第03講 勾股定理與幾何證明范朝暉

第三講

勾股定理與何證明概述本講內(nèi)容涉及運用勾股定理逆定理求證直角，并在求證直角三角形的基礎(chǔ)上求證線段之間的關(guān)系．以及通過線段之間的關(guān)系證明垂直．連人教課本第章學(xué)習(xí)，在本系列教材初二第3冊三中已學(xué)習(xí)．

教學(xué)內(nèi)容專題1專題2專題3專題4

勾股定理逆定理的基本應(yīng)用勾股定理證明等量關(guān)系勾股定理逆定理證明垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形解題專講專題

勾股定逆定理的基應(yīng)用例1以列各數(shù)為邊長，不能組成直角三角形的一組是（）A．，，12B11，40C，24，25．，，（，洪山區(qū)期中考試）點：股定理逆定理的基本應(yīng)用解：解：歸總：①型征②法技：練下列各組數(shù)中，以a，，c為的三角形不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)=1.5，，；．，；．，，；．a(chǎn)=3，，（，洪山區(qū)期中考試）例2如所示，正方形網(wǎng)格中，小方格邊長為1則△是（）A．直角三角形．銳角三角形．鈍角三角形D．上答案都不對（，硚口區(qū)期中模擬）C

BA

點：股定理逆定理在方格圖中基本應(yīng)用解：解：歸總：①型征②法技：練如圖，在5×的格紙中，每一個小正方形的邊長都為1，B，均格點上，BCD是不是直角？請說明理由．ABD專題例4

C勾股定證明等量關(guān)已知：如圖，在四邊形ABCD中∠°CD⊥，ADAB

．（）證：AB=BC；（）BE⊥于E時，試明：．（2012棗莊）

E

D點：股定理與等腰直角三角形綜合應(yīng)用．解：解：

歸總：①型征②法技：練2.1

如圖，△ABC和△ECD都等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°D為AB邊上一點，求證：

2

DB

2

2

（，硚口區(qū)期中模擬）DE

例5如所示eq\o\ac(△,，)是腰直角三角形是邊BC的點分是邊上的點，且⊥．（）BE、、之的數(shù)量關(guān)系；（）BE=12CF=5，求線段EF長．2013，昌區(qū)聯(lián)考）DEF

點：股定理與全等三角形的綜運用解：解：

22222222歸總：①型征②法技：練

在eq\o\ac(△,Rt)中∠BAC=90°，D為BC邊上一點．

FE

D

D

D

圖

圖

圖（）圖1，，為BC的中點，連接，以BD、CD

、構(gòu)成的等量關(guān)系為．（）圖，，接，以BD、CD、構(gòu)的等量關(guān)系為：＋CD=

．（）圖，若AB=AC，D為BC的點E為AB邊一點F為邊一點，且∠EDF=90°，問：以線段BE、、構(gòu)的等量關(guān)系是怎樣的？寫出你的結(jié)論．專題例6

勾股定逆定理證明直關(guān)系在等腰eq\o\ac(△,Rt)中CACAB=P是角形內(nèi)一點，且，PB=3，△，

kx

CPA的?。?。武珞路期中考試）點：轉(zhuǎn)與勾股定理逆定理的結(jié)解：解：

歸總：①型征②法技：練

已知，如圖中ACB=90°AC=BCP是△ABC內(nèi)一點且PC=2，BPC

例7如腰中°斜邊AB上點DCE=45°

2BE2

．

DE

點：腰直角三角形中的旋轉(zhuǎn)后利用勾股定理．解：解：歸總：①型征②法技：練3.2如所示，和ADE都等腰直角三角形，AD=AE，BAC=∠°；（）ACE△；

DC

FBE

A（），，2，∠的數(shù)．專題

構(gòu)造直三角形解題例8如，已知四邊形ABCD中，°，∠∠，AB=2，，求BC和AD的．A

DB

C點：造直角三角形后利用勾股理．解：解：歸總：①型征②法技：練如，在四邊形中，AB=AD=8∠A=60，∠ADC=150°，已知四邊形ABCD的周長為32，求四邊形的面積．

CDA

B練如圖，在ABC中AB=5，BC邊的中線，BC的（，口區(qū)期中模）

D

E例9如，在四邊形中ABC=30，∠ADC=60，AD=CD求證：BDBCD點：造直角三角形，找到邊之的關(guān)系利用勾股定理．解：解：

．歸總：①型征②法技：練如圖在中∠°點M是BC的中點MD⊥于求：

．

22ADC

M

B分檢A級1．下各數(shù)為邊長，不能組成直角三角形的一組是（）A．，，12．11，，C7，，24D．，，9（，洪山期中聯(lián)考）2．圖所示，在等腰eq\o\ac(△,Rt)中∠ACB=90，，點，N是A上意兩點，且MCN=45°，點為的點以下結(jié)論①

AB

2②CM2NC

③AM2BNMN

；④AM

．其中正確結(jié)論的序號是（）A．①②③④；．只有①②③；

．只有①③④；

．有②④

DTE

3．圖所示，已知：在正方形BCD中的分交BC于E作EF⊥于F，作FG于G，求證：AB

FG

．DA

FG

CEB4．圖，在等腰直角三角形中，是邊BC的點，點，分別為AB，邊的點，且DE⊥．（）證：CF

；

22EF

D

（）BE=12CF=5，試求DEF的積．（，山區(qū)期中模擬）5．圖所示P為正方形內(nèi)點，且PA=1，，，求APB的數(shù)．A

DB6．eq\o\ac(△,Rt)中，∠，AB=AC．（）圖①，點在外作直線，⊥MN于，⊥于．①判斷線段MN，BN，CN之間有數(shù)量關(guān)系，并證明；MNCB圖①②若AN=a，，，利用圖①驗證勾股定理a

；

（）圖②，點在內(nèi)作直線，⊥MN于，⊥于，斷線段MN，，之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出答案）AM

CNB圖②7．（）邊的邊長為2，

ABC

=

；（）圖1，eq\o\ac(△,Rt)中∠°，點O為AC中，點E為段BC上點，∠°OF交于F，給線段，，EC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；AFB

DE

C圖（圖等腰eq\o\ac(△,Rt)中ABC=90為其內(nèi)部一點滿足：7，求∠APB的度數(shù)．APB

C圖家作

1．下列各組數(shù)位邊長，不能組成直角三角形的是（）A．，，．，，24．，，D．，，2．圖，一根長為的竿，垂直于地面放置，折斷后頂端落地面離底端B處40m的方，則折斷處距面的高度為（）A．B．．42mD．50m

3．知，長方形ABCD中AB=3cm，AD=9cm，此長方形折疊，使點B與點重合，折痕為EFeq\o\ac(△,則)eq\o\ac(△,)ABE的積為（）A．

B．

．

．

A

EBF

DC4．圖所示，已知△中∠°，AB=5cm，⊥于D，CD的長．

D

5．知，如圖，∠，，CE=20，，，AD的．ED6．知：等腰直角三角形ABC中，C為直角，，PC=2PB=3，，求APC的數(shù)．

7．圖，點E是方形ABCD內(nèi)一點，連接，BE，CE