2022北京一零九中高三10月月考數(shù)學(xué)（教師版）

第13頁(yè)/共13頁(yè)2022北京一零九中高三10月月考數(shù)學(xué)2022.10.10一、單選題(每題4分，共40分)1．已知，其中，i為虛數(shù)單位，則（

）A． B．1 C． D．22．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．20 B．-40 C．40 D．-103．設(shè)，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要4．（

）A． B． C． D．5．雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，其漸近線方程為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．6．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為（

）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A．B．C． D．8．中國(guó)古代十進(jìn)位制的算籌記數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造．據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，算籌記數(shù)的方法是：個(gè)位、百位、萬(wàn)位…的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出；十位、千位、十萬(wàn)位…的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出．如7738可用算籌表示為．1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如上圖所示，則的運(yùn)算結(jié)果可用算籌表示為（

）A．B．C．D． 9．，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．10．設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題(每題5分，共25分)11．函數(shù)的定義域是________12．能說(shuō)明“在△中，若，則”為假命題的一組，的值是____．13．如圖所示，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則________．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_________．15．已知，若存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．三、解答題(共85分)16．(14分)函數(shù)，其中，曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸(1)求a的值；(2)求函數(shù)的極值．17．(13分)在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)，已知，．(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值；(3)求到平面的距離。

18．(14分)已知函數(shù)，且圖像的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③中選擇兩個(gè)作為一組已知條件．(1)確定的解析式；(2)若，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．條件①：的最小值為－2；條件②：圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為；條件③：的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．19．(14分)北京市某區(qū)針對(duì)高三年級(jí)的一次測(cè)試做調(diào)研分析，隨機(jī)抽取同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生330名，下表是物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)和人數(shù)的數(shù)據(jù)分布情況：物理成績(jī)等級(jí)化學(xué)成績(jī)等級(jí)人數(shù)（名）11053255701531210(1)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，已知該生的物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生的化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率；(2)從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以表示這2人中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以上表中物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的頻率作為每名學(xué)生物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率）；(3)記抽取的330名學(xué)生在這次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）的方差為，排名前的成績(jī)方差為，排名后的成績(jī)方差為，則不可能同時(shí)大于和，這種判斷是否正確，并說(shuō)明理由。

20．(15分)已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明；（2）求證：函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.21．(15分)集合是滿足下列條件的函數(shù)全體：如果對(duì)于任意的，都有.（1）函數(shù)是否為集合的元素，說(shuō)明理由；（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是集合的元素；（3）對(duì)數(shù)函數(shù)，求的取值范圍。

參考答案1．B因?yàn)?，所以，所以，解?2．C所以3．B4．B.5．C雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)在軸上，漸近線方程為，，，該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．6．D右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為.7．C對(duì)于A，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；對(duì)于B，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，C符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以是奇函數(shù)D不符合題意.8．C，9．D【詳解】，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所?0．B解：依題意可得，因?yàn)?，所以，要使函?shù)在區(qū)間恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，又，的圖象如下所示：則，解得，即．11．【分析】根據(jù)題意可知，由此即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，所以.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12．答案不唯一互余即可，如，【詳解】當(dāng)A＝60°，B＝30°時(shí)，sin2A＝sin120°，sin2B＝sin60°，此時(shí)，但A與B不相等，故答案為A＝60°，B＝30°．13．由三角函數(shù)的定義可得，所以.14．15．【分析】由有兩個(gè)零點(diǎn)可得有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則函數(shù)在定義域內(nèi)不能是單調(diào)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象可求的范圍【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由可得，或①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在，滿足題意，故滿足題意②當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故不符合題意③當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故不符合題意④時(shí)，單調(diào)遞增，故不符合題意⑤當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，此時(shí)存在使得，與有兩個(gè)交點(diǎn)綜上可得，或故答案為：【點(diǎn)睛】本題考察了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想．16．（Ⅰ）（Ⅱ）極小值【分析】（Ⅰ）因，故由于曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，故該切線斜率為0，即，從而，解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，解得（因不在定義域內(nèi)，舍去）當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，故在處取得極小值本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力【詳解】17．(1)證明：連接，，連接，在直三棱柱中為矩形，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，平面，平面．平面．(2)解：，，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為；18．(1)由于函數(shù)圖像上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，∴的最小正周期.此時(shí).選條件①②：∵的最小值為，∴．∵圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，，∴，∴，，∵，∴，此時(shí)，∴．選條件①③：∵的最小值為，∴．∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，則，即，．∵，∴，∴，，∴．選條件②③：∵函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，，∴，∴．∵，∴，此時(shí)．∴．∵函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，∴，即，，∴，∴．綜上，不論選哪兩個(gè)條件，.(2)由(1)知，，∴==，由，∴g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為：.19．（1）設(shè)事件為“該生物理成績(jī)等級(jí)為的情況下，化學(xué)成績(jī)等級(jí)為”，樣本中物理成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為，在該群體中化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的人數(shù)為110，所以頻率為，由樣本估計(jì)總體可得，故該生物理成績(jī)等級(jí)為，估計(jì)該生化學(xué)成績(jī)等級(jí)為的概率為.（2）從該區(qū)高三年級(jí)同時(shí)選考物理?化學(xué)的學(xué)生隨機(jī)選取一名，物理?化學(xué)成績(jī)等級(jí)均為的概率估計(jì)為.由題意隨機(jī)變量的取值范圍是則的分布列：012（3）不正確；舉例：，排名前的成績(jī)均為分，方差為，排名后的成績(jī)均為分，方差為，顯然，所以，，故同時(shí)大于和.【點(diǎn)睛】（1）概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題關(guān)鍵在于審題，建議大家在考試過(guò)程中審題不少于兩遍，同時(shí)把重要信息標(biāo)注出來(lái)，這樣不容易丟掉關(guān)鍵信息；（2）分布列問(wèn)題類型判斷是關(guān)鍵，建議結(jié)合做過(guò)的典型問(wèn)題放在一起對(duì)比感悟；（3）第三問(wèn)這種問(wèn)題是北京命題特色，圍繞一些概念深入考查，具有較高的區(qū)分度，建議把一些典型的第三問(wèn)加以整理并思考命題的邏輯.20．（1）增函數(shù)，理由見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷可得結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)的定義可證結(jié)論正確；（3）根據(jù)在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值，可得在時(shí)取得最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在區(qū)間上為增函數(shù).（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，又，，所以存在唯一，使得，即存在唯一，使得，與在區(qū)間內(nèi)的變化情況如下：+0增函數(shù)極大值減函數(shù)所以函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn).（3）由（1）（2）知，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在上的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是解題關(guān)鍵.21．（1）不是，理由見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

（3）【分析】（1）由f（x1）＝22＝4，f（x2）＝32＝9，f（x1+x2）＝52＝25＞f（x1）+f（x2）可判斷函數(shù)f（x）是否是集合M0的元素（2）要證明當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）＝ax是集合M1的元素，只要證對(duì)于任意的x1，x2∈（1，+∞），都有f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），即證f（x1）+f（x2）﹣f（x1+x2）＞0（3）由對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）＝lgx∈Mk，可得任取x1，x2∈（k，+∞），f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2）成立，代入整理可