第一章定解問題及方程導(dǎo)出例

2t2t第一章

定解問§1

大體概1．?dāng)?shù)學(xué)物理方程：是指從物理問題中所導(dǎo)出的反映客觀物理量在各個地址個時刻之間彼此制約的一些偏微分方有時也包括常微分方程和積分方程）2．?dāng)?shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程按其所代表的物理進(jìn)程可分為如下三類：（1）描述振動和波動特征的波動方程aftt（2）反映輸運(yùn)進(jìn)程的擴(kuò)散（或熱傳導(dǎo)）方程uDft（3）描述穩(wěn)固進(jìn)程或穩(wěn)固狀態(tài)的程其中

utt

uu2而未知函數(shù)u(x,yt)三類方程中別離表示位移、濃度（或溫度）和穩(wěn)固現(xiàn)象特征；a和表示波速和擴(kuò)散（或熱傳導(dǎo)）系數(shù)；和h與源（匯）有關(guān)的已知函數(shù)，當(dāng)f=0或h=0，相應(yīng)的方程稱為齊次方程。3．用數(shù)學(xué)理方程研究問題的一般步驟（1）導(dǎo)出或?qū)懗龆ń鈫栴}（它包括數(shù)學(xué)物理方程和定解條件兩部份）（2）求解已導(dǎo)出或?qū)懗龅亩ń鈫栴}（3）對求得的解討論其適應(yīng)性（即解的存在性、惟一性、穩(wěn)固性出適當(dāng)?shù)奈锢斫忉?．求解數(shù)物理方程的方式求解數(shù)學(xué)物理方程的方式大致能夠分為如下幾種：行波法（達(dá)朗貝爾法；分離變量法；積分變換法；函數(shù)法；保角變換法；復(fù)變函數(shù)法；變分法；

zz數(shù)值方式§2

數(shù)學(xué)物方程的成立推導(dǎo)1．成立（推導(dǎo)）數(shù)學(xué)物理方程的步驟成立數(shù)學(xué)物理方程一般步驟step1從所研究的系統(tǒng)中任取一單元體分析該單元體與臨近單元體之間的彼此關(guān)系；step2按照有關(guān)的物理定律（如牛頓第二定律、能量守恒定律、奧—高定律等用算式表達(dá)那個作用；step3化簡、整理即得所研究問題知足的數(shù)學(xué)物理方程。2．成立（出）方程時經(jīng)常要用到的物理定律（1）Newton第二定律：F=ma（2Fourier實驗定（即熱傳導(dǎo)定律物體內(nèi)部存在溫度差時會產(chǎn)生熱量的流動。熱流密度q（即單位時刻內(nèi)流過單位橫截面的熱量溫度的下降率成正比，即q其中，K為熱傳導(dǎo)系數(shù)，負(fù)號表示溫度下降的方向，寫成份量形式即：qx

q，q

（3Newton冷卻定律：物體內(nèi)部冷卻時放出的熱與物體與外界的溫度差

）成正比，其u為周圍介質(zhì)的溫度。00（）電荷守恒定律：電荷既不能創(chuàng)生，也不能消滅，它只能從一個物體轉(zhuǎn)移到另一個物體，或從物體的一部份轉(zhuǎn)移到另一部份。（）熱量（質(zhì)量）守恒定律：物體內(nèi)部溫度升高所需的熱量（濃度增加所需要的質(zhì)量于流入物體內(nèi)部的凈熱量（質(zhì)量）與物體內(nèi)部源所產(chǎn)生的熱量（質(zhì)量）之和。（6Fick律（擴(kuò)散定理物體內(nèi)部濃度散布不均勻時，會引發(fā)物質(zhì)的擴(kuò)散運(yùn)動。其離子流密度（即單位時刻內(nèi)流過單位截面積的離子數(shù)）與濃度的下降率成正比，即q

zknnzknn其中：D為擴(kuò)散系數(shù)，負(fù)號表示濃度減小的方向，寫成份量形式即qx

，qq

（7定通過一個任意閉合曲面的電通量等于那個閉曲面所包圍的自由電荷的電量的1s

1

倍，即其

是介電常數(shù)，為體電荷密度。（8Jaule-Lens定律：電流通過純電導(dǎo)體時放出的熱量跟電流強(qiáng)度I平方，導(dǎo)線的電阻R和通電時刻t正比。即I（9）基爾霍夫定律：1）第必然：匯合在節(jié)點的電流代數(shù)和為零（規(guī)定流入節(jié)點的電流為正，流出節(jié)點的電流為負(fù)I。ki2）沿任一合回路的電勢增量的代數(shù)和為零（規(guī)定回路順時針方向的電動勢和電流都為正，反之為負(fù)

I

k

k

ik

i（10電磁感應(yīng)定律：不論任何原因使通過回路面積的磁通量發(fā)生轉(zhuǎn)變時，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與磁通量對時刻轉(zhuǎn)變率的負(fù)值成正比，即

ddt其中N為感應(yīng)回路串聯(lián)線圈的匝數(shù)即法拉第電磁感應(yīng)定律該定律可知，當(dāng)閉合回（或線圈中的電流發(fā)生轉(zhuǎn)變而引發(fā)自身回路的磁通量改變而產(chǎn)生的自感電動勢為

dIdt其中，L為自感系數(shù)（11虎克定律：在彈性限度內(nèi)，彈性體的彈力和彈性體的形變量成正比，即

00f其中：k彈性的勁度系數(shù)，負(fù)號表示彈性力的方向和形變方向相反。應(yīng)力=楊氏模量×相對伸長§3

定解條定解條件：是肯定數(shù)學(xué)物理方程通解中所含的任意常數(shù)（或任意函數(shù)，使解具有惟一性的充分必要條件它又分為初始條件和邊界條件兩種若研究的系統(tǒng)是由幾種不同介質(zhì)組成時，則在兩種介質(zhì)的界面上定解條件還應(yīng)當(dāng)有銜接條件。1．初始條（1）概念：初始條件是物理進(jìn)程初始狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）初始條件的個數(shù)：等于未知函數(shù)對時刻的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。2．邊界條（1）概念：邊界條件是指物理進(jìn)程邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式。（2）邊界條件的種類和個數(shù)：邊界條件分三類。1°：第一邊界條件

Mt其中M代表區(qū)域邊界上的變點，f(M,)是知函數(shù)（下面也均一樣）如：桿的熱傳導(dǎo)問題，若在=l處的一端溫度為T

，則(l)

又如：長為l兩頭固定的弦的橫振動問題，其邊界條件為：ut)0u(lt)2°：第二邊界條件：又稱為牛曼邊界條件，它給出了未知函數(shù)沿邊界法線方向上的導(dǎo)數(shù)值，即

邊

f(M,t)如，桿的熱傳導(dǎo)問題，若已知在一端=l處流入的熱流密度為()，則

x

t)按照熱傳導(dǎo)定律有q

xx故有K

x

t)即1u(lt)(t)K又如長為l細(xì)桿的縱振動問題若一端受有外力單位面積所受的力為()。如下圖設(shè)桿內(nèi)任一點處的應(yīng)力為P(xt)，體密度為橫截面積為A現(xiàn)從桿中劃出包括端點xl在內(nèi)的一小，則由第二定律有：(lt

)u

→0，(xt)P(l)由虎克定律lt)E

x則：F(x,t)

x即在xl端的邊界條件為u(lt)x

1

F,t)其中為楊氏模量，若該端點是自由的，即不受外力（外力）則：ul3°：第三邊界條件：又稱為混合邊界條件，它給出了未知函數(shù)和它的法線方向上的導(dǎo)數(shù)的線性組合在邊界上的值，即

u

邊

f(M,t)如：在桿的熱傳導(dǎo)問題中，若某個端=l自由冷卻，即那個端點與周圍介質(zhì)按牛頓冷卻定律互換熱量，則在那個端點的邊界條件為

K

x

x

0

其中，H為常數(shù)，u為周圍介質(zhì)的溫度。所以

u

0其中h

KH又如，桿的縱振動問題，若一端=l與一個一端固定的彈簧相連，如下圖：在桿的平衡位置彈簧的伸長（或緊縮）為零，則彈簧力為F()(l,t)其中，K為彈簧的屈強(qiáng)系數(shù)?，F(xiàn)從桿中劃出包括端點=l在內(nèi)的一小，如下圖由牛頓第二定律F((lt

0，則F(t(l,t)按照虎克定律：lt)E

xKul,t)EA

x則(lt)x

K

ul,t)即在xl端的邊界條件為ulthu(lt)其中

h

K除以上三類邊界條件外，由于物理上合理性的需要，有時還需要對方程中的未知函數(shù)附加以單值、有限等限制。如：

0121201212uu

邊

有限等。這種附加條件稱為自然邊界條件。3．銜接條由不同介質(zhì)組成的系統(tǒng)，在兩種不同介質(zhì)的交壤處需要給出兩個銜接條件。例如由兩種不同材料連接而成的桿的縱向振動，在連接點x=x處，其位移和應(yīng)力均應(yīng)相等，于是有銜接條件：

x

；1

x

x

其中，和E別離為兩種介質(zhì)的楊氏模量。4．三類定問題（1值問題泛定方程和初始條件組成的定解問題又稱問題。（2）邊值問題：由泛定方程和邊界條件組成的定解問題。（）混合問題：由泛定方程、初始條件和邊界條件三者組成的一類定解問題?！?

例題分1．成立（出）數(shù)學(xué)物理方程成立（導(dǎo)出）數(shù)學(xué)物理方程，是用數(shù)學(xué)物理方程研究物理問題的關(guān)鍵一步。為此，對于所研究的物理問題，第一要明確要研究的是哪一類物理量（位移、溫度等然后再按前面所述的三個步驟，將所需研究的物理問題翻譯成偏微分方程。例1

弦的橫振動方程在弦的橫振動問題中，若弦受到一與速度成正比的阻力，試推導(dǎo)弦的阻尼振動方程。解：弦的橫振動問題，一般是指繃緊于兩個固定點之間的細(xì)而柔軟的弦線，在平衡位置周圍作振幅極為微小的橫振動問題，顯然該問題要研究的物理量是弦的位移。

u（1）如圖所示，考慮弦中任一小段△的受力情形，它位于軸上的[,x+eq\o\ac(△,x)eq\o\ac(△,)]

12ttt12ttt依題設(shè)，設(shè)單位長弦上所受的阻力bub為常數(shù)在振動進(jìn)程中，△t所受的縱向力為T2

cos2

1所受橫向力為：Tsinsinbu(x2211t其中0≤1T和T為△S段兩頭所受張力。（2）由于弦僅作橫向振動，而無縱向振動，于是由第二定律cos11T(xx1ttt其中，為弦的線密度。（3）在小的振動情形下，由很小，則cos

sin

tg

sin

tg2

而tg

1

x,t)

2

xt)于是運(yùn)動方程化為：2T(xt)(x,)xu((x得

t

tta

T

c

b

則有：a2uttxx

t此方程即弦的阻尼振動方程。

yy例設(shè)擴(kuò)散物質(zhì)的源強(qiáng)（即單位時刻內(nèi)由單位體積所產(chǎn)生的擴(kuò)散物質(zhì)）為F,擴(kuò)散方程。解：t的濃度（單位體積內(nèi)的粒子數(shù)右下圖在空間中劃出一小的平行六面體考慮在時刻中的粒子數(shù)的流動情形。由擴(kuò)散定理知，流入

方向的凈粒子數(shù)[,t()]流入y向的凈粒子數(shù)[q)(y)]流入z方向的凈粒子數(shù)[(t)(t)]z而源強(qiáng)度產(chǎn)生的粒子數(shù)：F(xt)故由質(zhì)量守恒定律：[qx

x

]y

y

]qz

](,yz,)(y,z(,,t)]兩邊同除且令0000有xz(x,zt)再將擴(kuò)散定律代入有：

((D)D)F上面的方程即為擴(kuò)散方程。例3

熱傳導(dǎo)方程設(shè)有一橫截面積為S，電阻率為r的均質(zhì)導(dǎo)線，由有其電流密為j的均勻散布的直流電通過，試推導(dǎo)導(dǎo)線內(nèi)的熱傳導(dǎo)方程。解：當(dāng)導(dǎo)線內(nèi)有電流通過時，導(dǎo)線會發(fā)燒。若導(dǎo)線不粗，熱量會沿電流流動的方向傳遞，如圖所示。在導(dǎo)線內(nèi)任取一小，慮這一小段時刻內(nèi)熱量的流動情形，,

別離為導(dǎo)線的熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、質(zhì)量密度u代溫度，由實驗定律，刻內(nèi)流入單元V內(nèi)的凈熱量為：

xxxxxxxx))

由導(dǎo)線發(fā)燒定律有：體元當(dāng)有電流通過時所產(chǎn)生的熱量為：I

2

Rjs)

2

rjS

2

Sr而體元度升所的熱量為：

由熱量守恒定律：C

)

2

兩邊同除S，而且：

j2r例4

泊松方程設(shè)在充滿了介電常介質(zhì)區(qū)域中有體密度為個區(qū)域中的靜電場解：由于靜電場中存在一勢函()：

(yz)電荷，試研究那其中為電場強(qiáng)度故要研究此問題需要研究此區(qū)域中電位函數(shù)V所遵守的規(guī)律即可。在所研究的區(qū)域中，任取一封鎖曲面圍出一塊空間區(qū)域則由電學(xué)中奧—高定理有

，

1

這里采用的是國際單位制。又

E

故

1

由于任意的，因此

1

∴

1

此即泊松方程（在真空

咱們討論的區(qū)域中無電荷，上式變成此即拉普拉氏方程（簡稱拉氏方程）例：長為l均勻桿，側(cè)面絕緣，一端溫度為零，另一端有恒定熱量q進(jìn)入（即單位時刻由通過單位截面積流入的熱量為

q桿初始溫度散布是xl)2

，試寫出相應(yīng)的定解條件。解：該問題是一維熱傳導(dǎo)問題，初始條件題中已給出，為u(x,0)

xl)2

（0≤x≤l）現(xiàn)考慮邊值條件，設(shè)在x=0段的溫度為，則有ut)0

（t0）另一xl有恒定的熱流進(jìn)入桿內(nèi)Foruier實驗定律在邊界上有：K

∴K

x

即

u(lt)x

qK綜上所述，相應(yīng)的定解條件為：auttt)(l,tKl)x,0)2例：長為l的弦兩頭固定，開始時在xc到?jīng)_量K的作用，試寫出相應(yīng)的定解問題解：該問題是一維弦振動問題，邊界條件是顯然的。由于弦兩頭固定，所以在這兩點處的位移為0即ut)0u(lt)

2ttt2tttl考慮初始條件當(dāng)沖量K作于=c處時就相當(dāng)于在這點給出了一個初速度?？紤]以c為中心，長2

的一小段弦c弦是均勻的，其線密度為則這一小段弦的質(zhì)量受沖擊時速度u,0)由動量定理t得：2,0)t

c

xc在這小段外，初速度為0，于是有初始條件為(,0)所以定解問題為：

xx

uuxxt)(l)

0xttxx,0)0,(,0),x2

0)例7

在弦振動情形