)，則⑴當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；⑵當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減。故．33.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱.（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若在處取得最小值，記此極小值為，求的定義域和值域。解:（Ⅰ）.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，所以，于是（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.（ⅰ）當(dāng)c12時(shí)，，此時(shí)無極值。（ii）當(dāng)c<12時(shí)，有兩個(gè)互異實(shí)根,.不妨設(shè)＜，則＜2＜.當(dāng)x＜時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)＜x＜時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù);當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).所以在處取極大值，在處取極小值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處存在唯一極小值，所以.于是的定義域?yàn)?由得.于是.當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，故的值域?yàn)?5.已知函數(shù),且(1)試用含的代數(shù)式表示b,并求的單調(diào)區(qū)間；（2）令,設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)M(,)，N(,)，P(),,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問題：（I）若對(duì)任意的m(,x)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；（II）若存在點(diǎn)Q(n,f(n)),xn<m,使得線段PQ與曲線f(x)有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）解法一:(Ⅰ)依題意,得由.從而令①當(dāng)a>1時(shí),當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：x+－+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。②當(dāng)時(shí)，此時(shí)有恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R③當(dāng)時(shí)，同理可得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)由得令得由（1）得增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，故M（）N（）。觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：①當(dāng)m從-1（不含-1）變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線在點(diǎn)P處切線的斜率之差Kmp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點(diǎn)與Kmp－的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；③Kmp－=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面給出證明并確定的t最小值.曲線在點(diǎn)處的切線斜率；線段MP的斜率Kmp當(dāng)Kmp－=0時(shí)，解得直線MP的方程為令當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上沒有零點(diǎn)，即線段MP與曲線沒有異于M，P的公共點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，.所以存在使得即當(dāng)MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)綜上，t的最小值為2.（2）類似（1）于中的觀察，可得m的取值范圍為解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值。故M().N()(Ⅰ)直線MP的方程為由得線段MP與曲線有異于M,P的公共點(diǎn)等價(jià)于上述方程在(－1,m)上有根,即函數(shù)上有零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)為三次函數(shù),所以至多有三個(gè)零點(diǎn),兩個(gè)極值點(diǎn).又.因此,在上有零點(diǎn)等價(jià)于在內(nèi)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),即內(nèi)有兩不相等的實(shí)數(shù)根.等價(jià)于即又因?yàn)?所以m的取值范圍為(2,3)從而滿足題設(shè)條件的r的最小值為2.36.設(shè)，且曲線y＝f（x）在x＝1處的切線與x軸平行。(2)求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；(1)證明：當(dāng)解析（Ⅰ）.有條件知，，故.………2分于是.故當(dāng)時(shí)，＜0；當(dāng)時(shí)，＞0.從而在，單調(diào)減少，在單調(diào)增加.………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知在單調(diào)增加，故在的最大值為，最小值為.從而對(duì)任意，，有.………10分而當(dāng)時(shí)，.從而………12分37.已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對(duì)任意x，x，xx，有。解析(1)的定義域?yàn)椤?分（i）若即,則故在單調(diào)增加。(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加。(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.(II)考慮函數(shù)則由于1<a<5,故，即g(x)在(4,+∞)單調(diào)增加，從而當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有·········12分38.已知函數(shù)（1）如，求的單調(diào)區(qū)間；（1）若在單調(diào)增加，在單調(diào)減少，證明＜6.（21）解析（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)當(dāng)從而單調(diào)減少.(Ⅱ)由條件得：從而因?yàn)樗詫⒂疫呎归_，與左邊比較系數(shù)得，故又由此可得于是39.已知函數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；若在處取得極值，直線y=my與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍。解析（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)，有當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由解得或；由解得，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；的單調(diào)減區(qū)間為。（2）因?yàn)樵谔幦〉脴O大值，所以所以由解得。由（1）中的單調(diào)性可知，在處取得極大值，在處取得極小值。因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又，，結(jié)合的單調(diào)性可知，的取值范圍是。40.已知函數(shù)，其中若在x=1處取得極值，求a的值；求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若的最小值為1，求a的取值范圍。解（Ⅰ）∵在x=1處取得極值，∴解得（Ⅱ）∵∴①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間∴的單調(diào)增區(qū)間為②當(dāng)時(shí)，由∴（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）①知，當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）②知，在處取得最小值綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是41.已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是。（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值.解析（I）由已知,切點(diǎn)為(2,0),故有,即……①又，由已知得……②聯(lián)立①②，解得.所以函數(shù)的解析式為…………………4分（II）因?yàn)榱町?dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則，方程有實(shí)數(shù)解，由，得.①當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)，在左右兩側(cè)均有，故函數(shù)無極值②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根情況如下表：+0-0+↗極大值↘極小值↗所以在時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值；…………………12分42.已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝＋bx2＋cx＋bc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x).令g(x)＝∣f+(x)∣,記函數(shù)g(x)在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M.(Ⅰ)如果函數(shù)f(x)在x＝1處有極值-，試確定b、c的值：（Ⅱ）若∣b∣>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2:(Ⅲ)若M≧K對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值。本小題主要考察函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和份額類討論的思想（滿分14分）（I）解析，由在處有極值可得解得或若，則，此時(shí)沒有極值；若，則當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：10+0極小值極大值當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。（Ⅱ）證法1：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得故應(yīng)是和中較大的一個(gè)即證法2（反證法）：因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外，在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)假設(shè)，則將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，（Ⅲ）解法1：（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)）的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí)由有①若則，于是②若，則于是綜上，對(duì)任意的、都有而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。解法2：（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí)，即下同解法143.已知函數(shù).設(shè)，求函數(shù)的極值；若，且當(dāng)時(shí)，12a恒成立，試確定的取值范圍.請(qǐng)考生在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。（21）解析（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得令列表討論的變化情況：（-1，3）3+0—0+極大值6極小值-26所以，的極大值是，極小值是（Ⅱ）的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對(duì)稱.若上是增函數(shù)，從而上的最小值是最大值是由于是有由所以若a>1,則不恒成立.所以使恒成立的a的取值范圍是44.已知函數(shù)其中(1)當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。（I）解析（II）以下分兩種情況討論。（1）＞，則＜.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗（2）＜，則＞，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗45.已知函數(shù)。（I）求函數(shù)的定義域，并判斷的單調(diào)性；（II）若（III）當(dāng)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，設(shè)，若函數(shù)的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)的極值。本小題主要考查函數(shù)、數(shù)列的極限、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。解析（Ⅰ）由題意知當(dāng)當(dāng)當(dāng)….（4分）（Ⅱ）因?yàn)橛珊瘮?shù)定義域知>0,因?yàn)閚是正整數(shù)，故0<a<1.所以（Ⅲ）令當(dāng)m=0時(shí)，有實(shí)根，在點(diǎn)左右兩側(cè)均有故無極值當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根當(dāng)x變化時(shí)，、的變化情況如下表所示：+0-0+↗極大值↘極小值↗的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，同上可得的極大值為綜上所述，時(shí)，函數(shù)有極值；當(dāng)時(shí)的極大值為，的極小值為當(dāng)時(shí)，的極大值為46.已知函數(shù)且（I）試用含的代數(shù)式表示；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)；（I）依題意，得由得（Ⅱ）由（I）得（故令，則或①當(dāng)時(shí)，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：+—+單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為②由時(shí)，，此時(shí)，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R③當(dāng)時(shí)，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，得由，得由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為所以函數(shù)在處取得極值。故所以直線的方程為由得令易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，故在內(nèi)存在零點(diǎn)，這表明線段與曲線有異于的公共點(diǎn)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函數(shù)，討論的單調(diào)性．解（Ⅰ）因又在x=0處取得極限值，故從而由曲線y=在（1，f（1））處的切線與直線相互垂直可知該切線斜率為2，即（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令（1）當(dāng)（2）當(dāng)K=1時(shí)，g（x）在R上為增函數(shù)（3）方程有兩個(gè)不相等實(shí)根當(dāng)函數(shù)當(dāng)時(shí)，故上為減函數(shù)時(shí)，故上為增函數(shù)48.已知為偶函數(shù)，曲線過點(diǎn)，．（Ⅰ）求曲線有斜率為0的切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極值，確定的單調(diào)區(qū)間．解:（Ⅰ）為偶函數(shù),故即有解得又曲線過點(diǎn),得有從而,曲線有斜率為0的切線，故有有實(shí)數(shù)解.即有實(shí)數(shù)解.此時(shí)有解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍:（Ⅱ）因時(shí)函數(shù)取得極值,故有即,解得又令,得當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí),,故在上為減函數(shù)當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù)課后作業(yè)一、選擇題1.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則 （）A．2 B． C． D．答案D2.若上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.答案C3.已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=f(x),y=g(x)的圖象可能是 （）答案D4.設(shè)P為曲線C：上的點(diǎn)，且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為 （）A． B． C． D．答案A5.已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，，則時(shí) （）A． B．C． D．答案B6.曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為 （）A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．答案D7.已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為 （）A． B． C． D．答案C8.設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，，則是的 （）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案B9.已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是 （）A．0是的極大值，也是的極大值B．0是的極小值，也是的極小值C．0是的極大值，但不是的極值D．0是的極小值，但不是的極值答案C10.函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn) （）A．1個(gè)B．2個(gè) C．3個(gè)D．4個(gè)答案A二、填空題11設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則．答案212.直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝．2BCAyx12BCAyx1O3456123414.如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則2；．（用數(shù)字作答） 答案－214.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿＿．答案15.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則．答案3216.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則．答案317.函數(shù)在區(qū)間上的最小值是．答案18.曲線在點(diǎn)處的切線方程是．答案19.半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則＝2r①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于eq\o\ac(○,1)的式子：②②式可以用語言敘述為：。答案V球＝，又故eq\o\ac(○,2)式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?0.曲線y=x3在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸、直線x=2所圍成的三角形的面積為__________。答案8/3三、解答題21.已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．解析（1）求導(dǎo)：當(dāng)時(shí)，，，在上遞增當(dāng)，求得兩根為即在遞增，遞減，遞增（2），且解得：22.已知函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間．解析．令，得．當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：0所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．23.已知函數(shù)（），其中．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．滿分14分．（Ⅰ）解析．當(dāng)時(shí)，．令，解得，，．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：02－0＋0－0＋↘極小值↗極大值↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）解析，顯然不是方程的根．24.設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解（Ⅰ）∵，∴.從而＝是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。25.用長為90cm,寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接而成(如圖),問該容器的高為多少時(shí),容器的容積最大?最大容積是多少?解設(shè)容器的高為x，容器的體積為V，1分則V=(90-2x)(48-2x)x,(0<V<24) 5分=4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320…… 7分由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36∵x<10時(shí)，V′>0,10<x<36時(shí)，V′<0,x>36時(shí)，V′>0,所以,當(dāng)x=10,V有極大值V(10)=1960…………………10分又V(0)=0,V(24)=0,……………………11分所以當(dāng)x=10,V有最大值V(10)=1960…………………12分補(bǔ)充習(xí)題一一、選擇題1.右圖是函數(shù)f(x)=x2+ax+b的部分圖象，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 （）A． B．C． D．答案C2.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)不等式成立，若，，則的大小關(guān)系是 （）A． B． C． D．答案C3.下列圖像中有一個(gè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖像，則 （）A. B. C. D.或答案 B－244.圖中,陰影部分的面積是－24A.16 B.18C.20 D.22答案B二、填空題－2xyO5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2，+∞)，部分對(duì)應(yīng)值如下表,為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的圖象如右圖所示，若兩正數(shù)a，b滿足，則的取值范圍是．－2xyO答案6.設(shè)函數(shù)(c＜0)單調(diào)遞增區(qū)間是.答案三、解答題7.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).(Ⅰ)若在處取得的極值為，求的值;（Ⅱ）若在區(qū)間上為減函數(shù)，且，求的取值范圍.解(Ⅰ)由題設(shè)可知:且，………………2分即，解得………………4分（Ⅱ），………………5分又在上為減函數(shù)，對(duì)恒成立，………………6分即對(duì)恒成立.且，………………10分即，的取值范圍是………………12分8.設(shè)函數(shù)（1）求函數(shù)的極大值；（2）若時(shí)，恒有成立（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．解（1）∵，且，………………1分當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得；∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為和．…………………3分故當(dāng)時(shí)，有極大值，其極大值為．…4分（2）∵，當(dāng)時(shí)，，∴在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞減．…………6分∴．∵，∴此時(shí)，．…………9分當(dāng)時(shí)，．∵，∴即……11分此時(shí)，．……………13分綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為．…………………14分補(bǔ)充習(xí)題二1.已知函數(shù)，若的單調(diào)減區(qū)間恰為（0，4）。（I）求的值：（Ⅱ）若對(duì)任意的，關(guān)于的方程總有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）又（Ⅱ）時(shí)時(shí)且8分解得2.已知函數(shù)（1）若時(shí)，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求b的取值范圍；（2）在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最3.已知，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：在上是減函數(shù)；（Ⅱ）如果對(duì)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ∵ ∴在上是減函數(shù) （Ⅱ）∵不等式恒成立即不等式恒成立∴不等式恒成立 當(dāng)時(shí)，不恒成立 當(dāng)時(shí)，不等式恒成立 即∴ 當(dāng)時(shí)，不等式不恒成立綜上所述，的取值范圍是 4.已知函數(shù)(Ⅰ)求的值域；(Ⅱ)設(shè)，函數(shù)．若對(duì)任意，總存在，使，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（Ⅰ）， 令，得或． 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減， 而， 當(dāng)時(shí)，的值域是．(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在上的值域是A，若對(duì)任意．總存在1,使，．．①當(dāng)時(shí)，， 函數(shù)在上單調(diào)遞減． ，當(dāng)時(shí)，不滿足；②當(dāng)時(shí)，，令，得或(舍去)（i）時(shí)，的變化如下表：02-0+0．，解得．(ii)當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上單調(diào)遞減．，當(dāng)時(shí)，不滿．綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．5.已知函數(shù)（I）若是的極值點(diǎn)，求在上的最小值和最大值；（Ⅱ）若上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（I）有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)。此時(shí)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。在上的最小值是-18，最大值是-6